2011年湖南省衡阳市中考数学试题及答案WORD版

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2011 年衡阳市初中学业水平考试试题

数 学

一、选择题(本大题10个小题，每小题3分，满分30分)在每个小题给出的四个选项中，只

有一个是符合要求的．） 1． （2011湖南衡阳，1，3分）

A．

1515的相反数是 （ ）

15 B．5 C．-5 D．－

【答案】D 2． （2011湖南衡阳，2，3分）某市在一次扶贫助残活动中，共捐款3185800元，将3185800元用科学记数法表示（保留两个有效数字）为（ ）

A．3.1×106元 B．3.1×105元 C．3.2×106元 D．3.18×106元 【答案】C

3． （2011湖南衡阳，3，3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

4． （2011湖南衡阳，4，3分）下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（ ）

A． 【答案】D

B．

C．

D．

5． （2011湖南衡阳，5，3分）下列计算，正确的是（ ）

A．?2x2?3?1??8x B．a?a?a C．3a?2a?6a D．???3?0

?3?60623222【答案】A

6． （2011湖南衡阳，6，3分）函数y?x?3x?1中自变量x的取值范围是（ ）

A．x≥－3 B．x≥－3且x?1 C．x?1 D．x??3且x?1 【答案】B

7． （2011湖南衡阳，7，3分）下列说法正确的是（ ）

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A．在一次抽奖活动中，“中奖的概率是

1100”表示抽奖100次就一定会中奖

B．随机抛一枚硬币，落地后正面一定朝上

C．同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和为6

D．在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是【答案】D

8． （2011湖南衡阳，8，3分）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P坐

标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（ ）

A．M(5，0)，N(8，4) B．M(4，0)，N(8，4) C．M(5，0)，N(7，4) D．M(4，0)，N(7，4)

113

【答案】A

9． （2011湖南衡阳，9，3分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（ ）

A．10m B．103m C．15m D．53m 【答案】A

10．（2011湖南衡阳，10，3分）某村计划新修水渠3600米，为了让水渠尽快投入使用，

实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成任务，若设原计划每天修水渠x米，则下面所列方程正确的是（ ）

21世纪[教育网

A．D．

3600x?3600x36001.8x?36001.8x B．

36001.8x?20?3600x C．

3600x?36001.8x?20

?20

【答案】C

二、填空题 (本大题8个小题，每小题3分，满分24分) 11．（2011湖南衡阳，11，3分）计算12?【答案】33 12．（2011湖南衡阳，12，3分）某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯

亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为 ．【答案】

11221世纪教育网3? ．

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13．（2011湖南衡阳，13，3分）若m?n?2，m?n?5，则m2?n2的值为 ． 【答案】 10

14．（2011湖南衡阳，14，3分）甲乙两台机床生产同一种零件，并且每天产量相等，在6

天众每天生产零件中的次品数依次是：甲：3、0、0、2、0、1、；乙：1、0、2、1、0、

2．则甲、乙两台机床中性能较稳定的是 ． 【答案】乙

15．（2011湖南衡阳，15，3分）如图，一次函数y?kx?b的图象与x轴的交点坐标为（2，

0），则下列说法：①y随x的增大而减小；②b>0；③关于x的方程kx?b?0的解为x?2．其中说法正确的有 （把你认为说法正确的序号都填上）．

[来源21世纪教育网]

【答案】 ①②③

16．（2011湖南衡阳，16，3分）如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠FCD的度数为 ．

【答案】 20

17．（2011湖南衡阳，17，3分）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△

ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 ．

【答案】 8

18．（2011湖南衡阳，18，3分）如图所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，

CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，那么△ABC的面积是 ．

【答案】 10 三、解答题(本大题共有9个小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

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219．（2011湖南衡阳，19，6分）先化简，再求值．?x?1??x?x?2?，其中x??【解】原式=x2?2x?1?x2?2x=2x2?1，

13?1?当x??时，原式=2?????1=+1=．

222?2?1212．

20．（2011湖南衡阳，20，6分）解不等式组???x?3≤0，①??3?x?1??2?2x?1??1②，并把解集在数

轴上表示出来．

【解】 由①得x≤3，由②得x??2，不等式组的解集为?2?x≤3．解集在数轴上表示为

21．（2011湖南衡阳，21，6分）如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD

及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．

【证明】∵在△ABC中，AD是中线， ∴BD=CD，∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠CFD＝∠BED＝90° ，在△BED与△CFD中，∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BED≌△CFD，∴BE=CF．

22．（2011湖南衡阳，22，6分）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？

【解】 设李大叔去年甲种蔬菜种植了x亩，乙种蔬菜种植了y亩，则

?x?y?10，?x?6，，解得，答李大叔去年甲种蔬菜种植了6亩，乙种蔬??2000x?1500y?18000y?4??菜种植了4亩．

23．（2011湖南衡阳，23，6分）我国是世界上严重缺水的国家之一，2011年春季以来，我省遭受了严重的旱情，某校为了组织“节约用水从我做起”活动，随机调查了本校

120名同学家庭月人均用水量和节水措施情况，如图10、图11是根据调查结果做出的统计图的一部分．

请根据信息解答下列问题：

(1)图10中淘米水浇花所占的百分比为 ；

(2)图10中安装节水设备所在的扇形的圆心角度数为 ；

(3)补全图11

(4)如果全校学生家庭总人数为3000人，根据这120名同学家庭月人均用水量，估计全校学生家庭月用水总量是多少吨？

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图10

图11 【解】 (1)15﹪；(2)108°；

(3) 120－10－41－33－16=20，如下图：

(4)（30×1＋41×2＋20×3＋33×4＋16×5）÷120=3.2 3.2×3000=9600（吨）

答：全校学生家庭月用水总量是9600吨．

24．（2011湖南衡阳，24，8分）如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的

延长线交与点D．

(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由； (2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长．

【解】 (1) CD与⊙O的位置关系是相切，理由如下： 作直径CE，连结AE． ∵CE是直径， ∴∠EAC＝90°，∴∠E＋∠ACE=90°，

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∵CA=CB，∴∠B＝∠CAB，∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAB，∵∠B＝∠E，∠ACD＝∠E，∴∠ACE＋∠ACD=90°，即∠DCO=90°， ∴OC⊥D C，∴CD与⊙O相切． （2）∵CD∥AB，OC⊥D C，∴OC⊥A B， 又∠ACB=120°，∴∠OCA＝∠OCB=60°， ∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形， ∴∠DOA=60°， ∴在Rt△DCO中，

DCOC?tan?DOA =3，

[来源:21世纪教育网]

∴DC=3OC=3OA=23．

25．（2011湖南衡阳，25，8分）如图，已知A，B两点的坐标分别为A(0，23)，B(2，

0)直线AB与反比例函数y?mx的图像交与点C和点D（-1，a）．

(1)求直线AB和反比例函数的解析式； (2)求∠ACO的度数；

(3)将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长．

23)，【解】(1)设直线AB的解析式为y?kx?b，将A(0，B(2，0)代入解析式y?kx?b???k??3,?b?23,中，得?，解得?．∴直线AB的解析式为y??3x?23；将D

???2k?b?0?b?23（-1，a）代入y??3x?23得a?33，∴点D坐标为（-1，33），将D（-1，

mx33）代入y?中得m??33，∴反比例函数的解析式为y??33x．

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?y??3x?23,????x1?3?x1??1?3）(2)解方程组?得，，∴点C坐标为（3，， ??33??y???y1??3??y1?33x?过点C作CM⊥x轴于点M，则在Rt△OMC中，

CM?3，OM?3，∴tan?COM?CMOM?33，∴?COM?30?，

在Rt△AOB中，tan?ABO?AOOB?232=3，∴?ABO?60?，

∴∠ACO=?ABO??COE?30?．

(3)如图，∵OC′⊥AB，∠ACO=30°，

∴?= ∠COC′=90°－30°=60°，∠BOB′=?=60°，

[来源21世纪教育网]∴∠AOB′=90°－∠BOB′=30°，∵ ∠OAB=90°－∠ABO=30°， ∴∠AOB′=∠OAB，

∴AB′= OB′=2．

答：当α为60度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长为2．

26．（2011湖南衡阳，26，10分）如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m(m＞4)，点P是

AB边上的任意一点（不与A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于

点Q．

(1)当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；

(2)连结AC，若PQ∥AC,求线段BQ的长（用含m的代数式表示）

(3)若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．

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【解】(1) 假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如下图），

∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，∴∠APD＋∠BPC=90°， 又∠ADP＋∠APD=90°，∴∠BPC=∠ADP， 又∠B=∠A=90°，∴△PBC∽△DAP，∴∴

10?AP4?4APPBDA?BCAP，

，∴AP?2或8，∴存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的

长2 或8．

(2) 如下图，∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠BPQ=∠ADP，∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°，∴△ABC∽△DAP，∴

ABDA?BCAPm44AP16m，即?，∴AP?．

∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△PBQ∽△ABC，m?16PBAB?BQBC，即

m?BQ，∴BQ?4?16．

2mm4(3)由已知 PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形（如图），

∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，∴△PBQ≌△DAP，

∴PB=DA=4，AP=BQ=m?4，

∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为：S四边形PQCD= S矩

形ABCD

－S△DAP－S△QBP=DA?AB?12?4??m?4??1212?DA?AP?12?PB?BQ

=4m??4??m?4?=16（4＜m≤8）．

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27．（2011湖南衡阳，27，10分）已知抛物线y?12x?mx?2m?272．

(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x－1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．

①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

【

(1)?=??m??4?2解

1】

27??22??2m??=m?4m?7=m?4m?4?3=?m?2??3，∵不2?2?管m为何实数，总有?m?2?≥0，∴?=?m?2??3＞0，∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．

(2)∵ 抛物线的对称轴为直线x=3，∴m?3， 抛物线的解析式为y?12x?3x?22252=

12?x?3?2?2，顶点C坐标为（3，－2），

?y?x?1,?x1?1?x2?7?解方程组?，解得或，所以A的坐标为（1，0）、B125???y1?0?y2?6?y?x?3x??22的坐标为（7，6），∵x?3时y=x－1=3－1=2，∴D的坐标为（3，2），设抛物线的

对称轴与x轴的交点为E，则E的坐标为（3，0），所以AE=BE=3，DE=CE=2， ① 假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD互相垂直平分且

相等，于是P与点B重合，但AP=6，CD=4，AP≠CD，故抛物线上不存在一点P

使得四边形ACPD是正方形．

② (Ⅰ)设直线CD向右平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形

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是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3?n，直线CD与直线y=x－1交于点M（3?n，2?n），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C．

∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．

（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N， ∴N坐标为（3?n，n?2）， 又N在抛物线y?12x?3x?252上，∴n?2?12?3?n?2?3?3?n??52，

解得n1?0（不合题意，舍去），n2?2，

（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N， ∴N坐标为（3?n，n?6）， 又N在抛物线y?12x?3x?252上，∴n?6?12?3?n?2?3?3?n??52，

解得n1?1?17（不合题意，舍去），n2?1?17，

(Ⅱ) 设直线CD向左平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3?n，直线CD与直线y=x－1交于点M（3?n，2?n），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C．

∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．

（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N， ∴N坐标为（3?n，?2?n）， 又N在抛物线y?12x?3x?252上，∴?2?n?12?3?n?2?3?3?n??52，

解得n1?0（不合题意，舍去），n2??2（不合题意，舍去）， （ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N， ∴N坐标为（3?n，6?n）， 又N在抛物线y?12x?3x?252上，∴6?n?12?3?n?2?3?3?n??52，

解得n1??1?17，n2??1?17（不合题意，舍去），

综上所述，直线CD向右平移2或（1?17）个单位或向左平移（?1?17）个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4c5g.html