19.4.4线段的垂直平分线

华师大版 八年级数学19.4.4 线段垂直平分线

复习回顾1.你还记得线段的中点的定义吗？把线段分成相等两部分的点,叫线段的中点 2.看图说话 如图,O是线段AB的中点,你能得出什么结论吗?

1 AO BO AB 2

A

O

B

你会推理证明它吗?线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距 离相等

上面这个命题是真命题吗？你会证明它吗？分析：要想证明这个命题是真的命题，我们就应该 利用前面学习的定理进行论证分析，先画出图形， 写出已知(题设)和求证(结论),并利用证明两 条线段相等方法进行证明；首先考虑到的是三角形 全等。

推理过程演示已知，如图，P是线段AB的垂直平分线MN 上的点, 求证:PA=PB

M P

分析：要想证明PA=PB,找两个全等 O A 三角形，使PA、PD分别是这两个全 等三角形的对应边，根据条件 N △POA≌△POB 证明：∵ P是线段AB的垂直平分线MN上的点， ∴AO=BO ∠POA=∠POB=900, 在△POA和△POB中，∵∠AOP=∠BOP,PO=PO, OA=OB∴ △POA≌△POB(SAS)∴PA=PB 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的 距离相等

B

说出定理“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两 端点的距离相等”的逆命题，并证明它为真命题。 逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上 P 已知:如图,PA=PB. 求证:点P在AB的垂直平分线上. 分析：要证明P是AB的垂直平分线上的 点,就要证PO垂直平分AB,可以借助辅 A B O 助线. 证明：过P作PO ⊥ AB于O ∴∠POA=∠POB=900,在Rt△POD和Rt△POE中，PA=PB, OP=OP ∴ Rt△POD≌Rt△POE(HL) ∴AO=BO ,即 点P在AB的垂直平分线上.

让我们来试一试吧!

试一试命题:三角形三边的垂直平分线相交 于一点.B

AK P N

M

C

基本想法是这样的: 我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明 三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交 点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚 学到的逆定理.

命题证明如图,设△ABC边BC、AB的垂直平分线PM、PK相交于点P,

分别连结PA、PB、PCK

AP B N

∵PM是△ABC的边BC的垂直平分线,

M

C

∴PB=PC (线段的垂直平分线上的点到这个线段的两 端点距离相等). 同理,PB=PA.

∴PA=PC.

∴点P在AC边的垂直平分线上(到线段两端点距离相等 的点在这条线段的垂直平分线上). ∴△ABC的三边垂直平分线相交于一点P.

精典分析已知:如图,在△ABC上，点D在BC上，且BD+AD=BC 求证:点D在AC的垂直平分线上. 分析:要证明点D在AC的垂直 平分线上.要证明AD=CD, CD+BD=BC和BD+AD=BC即得 AD=CDA

B

D

C

证明：∵ AD+BD=BC,CD+BD=BC ∴ CD=AD, 即点D在AC的垂直平分线上 (到线段两端点距离相等的点在这条线段 的垂直平分线上)

能力

拓展已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,AB 的中垂线MN分别交BC、AB于点M、N,求证:CM=2BM 分析：MN是AB的中垂线， 得出AM=BM,△ACM是直角 三角形且有一锐角为300, 所以CM=2AM=2BMC M B

N

A

证明：∵ MN是AB的中垂线∴BM=AM, ∠MBA= ∠ MAB ∵AB=AC, ∠BAC=1200, ∴ ∠MBA=∠ MAB= ∠C=300,∴ ∠MAC=900 ∴在RtACM中，CM=2AM,即CM=2BM

思维发散如图，CA=CB,DA=DB,EA=EB.(1)C、D、E三点在一线 C 直线上吗？为什么？(2)若AB=24,AD=13,AC=20, D 那么CD的长是多少？A

分析：由CA=CB说明C点在AB的垂直平分 线，同理D、E也在AB的垂直平分线上； 用勾股定理来求线段的长。 答案：CD=11

O E

B

课堂小结你有什么收获和体会吗？你还有什么疑问吗？ 线段的垂直平分线上的点到这条线段 的两端点的距离相等 逆定理：到一条线段的两个端点的 距离相等的点,在这条线段的垂直 平分线上A M P

O

B

N A K

定理:三角形三边的垂直平分线相交 于一点.并且这一点到三个顶点的 距离相等(这个交点叫做三角形的 外心).

P NB M C

作业课本94习题第5、6 题做到作业本上

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