四川省威远中学2013-2014学年高二下学期数学综合检测试题(选修2-1、2-2)

2013-2014学年高二下综合测试试题1（选修2-1、2-2）

姓名： 班级： 学号：

一、选择题（每题5分，共50分）

2?i1．复数z?（i是虚数单位）的虚部是（ ）

2?i4444A．i B．?i C． D．?

55552、若正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面 ABCDABCD的距离为（ ） 成60°角，则AC11到底面

3 B．1 C．2 D．3 3x2y23、双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为（ ）

412A．23 B．2 C. 3 D．1

A．

4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

?

①

②

③

按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ） A．6n?2 B．6n?2 C．8n?2 D．8n?2

5．已知抛物线y2?2px(p?0)上有一点M（4，y），它到焦点F的距离为5，则?OFM的面积

（O为原点）为（ ） A． 1 B．2 C．2 D．22 6、已知空间四边形OABC，其对角线为OB,AC，M,N分别是边OA,CB的中点，点G在

????????????????线段MN上，且使MG?2GN，用向量 OA,OB,OC表示向量OG是 （ ）

????1????1????1????????1????1????2????A．OG?OA?OB?OC B．OG?OA?OB?OC

633633????1????2????2????????????2????2????C．OG?OA?OB?OC D．OG?OA?OB?OC

2333332f(x)??x?ax?x?1在(??,??)上是单调函数,则7．已知函数

实数a的取值范围是（ ）

A．(??,?3]?[3,??) B．[?3,3] C．(??,?3)?(3,??) D．(?3,3) 8. 空间四边形OABC中，OB=OC，?AOB=?AOC=A．

?3????????cosOA,BC，则的值是（ ）

D．0

1 2B．

2 2C．?1 2/9、当x在(??,??)上变化时，导函数f(x)的符号变化如下表：

x f/(x) (??,1) 1 0 （1，4） + 4 0 (4,??) － － 则函数f(x)的图象的大致形状为（ ）

x2y2?2?12ab10．已知F是椭圆(a>b>0)的左焦点, P是椭圆上的一点, PF⊥x轴, OP∥AB(O为

原点),

则该椭圆的离心率是( )

122A．2 B．4 C．2

二、填空题（每小题5分，共25分。） 11．抛物线y?3D． 2

12x的焦点坐标是 . 41?i2012)? 12．i表示虚数单位，则(1?i13．函数f(x)?x3?12x在区间[?3,3]上的最大值是___________.

0

β C A B 14．如图,60的二面角的棱上有两点A，B，直线AC，

BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，

D α 已知AB=4，AC=6,BD=8，则CD＝_____________

x22

15、设中心在原点的双曲线与椭圆＋y＝1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，

2

则该双曲线的方程为________ 三、解答题：（本大题共6小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16、（12分）如图，已知三棱锥O?ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA?1，

OB?OC?2，E是OC的中点。（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值； （2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值。

17、（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点。 （1）求证：命题“如果直线l过点T（3，0），那么OA?OB＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

18.（12分） 已知f(x)?2ax?

19、（12分）如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，

直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；

（Ⅱ） 求二面角A?BD?C的大小的正切值； （Ⅲ）求点C到平面ABD的距离． B

?b1?lnx．在x＝－1与x?处都取得极值． x21（1）求a、b的值；（2）若对x?[，4]时，f(x)>c恒成立，求实数c的取值范围．

4AA1B1DCC1

f?x??aln?1?x??x2?10xx?320、已知是函数的一个极值点。

（Ⅰ）求a； （Ⅱ）求函数（Ⅲ）若直线y?b与函数

f?x?的单调区间；

的图象有3个交点，求b的取值范围。

y?f?x?x2y2521、（满分13分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，定点M(2,0)，椭

ab3圆短轴的端点是B1、B2，且MB1?MB2.（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点.试问x轴上是否存在定点P，

使PM平分?APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

高二下综合测试试题1（选修2-1、2-2）参考答案 DDCAB; ABDCA

11、 (0,1) ； 12、1 ； 13、16 ； 14、217；

x22

15、2x－2y＝1。由双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆方程为＋y＝1.知c＝2－1＝1，e

2

2

2

＝

12c12

＝，又它们的离心率互为倒数，所以双曲线的离心率为2＝＝，所以a＝，b2＝

aa222

11

c2－a2＝1－＝，故双曲线的方程为2x2－2y2＝1.

22

16、解：（1）以O为原点,OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系. 则有A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0).

????????EB?(2,0,0)?(0,1,0)?(2,?1,0),AC?(0,2,?1) ?22???????????,5 5?5COS

所以异面直线BE与AC所成角的余弦为

?????????????????（2）设平面ABC的法向量为n1?(x,y,z), 则n1?AB知:n1?AB?2x?z?0; ?????????????????n1?AC知:n1?AC?2y?z?0.取n1?(1,1,2)，则cos?EB,n??2?1?0?12 55630， 30故BE和平面ABC的所成角的正弦值为

30 30217、证明：（1）解法一：设过点T(3,0)的直线l交抛物线y=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于 A(3,6)、B(3,－6)，∴OA?OB?3。

当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.

?y2?2x12122

得ky－2y－6k=0,则y1y2=－6. 又∵x1=y1, x2=y2, ?22?y?k(x?3)

∴OA?OB=x1x2+y1y2=

1(y1y2)2?y1y2=3. 42

综上所述, 命题“......”是真命题.

解法二：设直线l的方程为my =x－3与y2=2x 联立得到y-2my-6=0

OA?OB=x1x2+y1y2=(my1+3) (my2+3)+ y1y2

=(m+1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m+1)× (-6)+3m×2m+9＝3

（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y=2x于A、B两点,如果OA?OB?3,那么该直线过点T(3,0).”

该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2),B(直线AB的方程为y =

2

2

2

2

1,1),此时OA?OB?3=3, 22 (x+1),而T(3,0)不在直线AB上. 3点评：由抛物线y=2x上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足OA?OB?3,可得y1y2=－6。或y1y2=2，如果

y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2, 可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0)。

b118、解析：（1）f'(x)?2a?2??0

xx

∵f(x)在x＝－1与x?1处取得极值， 2

?2a?b?1?0∴?

2a?4b?2?0?∴f(x)?2x?（2）

?a?1解得?

b??1?

1?lnx x

由于当x?(，)时，y'?0， ∴y在x?(，)上为减函数； 当x?(，4)时，y'?0， ∴y在x?(，4)上为增函数． 因此y最小?f()?3?ln 即3?ln11421142121212121?c恒成立， 2∴c?3?ln2

19、（1）此正三棱柱的侧棱长为22 （2）3

（3）点C到平面ABD的距离为230 10a?2x?101?x20、（Ⅰ）因为 af'?3???6?10?04 所以 因此a?16

f'?x??（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

f?x??16ln?1?x??x2?10x,x???1,???x???1,1???3,???

f'?x??2?x2?4x?3?1?x当

时，

f'?x??0 ; 当

x??1,3?时，

f'?x??0所以

的单调增区间是

f?x???1,1?,?3,??? ; f?x?的单调减区间是?1,3?

??1,1?内单调增加，在?1,3?内单调减少，在?3,???上单调增

f?3??32ln2?21（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

加，

f?x?在

f'?x??0x?1x?3且当或时，

所以因此

f?x?的极大值为

f?1??16ln2?9，极小值为

f?16??162?10?16?16ln2?9?f?1?f?e?2?1???32?11??21?f?所以在

f?x?的三个单调区间

??1,1?,?1,3?,?3,???

f?3??b?f?1?

? 3直线y?b与

y?f?x?的图象各有一个交点，当且仅当

因此，b的取值范围为

?32ln2?21,16ln2?9?。

5a2?b2b2b22?. ?1?21．（Ⅰ）解：由 ?e?， 得 22a39aa依题意△MB1B2是等腰直角三角形，从而b?2，故a?3.

x2y2??1. 所以椭圆C的方程是94（Ⅱ）解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为x?my?2. 将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，

22消去x得 (4m?9)y?16my?20?0.

?16m?20yy?所以 y1?y2?，. 124m2?94m2?9若PM平分?APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA?kPB?0.

y1y设P(a,0)，则有 ?2?0.

x1?ax2?a将 x1?my1?2，x2?my2?2代入上式，

2my1y2?(2?a)(y1?y2)?0，

(my1?2?a)(my2?2?a)所以 2my1y2?(2?a)(y1?y2)?0.

?16m?20yy?将 y1?y2?，代入上式， 124m2?94m2?9整理得 (?2a?9)?m?0.

9由于上式对任意实数m都成立，所以 a?.

29 综上，存在定点P(,0)，使PM平分?APB.

2整理得

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