北京北师特学校2013届高三高考考前模拟演练 数学文 Word版含答案

北师特学校2013年高考模拟演练

数学（文史类）

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共150分。考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共40分）

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将第Ⅱ卷上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写清楚； 2．每小题选出答案后，将答案填在第Ⅱ卷答题卡对应的表格里。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。 1．如果复数(2 ai)i(a R)的实部与虚部互为相反数，则a的值等于（ ）

A． 1

x

B．1

C． 2

D．2

2. 命题“ x R,e x”的否定是（ ）

A． x R,e x B． x R,e x C． x R,e x D． x R,e x 3．“

x

x

x

x

6

”是“cos2

1

”的（ ） 2

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4. 在等差数列 an 中，已知a1 a2 a3 a4 a5 20，那么a3等于（ ） A．3 B．4 C．5 D．6

5．已知向量a= 2，，4 b= 11， ．若向量b (a+ b)，则实数 的值是（ ） Ａ．3

Ｂ．—3

Ｃ．

A． 充分而不必要条件

C． 充分必要条件

1 3

Ｄ．

1 3

6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）

A．32 B．16 C．12 D．8

俯视图

y≥x，

7.设变量x，y满足约束条件： x 2y≤2，，则z x 3y的最小值（ ）

x≥ 2．

A． 2 B． 4 C． 6 D． 8

8．在一张纸上画一个圆，圆心O，并在圆外设一定点F，折叠纸圆上某点落于F点，设该点为M，抹平纸片，折痕AB，连接MO（或者OM）并延长交AB于P，则P点轨迹 为（ ）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线

第Ⅱ卷 （共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 9．已知幂函数y f(x)的图象过（4，2）点，则f()

10．在△ABC中，若 A 60 ， B 45

，BC AC

12

2x 2,x 2

,则f(f(5)) ____________________。 设f(x)

log2(x 1),x 2

12．执行如图所示的程序框图,输出的S值为

13.化简

1111

的结果是

1 22 33 4n(n 1)

2

2

14. 若点P在直线l1:x y 3 0上，过点P的直线l2与曲线C:(x 5) y 16相切

于点M，则PM的最小值为 三、解答题: 本大题6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

22

15．（本小题满分13分）已知函数f(x) cosx sinx 2sinxcosx．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）当x

, 时，求函数f(x)的最大值，并写出x相应的取值. 44

16．（本小题满分13分）

如图，四棱锥P ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA 底面ABCD，且

PA 2，E是侧棱PA上的动点.

(Ⅰ) 求四棱锥P ABCD的体积；

(Ⅱ) 如果E是PA的中点，求证PC∥平面BDE； (Ⅲ) 是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD CE？

证明你的结论．

17．（本小题满分13分）

联合国准备举办一次有关全球气候变化的会议，分组研讨时某组有6名代表参加，A、

B两名代表来自亚洲，C、D两名代表来自北美洲，E、F两名代表来自非洲，小组讨论

后将随机选出两名代表发言．

（Ⅰ）代表A被选中的概率是多少？

（Ⅱ）选出的两名代表“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”的概率是多少？

18.（本题满分13分）

已知函数f(x)

a2

x lnx， 2

1

恒成立，求a的取值范围． 2

（1）若a 1，证明f(x)没有零点； （2）若f(x)

19.（本小题共14分）

已知中心在原点的椭圆C的右焦点为（，0），右顶点为（2，0）. （1） 求椭圆C的方程； （2） 若直线l:y kx

2与椭圆C恒有两个不同的交点A和B，且OA OB 2(其中

O为原点)，求k的取值范围.

20.（本小题共14分）

2

已知函数f(x) a1x a2x a3x anx,(n N)，又是f(1) n.

2

3

n

（1）求数列{an}的通项公式； （2）求f().

13

数学答题纸

（文史类）

一．选择题答案：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号 选项

1

2

3

4

5

6

7

8

二、填空题：（每小题5分，共30分。）

9、10、11、

12、、14、 三、解答题：（本大题满分80分。解答题应写出文字说明、证明或演算过程） 15、（本题13分）

16、（本题13分）

17、（本题13分）

18、（本题13分） 19、（满分14分）

20、（满分14分）

数学（文史类）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1．如果复数(2 ai)i(a R)的实部与虚部互为相反数，则a的值等于（ D ）

A． 1

x

B．1

C． 2

D．2

2. 命题“ x R,e x”的否定是（ D ）

A． x R,e x B． x R,e x C． x R,e x D． x R,e x 3．“

x

x

x

x

6

”是“cos2

1

”的（ A ） 2

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4. 在等差数列 an 中，已知a1 a2 a3 a4 a5 20，那么a3等于（ B ） A．3 B．4 C．5 D．6

5．已知向量a= 2，，4 b= 11， ．若向量b (a+ b)，则实数 的值是（ B ） Ａ．3

Ｂ．—3

Ｃ．

A． 充分而不必要条件

C． 充分必要条件

1 3

Ｄ．

1 3

6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ C ）

A．32 B．16 C．12 D．8

俯视图

y≥x，

7.设变量x，y满足约束条件： x 2y≤2，，则z x 3y的最小值（ D ）

x≥ 2．

A． 2 B． 4 C． 6 D． 8

8．在一张纸上画一个圆，圆心O，并在圆外设一定点F，折叠纸圆上某点落于F点，设该点为M，抹平纸片，折痕AB，连接MO（或者OM）并延长交AB于P，则P点轨迹 为（ B ）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线

第Ⅱ卷 （共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

9．已知幂函数y f(x)的图象过（4，2）点，则f() 122

2

10．在△ABC中，若 A 60 ， B 45

，BC AC 6

2x 2,x 2

,则f(f(5)) _________1___________。 设f(x)

log(x 1),x 2 2

22．执行如图所示的程序框图,输出的S值为 102

13.化简

n1111

的结果是

1 22 33 4n(n 1)n 1

2

2

14. 若点P在直线l1:x y 3 0上，过点P的直线l2与曲线C:(x 5) y 16相切

于点M，则PM的最小值为 4 14.已知点P是左、右焦点分别为F1、F2的双曲线上的一点，且 PF1F2为等腰直角三角

三、解答题: 本大题6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

22

15．（本小题满分13分）已知函数f(x) cosx sinx 2sinxcosx．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）当x

, 时，求函数f(x)的最大值，并写出x相应的取值. 44

22

解：（Ⅰ） f(x) cosx sinx 2sinxcosx cos2x sin2x 4分

x ) 6分

4

2

. 8分 2

3

（Ⅱ） x ， 2x ， 9分

44444

所以函数f(x)的最小正周期T

1 x ) 4

∴当2x ，即x 时，f(x

). 13分

428

16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA

底面ABCD，且PA 2，E是侧棱PA上的动点. (Ⅰ) 求四棱锥P ABCD的体积；

(Ⅱ) 如果E是PA的中点，求证PC∥平面BDE； (Ⅲ) 是否不论点E在侧棱PA的任何位置，

都有BD CE？证明你的结论．

解：（Ⅰ） ∵PA 平面ABCD，

∴VP ABCD

1

S正方形ABCD PA 2分 3

1222

1 2 即四棱锥P ABCD的体积为. 4分 333

（Ⅱ） 连结AC交BD于O，连结OE．∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点．

又∵E是PA的中点，∴PC∥OE． 6分

PC 平面BDE,OE 平面BDE ∴PC∥平面BDE． 9分

（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD CE. 10分

证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BD AC．

∵PA 底面ABCD，且BD 平面ABCD，∴BD PA． 12分 又∵AC PA A，∴BD 平面PAC． 13分 ∵不论点E在何位置，都有CE 平面PAC.

∴不论点E在何位置，都有BD CE. 14分 17．（本小题满分13分）

联合国准备举办一次有关全球气候变化的会议， 分组研讨时某组有6名代表参加，A、B两名

代表来自亚洲，C、D两名代表来自北美洲，

E、F两名代表来自非洲，小组讨论后将随机选出两名代表发言．

（Ⅰ）代表A被选中的概率是多少？

（Ⅱ）选出的两名代表“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”的概率是多少？ 解：（Ⅰ）从这6名代表中随机选出2名，共有15种不同的选法，分别为（A，B），（A，C），

（A，D），（A，E），（A，F），（B，C）,（B，D），（B，E），（B，F），（C，D）， （C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）． 2分

其中代表A被选中的选法有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F）共5种，

4分

则代表A被选中的概率为

51

． 6分 153

（Ⅱ）解法一：随机选出的2名代表“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”的结果

有9种，分别是（A，C），（A，D），（B，C）,（B，D），（C，E），（C，F）， （D，E），（D，F），（E，F）． 9分 “恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”这一事件的概率为

93

． 155

8； 15

13分

解法二：随机选出的2名代表“恰有1名来自北美洲”的结果有8种，概率为

8分

1

． 10分 15

813

“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”这一事件的概率为 ．

15155

随机选出的2名代表“都来自非洲”的结果有1种，概率为

13分

18.（本题满分13分）已知函数f(x)

a2

x lnx， 2

1

恒成立，求a的取值范围． 2

（1）若a 1，证明f(x)没有零点； （2）若f(x) 【答案】（I）a 1时f(x)

121

x lnx(x 0)，f'(x) x 2x

由f'(x) 0，得x 1，可得f(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增 故f(x)的最小值fmin(x) f(1)

1

0，所以f(x)没有零点 2

1ax2 1

（II）方法一： f'(x) ax

xx

（i）若a 0时，令f'(x) 0，

则x

，故f

'(x)在 上单调递减，

在

上单调递增，故f(x)在 0, 上的最小值为f(要使解得f(x)

111

) lna， a22

1111

恒成立，只需 lna ，得a 1 2222

（ii）若a 0，f'(x) 0恒成立，f(x)在 0, 是单调递减，f(1)

故不可能f(x)

19.（本小题共13分）

已知中心在原点的椭圆C的右焦点为（3，0），右顶点为（2，0）. （3） 求椭圆C的方程； （4） 若直线l:y kx

a

0， 2

1

恒成立 综上所述，a 1 . 2

2与椭圆C恒有两个不同的交点A和B，且OA OB 2(其中

O为原点)，求k的取值范围.

解：（1）由题意可得：a 2,c

3

2

x

y2 1 b a2 c2 4 3=1 所求的椭圆方程为：4

x22

1 y 122

（2）设A(x1,y1),B(x2,y2) 由 4 得：( k)x 22kx 1 0

4 y kx 2

x1 x2

22k1

（*） ,x1x2

1122 k k44

111

(22k)2 4 ( k2) 0 解得：k 或k

422

由OA OB 2 可得：x1x2 y1y2 2

x1x2 (kx1 2)(kx2 2) 2

整理得：(1 k)x1x2 2k(x1 x2) 0

2

4 12k2( 22k)

0 把（*）代入得：(1 k) 2k 0即：2

111 4k k2 k244

2

1

解得：

3 k 33

3113

k 或 k 3223

2

-综上：k19． 在平面直角坐标系xOy中，经过点（

0, 且斜率为k的直线l与椭圆x y2 1 有

2两个不同的交点P和Q. (Ⅰ)求k的取值范围；

(Ⅱ)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k，使得向量OP OQ

与AB共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.

解：(Ⅰ) 设直线l

的方程为y kx

x (kx2 1.

2

整理，得(1 k2)x2 1 0. ① 3分

2 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 8k2 4(1 k2) 4k2 2

0，解得k

k 2

2

（ ,∴ 满足条件的k的取值范围为

k

) 6分

(Ⅱ)设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则OP OQ＝（x1+x2，y1+y2),

由①得x1 x2 . ②

又y1 y2 k(x1 x2) ③

因为A 0)，B(0, 1)，

所以AB ( 1). 10分

所以OP OQ与AB共线等价于

x1 x2y1 y2).

将②③代入上式，解得k

所以不存在常数k，使得向量OP OQ与AB共线. 13分 20.（本小题共14分）

2

已知函数f(x) a1x a2x a3x anx,(n N)，又是f(1) n。

2

3

n

（1）求数列{an}的通项公式； （2）求f()。

13

解：（1）令Sn f(1) a1 a2 a an，则Sn n 当n 1 时， a1 S1 1； 当n 2时，an Sn Sn 1 2n 1 a1 1满足上式， an 2n 1

2

1111

（1） 3 2 53 (2n 1)n，

3333

1111111

f() 1 2 3 3 55 (2n 3)n (2n 1)n 1 （2

3333333

21111111

（1） (2) f() 1 2 2 2 3 25 2 n (2n 1)n 1

33333333

11(1 )2n 112n 122n 2 n 1 2 n 1 ，

133331 3

1n 1

故：f() 1 n。

33

（2） f() 1

13

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