函数解析式的表示形式及五种确定方式

函数解析式的表示形式及五种确定方式

函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。

一、解析式的表达形式

解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。

1、一般式是大部分函数的表达形式，例

一次函数：y kx b (k 0)

二次函数：y ax2 bx c (a 0) 反比例函数：y k (k 0) x

正比例函数：y kx (k 0)

2、分段式

若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。

2 x,x ,1 1例1、设函数f(x) ，则满足f(x) 的x的值4 logx,x 1, 81

为 。

1得，x 2，与x 1矛盾； 4

1 当x 1, 时，由log81x 得，x 3。 4

∴ x 3 解：当x ,1 时，由2 x

3、复合式

若y是u的函数，u又是x的函数，即y f(u),u g(x),x (a,b)，那么y关于x的函数y f g(x) ,x a,b 叫做f和g的复合函数。

例2、已知f(x) 2x 1,g(x) x 3，则f g(x) g f(x) 2

解：f g(x) 2g(x) 1 2(x 3) 1 2x 7 22

g f(x) f(x) 3 (2x 1)2 3 4x2 4x 4 2

二、解析式的求法

根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。

1待定系数法

若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出

系数。

例3、已知二次函数y f(x)满足f(x 2) f( x 2),且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为22，求函数y f(x)的解析式。

分析：二次函数的解析式有三种形式：

① 一般式：f(x) ax2 bx c

② 顶点式：f(x) a(x h)2 k(a 0) 其中a 0,点 h,k 为函数的顶点

其中a 0,x1与x2是方程f(x) 0的两根 ③ 双根式：f(x) a(x x1)(x x2)

解法1：设f(x) ax2 bx c(a 0)，则

由y轴上的截距为1知：f(0) 1，即c=1 ①

∴ f(x) ax2 bx 1

由f(x 2) f( x 2)知：a(x 2)2 b(x 2) 1 a( x 2)2 b( x 2) 1 整理得：(4a b)x 0, 即： 4a b 0 ②

由被x轴截得的线段长为22知，|x1 x2| 22，

22即(x1 x2) (x1 x2) 4x1x2 8. 得:( ) 4b

a21 8. a

整理得： b 4a 8a ③

由②③得： a 2211,b 2, ∴ f(x) x2 2x 1. 22

解法2：由f(x 2) f( x 2)知：二次函数对称轴为x 2，所以设f(x) a(x 2)2 k(a 0)；以下从略。

解法3：由f(x 2) f( x 2)知：二次函数对称轴为x 2；由被x轴截得的线段长为22知，|x1 x2| 22；

易知函数与x轴的两交点为 2 2,0, 2 2,0，所以设

f(x) a(x 2 2)(x 2 2)

2、换元法 (a 0)，以下从略。

11) 2 1，求f(x)。 xx

11解：设t 1 ，则t 1，x ，代入已知得 xt 1例4、已知：f(1

f(t) 1

1 t 1 2 1 (t 1)2 1 t2 2t

∴ f(x) x2 2x(x 1)

注意：使用换元法要注意t的范围限制，这是一个极易忽略的地方。

3、配凑法

11) x2 2，求f(x)。 xx

11122解： f(x ) x 2 (x ) 2 xxx例5、已知：f(x

∴ f(x) x2 2(x 2或x 2)

注意：1、使用配凑法也要注意自变量的范围限制；

2、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式，则也能用配凑法求解析式。

4、赋值（式）法

例6、已知函数f(x)对于一切实数x,y都有f(x y) f(y) (x 2y 1)x成立，且f(1) 0。

(1)求f(0)的值；

(2)求f(x)的解析式。

解：（1） 取x 1,y 0，则有

f(1 0) f(0) (1 0 1)1

f(0) f(1) 2 0 2 2

（2）取y 0，则有f(x 0) f(0) (x 0 1)x.

整理得：f(x) x x 2

5、方程法

例7、已知：2f(x) f 3x,2 1

x (x 0)，求f(x)。

解：已知：2f(x) f 3x, 1

x ① 113去代换①中的x得 :2f() f(x) ② xxx

1(x 0). 由①×2－②得：f(x) 2x x用

跟踪练习

x 2 1 1,x 01、设函数f(x) ，若f(x0) 1，则x0的取值范围是（ ）

2 x,x 0

A． 1,1 B． 1, C． , 2 0, D． , 1 1，

2x 3,x 0 2、函数y x 3,0 x 1的最大值是。

x 5,x 1

3、已知：f(x 1) x2 2x，求f(x)。

4、已知：f(x)为二次函数，且f(x 1) f(x 1) 2x2 4x，求f(x)。 参考答案：1、D 2、4 3、x 1 4、x 2x 1 22

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4cz1.html