江苏省盐城市2012届高三第二次模拟考试（数学理）2012盐城二模

盐城市2012届高三年级第二次模拟考试

数 学 试 题

(总分160分，考试时间120分钟)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答

题纸的指定位置上.

1. 若直线y?kx?1与直线2x?y?4?0垂直, 则k? ▲ .

2. 已知集合P?{?1,m}, Q?{x|?1?x?}, 若P?Q??, 则整数m= ▲ . 3. 一根绳子长为6米, 绳上有5个节点将绳子6等分, 现从5个节点中随机选一个将绳子剪断, 则所得的两段绳长均不小于2米的概率为 ▲ . 4. 某校共有学生2000名,各年级人数如下表所示:

年级 人数 高一 800 高二 600 高三 600 开始 1 S←开始0,k←开始 S←S+k k←k+1 否 34现用分层抽样的方法在全校抽取120名学生, 则应在高三年级抽 取的学生人数为 ▲ .

5. 若命题“?x?R,x?ax?a?0”为真命题, 则实数a的取值范 围是 ▲ .

6. 某程序框图如图所示, 若输出的S?10, 则自然数a? ▲ . 7. 若复数z满足|z?i|?1（其中i为虚数单位）, 则|z|的最大值 为 ▲ .

8. 已知向量a的模为2, 向量e为单位向量, 若e?(a?e), 则向量

2k > a ? 是 输出S 结束 第6题

a与e的夹角大小为 ▲ .

9. 在等比数列?an?中, 已知a1a2a3?5, a7a8a9?40, 则a5a6a7? ▲ .

x?210. 函数f(x)?sin▲ .

?si?n65?????xc?os2在co?s?,?上的单调递增区间为

6?22?2211. 过圆x?y?4内一点P(1,1)作两条相互垂直的弦AC,BD, 当AC?BD时, 四

边形ABCD的面积为 ▲ .

12. 若y?f(x)是定义在R上周期为2的周期函数, 且f(x)是偶函数, 当x?[0,1]时,

f(x)?2x?1, 则函数g(x)?f(x)?log5|x|的零点个数为 ▲ .

13. 设f(x)是定义在R上的可导函数, 且满足f(x)?x?f?(x)?0, 则不等式

f(x?1)?x?1?f(x2?1)的解集为 ▲ .

?1?14. 在等差数列{an}中, a2?5, a6?21, 记数列??的前n项和为Sn, 若

?an?S2n?1?Sn?m*对n?N恒成立, 则正整数m的最小值为 ▲ . 15

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)

在四棱锥P?ABCD中, PA?底面ABCD, AB?CD,

AB?BC,AB?BC?1,DC?2, 点E在PB上. (1) 求证: 平面AEC?平面PAD；

(2) 当PD?平面AEC时, 求PE:EB的值.

16．(本小题满分14分)

2P

E

A B

D

第15题

C

设?ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c, 且b?1ac. 23； 4(2) 若cos(A?C)?cosB?1, 求角B的大小.

(1) 求证: cosB?

17．(本小题满分14分)

因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为50㎝（即EF=50㎝）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜. 根据经验,一般顾客AB的眼睛B到地面的距离x(cm)在区间

[140,180]内. 设支架FG高为h(0?h?90)㎝, AG?100㎝, 顾客可视的镜像范围为CD(如图所示), 记CD的长度为y（y?GD?GC）. (1) 当h?40㎝时, 试求y关于x的函数关系式和y的最大值；

(2) 当顾客的鞋A在镜中的像A1满足不等关系GC?GA1?GD（不计鞋长）时, 称顾客可在镜中看到自己的鞋. 若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求h的取值范围.

18．(本小题满分16分)

B E F

A

G C

第17题

A1 D

· x2y2212已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为, 且过点P(,), 记椭圆的左顶

ab222点为A.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 设垂直于y轴的直线l交椭圆于B,C两点, 试求?ABC面积的最大值；

(3) 过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交椭圆于D,E两点, 且k1k2?2, 求证:

直线DE恒过一个定点.

19．(本小题满分16分)

*y P · A O x 第18题 在数列?an?中,a1?1, 且对任意的k?N,a2k?1,a2k,a2k?1成等比数列, 其公比为

qk.

(1) 若qk?2(k?N*), 求a1?a3?a5?????a2k?1；

(2) 若对任意的k?N,a2k,a2k?1,a2k?2成等差数列, 其公差为dk, 设bk?① 求证:?bk?成等差数列, 并指出其公差； ② 若d1?2, 试求数列?dk?的前k项和Dk.

*1. qk?1

20．(本小题满分16分)

已知函数f1(x)?e|x?2a?1|,f2(x)?e|x?a|?1,x?R.

(1) 若a?2, 求f(x)?f1(x)+f2(x)在x?[2，3]上的最小值； (2) 若x?[a,??)时, f2(x)?f1(x), 求a的取值范围； (3) 求函数g(x)?f1(x)?f2(x)|f1(x)?f2(x)|?在x?[1，6]上的最小值.

22盐城市2012届高三年级第二次模拟考试

数学附加题部分

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在

答题纸的指定区域内.

A.（选修4—1：几何证明选讲）

如图, 等边三角形ABC内接于圆O, D为劣弧BC上一点, 连接BD,CD并延长分

别交AC,AB的延长线于点E,F. 求证: CE?BF?BC. B．（选修4—2：矩阵与变换）

2A

·O

B D F E

第21题(A)

C

已知二阶矩阵A将点(1,0)变换为(2,3), 且属于特征值3的一个特征向量是??, 求矩阵A． C．（选修4—4：坐标系与参数方程）

?1??1?x2y2??1上, 试求z?2x?3y最大值. 已知点P(x,y)在椭圆

1612

D.（选修4—5：不等式选讲）

设a1,a2,a3均为正数, 且a1?a2?a3?m, 求证:

1119. ???a1?a2a2?a3a3?a12m

[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）

甲、乙、丙三人投篮, 甲的命中率为p, 乙、丙的命中率均为q人独立投篮一次, 记命中的总次数为随机变量为?.

?p,q??0,1??. 现每

1时, 求数学期望E(?)； 2(2) 当p?q?1时, 试用p表示?的数学期望E(?).

(1) 当p?q? 23．（本小题满分10分）

某班级共派出n?1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式, 其中男生甲为领队. 入场时,领队男生甲必须排第一个, 然后女生整体在男生的前面, 排成一路纵队入场, 共有En种排法；入场后, 又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务, 共有Fn种选法. ⑴试求En和Fn；

⑵判断lnEn与Fn的大小(n?N), 并用数学归纳法证明.

*盐城市2012届高三年级第二次模拟考试

数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 13

1. 2.0 3. 4.36 5.0≤a≤4 6.4 7.2 258.

? 3

9.20 10.???5???,? 11. 6 12. 8 13.?x|1?x?2? ?1212?14.5

(注: 第13题讲评时可说明, 为什么x?1是不等式的解?)

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

A

15.(1)证明: 过A作AF?DC于F, 则CF=DF=AF,

所以?DAC?90, 即AC?DA??????????? 2分 又PA?底面ABCD,AC?面ABCD,所以AC?PA??4分 因为PA,AD?面PAD,且PA?AD?A,

D 所以AC?底面PAD????????????????6分

而AC?面ABCD, 所以平面AEC?平面

PAD???????????????????? 8分

(2)连接BD交AC于点O, 连接EO, 因为PD?平面AEC,PD?面PBD, 面PBD?面AEC=EO, 所以

PD//EO?????????????????????????11分 则PE:EB=DO:OB, 而DO:OB?DC:AB?2, 所以PE:EB?2?????????? 14分 16．解: (1)因为

F

0B

O C

1a2?c2?aca?c?b2????????????????????3分 cosB??2ac2ac12ac?ac2?3, 所以?2ac43cosB??????????????????????????? 6分

4(2)因为cos(A?C)?cosB?cos(A?C)?cos(A?C)?2sinAsinC?1,

112所以sinAsinC?????9分 又由b?ac,得

2211sin2B?sinAsinC?,

241所以sinB???????12分 由(1),得

2?B??????????????14分

6GCGC?AGGCGC?100??17．解: (1) 因为FG?40,AG?100,所以由,即,解FGAB40x4000得GC?,

x?40GDGD?AGGDGD?100??同理,由,即, 解得EGAB90x9000GC??????????????2分

x?90222所以

y?GD?GC?1000?(?? 5分

94x?)?5000?2,x?[140,180]?x?90x?40x?130x?36003600?x2因为y??5000?2?0, 所以y在[140,180]上单调递减, 2(x?130x?3600)故

当

x?140㎝时,

y取得最大值为140

㎝????????????????????????8分 另法: 可得y?36005000?130在[140,180]上单,x?[140,180], 因为x?3600xx??130x调递增,

所以y在[140,180]上单调递减, 故当x?140㎝时,y取得最大值为140㎝??????????8分 (2)由

GCGC?100100hGDGD?100100(h?50)??,得GC?,由,得GD?,hxx?hh?50xx?h?50100h100(h?50)?100?所以由题意知GC?AG,即对x?[140,180]?AG?GD1x?hx?h?50恒成立????????12分

x140??h?h??70????22从而?对x?[140,180]恒成立,解得?,故h的取值范围是

?h?x?50?h?180?50?40???2?2?40,70??14分

(注: 讲评时可说明, 第(2)题中h的范围与AG的长度无关, 即去掉题中AG=100㎝的条件也可求解)

?c?2???a?1a2??21??118．解:(1)由?2?2?1,解得?b?,所以椭圆C的方程为

22a4b??222??a?b?c2?c???2?x2?2y2?1?????????4分

B(m,n)C(?m,n)(2)设,,则

1S?ABC??2|m|?|n|?|m|?|n|???????????????6分

22又1?m2?2n2?22m2n2?22|m|?|n|, 所以|m|?|n|?,

4当且仅当时取等|m|?2|n|号????????????????????????????8分

从

而

S?ABC?24, 即

?ABC面积的最大值为

2???????????????????? 9分 4(3)因为A(－1,0),所以AB:y?k1(x?1),AC:y?k2(x?1),

?y?k1(x?1)由?2,消去y,得(1?2k12)x2?4k12x?2k12?1?0,解得x=－1或2?x?2y?11?2k12, x?21?2k11?2k122k11?2k222k2∴点B(,)?????11分 同理,有C(,),

1?2k121?2k121?2k221?2k22而k1k2?2,

k12?84k1∴C(,)?12分 ∴直线228?k18?k14k12k1?2k18?k121?2k121?2k12y??2?(x?), 222k1?81?2k11?2k11?2k1?8?k121?2k12BC

的

方

程

为

2k13k11?2k12即,即y???(x?)1?2k122(k12?2)1?2k123k15k1?????????14分 y?x?222(k1?2)2(k1?2)?y?0所以2yk12?(3x?5)k1?y?0,则由?,得直线BC恒过定点

3x?5?0?5(?,0)???????16分 3(注: 第(3)小题也可采用设而不求的做法,即设D(x1,y1),E(x2,y2),然后代入找关系) 19．解: (1)因为qk?2,所以列,

所

以

k?a2k?1?4,故a1,a3,a5,???,a2k?1是首项为1,公比为4的等比数a2k?1a1??? 4分

1?1?k(k??????????????????a3?(注: 讲评时可说明, 此时数列?ak?也是等比数列, 且公比为2) (2)①因为a2k,a2k?1,a2k?2成等差数列,所以2a2k?1?a2k?a2k?2, 而

a2k?a2k?1,a2k?2?a2k?1?qk?1qk,所以

1?qk?1?2qk,则

qk?1?1?qk?1?????????? 7分 qkq1111得?k??1,所以??1,即bk?1?bk?1, qk?1?1qk?1qk?1qk?1?1qk?1所

以

?bk?是等差数列,且公差为

1???????????????????????????9分

2②因为d1?2,所以a3?a2?2,则由a2?1?a3?a?22,解得a2?2或

a2??1??????10分

(ⅰ)当a2?2时, q1?2,所以b1?1,则bk?1?(k?1)?1?k,即

1?k,得qk?1qk?k?1,所以 ka2k?1(k?1)2?a2k?1k2,则

a2k?1a2k?1a3(k?1)2k2222??12分 a2k?1????????a1????????1?(k?1)222a2k?1a2k?3a1k(k?1)1所

以

a2k?1(k?1)2a2k???k(k?1)k?1qkk,则

dk?a2k?1?a2k?k?1,故

Dk?k(k?3)?????14分 2113,则bk???(k?1)?1?k?,即222(ⅱ)当a2??1时, q1??1,所以b1??13?k?, qk?12得

12qk?3k?2k?1a12??????a?13a1(k?2(k?2,所以

a2k?aa?2k??k?a2k?ak?则a2k?综

k??22k?2)?????)?32(1212, k?1?1?5232(2412321212)()a2k?1?(2k?1)(2k?3),所以dk?a2k?1?a2k?4k?2,从而Dk?2k2. qkk(k?3)Dk?上所述,或

2所

以

Dk?2k2?????????????????????????16分

a?220．解:(1)因为,且x?[2，3],

|x?3||x?2|?13?xx?1e3exe3exf(x)?e?e?e?e?x??2x??2e,

eeee当且仅当x=2时取等号,所以f(x)在x?[2，3]上的最小值为

3e?????????????4分

|x?2a?1|?e|x?a|?1,即|x?2a?1|?|x?a|?1恒成(2)由题意知,当x?[a,??)时,e立?????? 6分

所以|x?2a?1|?x?a?1,即2ax?3a?2a对x?[a,??)恒成立, 则

由

22a?0??22?2a?3a?2a,得所求a的取值范围是

0?a?2?????????????????9分

(3) 记h1(x)?|x?(2a?1)|,h2(x)?|x?a|?1,则h1(x),h2(x)的图象分别是以(2a-1,0)和(a,1)为顶点开口向上的V型线,且射线的斜率均为?1.

7a?1?6①当1?2,即1?a?时,易知g(x)在x?[1，6]上的最小值为

2f1(2a?1)?e0?1??10分

②当a<1时,可知2a－1

(ⅰ)当h1(1)?h2(1),得|a?1|?1,即0?a?1时,g(x)在x?[1，6]上的最小值为

f1(1)?e2?2a?11分

(ⅱ)当h1(1)?h2(1),得|a?1|?1,即a?0时,g(x)在x?[1，6]上的最小值为f2(1)?e2?a???12分

7③当a?时,因为2a－1>a,可知2a?1?6,

27(ⅰ)当h1(6)?1,得|2a?7|?1,即?a?4时,g(x)在x?[1，6]上的最小值为

2f1(6)?e2a?7?13分

(ⅱ)当h1(6)?1且a?6时,即4?a?6,g(x)在x?[1，6]上的最小值为f2(a)?e1?e ???14分

(ⅲ)当a?6时,因为h1(6)?2a?7?a?5?h2(6),所以g(x)在x?[1，6]上的最小

值

为

f2(6)?ea?5??????????????????????????????????

15分

综上所述, 函数

g(x)在x?[1，6]上的最小值为

?e2?a?2?2a?e??1???e2a?7??e?a?5??ea?00?a?171?a?2????????????16分

7?a?424?a?6a?6

数学附加题部分

21．A. 证明：∵三角形ABC内接于圆O,且?BAC?60,所以?BDC?120,

所

以

00?D?DBC??DCB?600.又B?C?????????5分

?BFC??DCB?600B,F所以

,所以

E?同理, ?DCB??CEB,所以?CB?BF?BCBC,即CEBC2?BF?CE ?????10分

?ab??ab??1??2?A?B. 解：设, 由, 得?cd??cd??0???3??????????a?2???????????????? 5分 ?c?3??ab??1??1??3??a?b?3?b?2再由?, 得, ∴, ?3???????????cd??1??1??3??c?d?3?d?0?21?∴A???????????? 10分

30??C. 解:根据椭圆的参数方程, 可设点P(4c?os)??????????? 5分

,2?3s(?in是)参数

则z?2x?3y?8cos??6sin??10sin(???)?10, 即z最大值为

10?????????10分

D. 证明: 因为(111??)?[(a1?a2)?(a2?a3)?(a3?a1)]

a1?a2a2?a3a3?a1?33111·33(a1?a2)?(a2?a3)?(a3?a1)=9??????????a1?a2a2?a3a3?a1???? 6分

111m当且仅当a1?a2?a3?时等号成立, 则由(??)?2m?9,

3a1?a2a2?a3a3?a1知

1119???????????????????????????a1?a2a2?a3a3?a12m? 10分

(注: 此题也可以用柯西不等式证明) 22.

解

:(1)

当

p?q?12时，

?～

?1?B?3,??2?,故

13????????????????4分 2222（2）?的可取值为0，1，2，3, 且P???0???1?q??1?p??pq, E??np?3?1P???1??q?1?q???1?q?C2p?1?p??q3?2p2q,

21P(??2)?C2pq(1?p)?(1?q)p2?2pq2?p3, P???3??qp2.

?所以的分布列

为: ???????????8分

? 0 1 2 3 P

pq2 ×

q3?2p2q +1

×

2pq2?p3 +2

×

qp2 E?23.

=0

pq2解

?q3?2p2q??2pq2?p3?+3×

qp2

分

=1?p ???????????10分

（

1

）

：

nnEn?An?An?(n2!?)?????2

11Fn?Cn?1?Cn?n(n?1)??????4分

(2)因为lnEn?2lnn!,Fn?n(n?1),所以lnE1?0?F1?2,lnE2?ln4?F2?6,

lnE3?ln36?F3?12,?,由此猜想:当n?N*时,都有lnEn?Fn,即2lnn!?n(n?1)?????6分

下用数学归纳法证明2lnn!?n(n?1)(n?N*). ① 当n=1时,该不等式显然成立.

② 假设当n?k(k?N*)时,不等式成立,即2lnk!?k(k?1),则当n?k?1时, 2ln(k?1)!?2ln(k?1)?2lnk!?2ln(k?1)?k(k?1), 要证当n?k?1时不等式成立,

2ln(k?1)?k(k?1)?(k?1)(k?2)只要证:, 只要证:

ln(k?1)?k?1??????????? 8分

1?x?0,所以f(x)在(1,??)上单调递令f(x)?lnx?x,x?(1,??),因为f?(x)?x减,

从而f(x)?f(1)??1?0, 而k?1?(1,??),所以ln(k?1)?k?1成立, 则当n?k?1时, 不等式也成立.

综合①②, 得原不等式对任意立????????????????????? 10分

的

n?N*均成

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