高中必修1-5错误解题分析系列-《7.4轨迹问题》

§7.4轨迹问题

一、知识导学 1.方程的曲线

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

2.点与曲线的关系 若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0两条曲线的交点 若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点??f1(x0,y0)?0 ?f2(x0,y0)?0方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.

3.圆锥曲线的统一定义

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.

其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率. 当0＜e＜1时，轨迹为椭圆 当e=1时，轨迹为抛物线 当e＞1时，轨迹为双曲线 4.坐标变换

（1）坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.

（2）坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则

?x?x??h?x??x?h??y??y?ky?y??k(1)? 或 (2)?

公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 二、疑难知识导析

1.在求曲线轨迹方程的过程中,要注意：

(1)理解题意,弄清题目中的已知和结论,发现已知和未知的关系,进行知识的重新组合； (2)合理进行数学语言间的转换,数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言,通过审题画出必要的图形或示意图,把不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式,把不便于进行数学处理的语言化为便于数学处理的语言；

(3)注意挖掘题目中的隐含条件； (4)注意反馈和检验. 2.求轨迹方程的基本方法有：

(1)直接法：若动点满足的几何条件是一些几何量的等量关系,则将这些关系“翻译”成

x,y的关系式,由此得到轨迹方程.一般步骤是：建立坐标系—设点—列式—代换—化简、整

理.

(2)定义法：即当动点的轨迹满足的条件符合某种特殊曲线的定义时,则可根据这种曲线的定义建立方程.

(3)待定系数法：已知动点的轨迹是某种圆锥曲线,则可先设出含有待定系数的方程,再根据动点满足的条件确定待定系数.

(4)相关点法：当动点P(x,y)随着另一动点Q(x1,y1)的运动而运动时,而动点Q在某已知曲线上,且Q点的坐标可用P点的坐标来表示,则可代入动点Q的方程中,求得动点P的轨迹方程.

(5)参数法：当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量t,并用t表示动点的坐标x、y,从而得到动点轨迹的参数方程 ,消去t,便可得动点P的普通方程.

另外,还有交轨法、几何法等. 3.在求轨迹问题时常用的数学思想是：

(1)函数与方程的思想：求平面曲线的轨迹方程,是将几何条件(性质)表示为动点坐标x、

y的方程及函数关系；

(2)数形结合的思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合； (3)等价转化的思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问题时又需要相互转化.

三、经典例题导讲

[例1]如图所示，已知P(4，0)是圆x+y=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|. 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|=|AO|－|OR|2=36－(x2+y2)

又|AR|=|PR|=(x?4)2?y2

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动. 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=代入方程x2+y2－4x－10=0,得

(x?42)?(2

2

2

2

2

x?42,y1?y?02,

2y22

)?4?2x?42－10=0

整理得 x+y=56,这就是所求的轨迹方程. 技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程. [例2]某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？

解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切.

建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则

|PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5

∴点P在以A、O为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为

16(x?2514)2?2y32=1 ①

同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x－

12)2+

43y2=1 ②

3912912,),Q(,?)，∴r=?14141414267由①、②可解得P((914)?(21214)2?37

故所求圆柱的直径为 cm.

[例3] 直线L：y?k(x?5)与圆O：x2?y2?16相交于A、B两点，当k变动时，弦AB的中点M的轨迹方程.

错解：易知直线恒过定点P（5,0），再由OM?AP，得：

OP222?OM2?MP2

2∴x?y?(x?5)?y22?，整理得：

5?25?2 ?x???y?24??分析：求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点M应在圆内，故易求得轨迹为圆内的部分，此时0?x?165.

[例4] 已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求

点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线. 解：建立坐标系如图所示，

设|AB|=2a,则A(－a,0）,B(a,0). 设M(x,y）是轨迹上任意一点. 则由题设，得

2

2

|MA||MB|2

=λ,坐标代入，得

2

2

(x?a)?y(x?a)?y2

2

22=λ,化简得

22(1－λ)x+(1－λ)y+2a(1+λ)x+(1－λ)a=0

(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴). (2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x+y+

2

2

2a(1??)1??22x+a2=0.点M的轨迹是以

(－

a(1??)1??22，0)为圆心，

2a?|1??|2为半径的圆.

[例5]若抛物线y=ax2-1上，总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0对称，求实数a的取值范围.

分析：若存在A、B关于直线y+x=0对称，A、B必在与直线y+x=0垂直的直线系中某一条与抛物线y=ax2-1相交的直线上，并且A、B的中点M恒在直线y+x=0上. 解：如图所示，设与直线y+x=0垂直的直线系方程为

y=x+b

由

2

?y?x?b 得 ?2y?ax?1ax-x-(b+1)=0 ① 令 △＞0

即 (-1)2-4a[-(b+1)]＞0 整理得

4ab+4a+1＞0 ②

在②的条件下，由①可以得到直线y=x+b、抛物线y=ax2-1的交点A、B的中点M的坐标为 （

12a12a12a12a1a,+b）,要使A、B关于直线y+x=0对称，则中点M应该在直线y+x=0上，所以有 +b）=0 ③

代入②解不等式得 a＞

3434+（

即 b=-

因此，当a＞时，抛物线y=ax2-1上总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0对称.

四、典型习题导练

1.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )

A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线

2.高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 3．设直线2x-y-3=0与y轴的交点为P，点P把圆(x+1)2+y2 ＝25的直径分为两段，则其长度之比是

4.已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙

O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.

5.双曲线

xa22?yb22=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，

A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.

6.已知椭圆

xa22?yb22=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平

分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.

(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；

(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+2a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.

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