2010高考物理总复习名师学案--曲线运动和万有引力定律

2010高考物理总复习名师学案--曲线运动和万有引力定律



●考点指要 知 识 点 运动的合成和分解. 曲线运动中质点的速度沿轨道的切线方向，且必具有加速度. 平抛运动. 匀速率圆周运动.线速度和角速度.周期.圆周运动的向心加速度a=向心力. 万有引力定律.重力是物体在地球表面附近所受到的地球对它的引力.重心. 宇宙速度，人造地球卫星.万有引力定律的应用. 【说明】 不要求会推导向心加速度的公式a=●复习导航

本章所研究的运动形式不同于前面两章，但研究的方法仍与前面一致，即根据牛顿第二定律研究物体做曲线运动时力与运动的关系.所以本章知识是牛顿运动定律在曲线运动形式下的具体应用.另外，运动的合成和分解是研究复杂运动的基本方法，万有引力定律是力学中一个独立的基本定律.复习好本章的概念和规律，将加深对速度、加速度及其关系的理解，加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析解决实际问题的能力，同时对复习振动和波、交流电、带电粒子在电场或磁场中的运动做好必要的准备.

平抛物体运动的规律及其研究方法、圆周运动的角速度、线速度、向心加速度和万有引力、人造卫星都是近年来高考的热点.由于航天技术、人造地球卫星属于现代科技发展的重要领域，所以近些年的高考对万有引力、人造卫星的考查每年都有.平抛运动、匀速圆周运动还经常与电场力、洛伦兹力联系起来进行综合考查.所以，对本章的复习应给予足够的重视.

本章内容可分成三个单元组织复习：(Ⅰ)运动的合成和分解；平抛运动.(Ⅱ)圆周运动.(Ⅲ)万有引力定律；人造地球卫星.

第Ⅰ单元 运动的合成和分解·平抛运动

●知识聚焦

一、运动的合成和分解

1.运动的独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，互不影响. 2.运动的合成：加速度、速度、位移都是矢量，遵守矢量的合成法则. (1)两分运动在同一直线上时，同向矢量大小相加，反向矢量大小相减.

(2)两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图4—1—1所示.

v2要求程度 Ⅰ Ⅱ Ⅱ v2R,Ⅱ Ⅱ Ⅱ R.

图4—1—1

(3)两分运动垂直时或正交分解后的合成 a合=ax?ay v合=vx?vy s合=sx?sy

3.运动的分解：是运动合成的逆过程.

分解原则：根据运动的实际效果分解或正交分解. 二、曲线运动

1.曲线运动的特点：运动质点在某一点的瞬时速度的方向，就是通过这一点的曲线的切线方向.因此，质点在曲线运动中的速度方向时刻在改变.所以曲线运动一定是变速运动.但是，变速运动不一定是曲线运动.

2.物体做曲线运动的条件：从运动学角度说，物体的加速度方向跟速度方向不在一条直线上时，物体就做曲线运动.从动力学的角度说，如果物体所受合外力的方向跟物体的速度方向不在一条直线上时，物体就做曲线运动.

三、平抛运动

1.定义：水平抛出的物体只在重力做用下的运动.

2.性质：是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线.

3.处理方法：可分解为(1)水平方向速度等于初速度的匀速直线运动.vx＝v0，x＝v0t.(2)竖直方向的自由落体运动.vy＝gt，y＝

12222222gt2.

下落时间t＝2y/g (只与下落高度y有关，与其他因素无关). 任何时刻的速度v及v与v0的夹角θ： v＝(v0)?(gt)，θ＝arctan（gt/v0） 任何时刻的总位移： s＝

x?y2222?(v0t)?(212gt)

22●疑难辨析

1.匀变速曲线运动与非匀变速曲线运动的区别：

加速度a恒定的曲线运动为匀变速曲线运动，如平抛运动. 加速度a变化的曲线运动为非匀变速曲线运动，如圆周运动. 2.对运动的合成和分解的讨论

（１）合运动的性质和轨迹

两直线运动合成，合运动的性质和轨迹由分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定：两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动.一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍是匀变速运动：二者共线时为匀变速直线运动；二者不共线时为匀变速曲线运动.两个匀变速直线运动的合运动仍为匀变速运动：当合初速度与合加速度共线时为匀变速直线运动；当合初速度与合加速度不共线时为匀变速曲线运动.

(2)轮船渡河问题的分解

方法1：将轮船渡河的运动看做水流的运动(水冲船的运动)和轮船相对水的运动(即设水不流动时船的运动)的合运动.

方法2：将船对水的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解如图4—1—2所示，则v1－v2cosθ为轮船实际上沿水流方向的运动速度，v2sinθ为轮船垂直于河岸方向的运动速度.

图4—1—2

①要使船垂直横渡，则应使v1－v2cosθ＝0，此时渡河位移最小为d.

②要使船渡河时间最短，则应使v2sinθ最大，即当θ＝90°时，渡河时间最短为t＝d/v2. （2）物体拉绳或绳拉物体运动的分解——按运动的实际效果分解.

例如，图4—1—3中，人用绳通过定滑轮拉物体A，当人以速度v0匀速前进时，求物体A的速度.

图4—1—3

首先要分析物体A的运动与人拉绳的运动之间有什么样的关系.物体A的运动（即绳的末端的运动）可看做两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度即等于v0；二是垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值.这样就可以将vA按图示方向进行分解，很容易求得物体A的速度vA＝

v0cos?.当物体A向左移动，θ将逐渐变大，vA逐渐变大.虽然人做匀速运动，但

物体A却在做变速运动.

在进行速度分解时，要分清合速度与分速度.合速度就是物体实际运动的速度，是平行四边形的对角线.虽然分速度的方向具有任意性，但只有按图示分解时，v1才等于v0，才能找出vA与v0的关系，因此，分速度方向的确定要视题目而具体分析.在上述问题中，若不对物体A的运动认真分析，就很容易得出vA＝v0cosθ的错误结果.

3.平抛运动中，任何两时刻(或两位置)的速度变化量Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下.如图4—1—4所示.

图4—1—4

●典例剖析

［例1］一艘小船从河岸的A处出发渡河，小船保持与河岸垂直方向行驶，经过10 min到达正对岸下游120 m的C处，如图4—1—5所示.如果小船保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过12.5 min恰好到达正对岸的B处，求河的宽度.

图4—1—5

【解析】 解决这类问题的关键是画好速度合成的示意图，画图时首先要明确哪是合运动哪是分运动.对本题来讲，AC和AB是两个不同运动过程中船相对于岸的实际运动方向，那么AB和AC就是速度合成平行四边形的对角线.一旦画好平行四边形，剩下的工做就是根据运动的等时性以及三角形的边角关系列方程求解了.

设河宽为d，河水流速为v水，船速为v船，船两次运动速度合成如图4—1—6和4—1—7所示

图4—1—6 图4—1—7

第一次渡河与第二次渡河在垂直岸的方向上位移相等，则 v船t1=v船sinαt2 ① 第一次渡河沿水流方向上位移为BC，则 BC＝v

水

t1 ②

由图4—1—7可得船的合速度：v=v水tanα，所以河的宽度为： d=v t2＝v水tanα·t2 ③ 由①式得 sinα=0.8 故tanα=由②式得 v水=12 m/min 代入③式可得河宽d=１2×

4342

×１2.5 m＝200 m

【思考】 (1)若渡河过程中水流的速度突然变大了，是否影响渡河时间?是否影响到达对岸的地点? (2)如果v船＜v水，小船还能不能到达对岸的B点?这时的最小位移该如何求?

【思考提示】 （1）水流的速度增大，不影响过河的时间，但影响到达对岸的地点.

（2）当v船＜v水时，小船不能到达对岸B点.当v船跟船的合速度垂直时，船过河的位移最小. 【设计意图】 通过本例说明运动合成与分解的方法，并进一步说明分析小船过河问题的方法. ［例2］在高空匀速水平飞行的飞机，每隔1 s投放一物体，则 A.这些物体落地前排列在一条竖直线上

B.这些物体都落在地面上的同一点

C.这些物体落地时速度大小和方向都相同 D.相邻物体在空中距离保持不变

【解析】 这些物体离开飞机后均做平抛运动.在水平方向上，物体与飞机的速度相同，所以所有物体在落地前均处在飞机的正下方.故A选项正确.

物体下落的总时间相同，水平方向最大位移也相同，由于不同物体的抛出点不同，所以落地点也不同.故Ｂ选项错.

物体落地时的水平分速度v0均相同，竖直分速度vy＝2gh也相同，所以这些物体落地速度的大小和方向都相同.故C选项正确.

任两个相邻物体在空中的距离Δh＝h1－h2＝h也逐渐增大.Ｄ选项错.

故正确选项为AC

【思考】 (1)飞机上的人看物体做什么运动?地面上的人又认为物体做什么运动? (2)若某时刻一物体刚离开飞机，试画出此前四个物体的运动轨迹示意图.

(3)若物体在落地前的最后10 s内，其速度方向由跟竖直方向成60°变为45°.那么，飞机的高度和速度多大?相邻物体落地点间的距离多大?

【思考提示】 （1）飞机上的人看物体做自由落体运动，地面上的人看物体做平抛运动.

12gt2－

12g（t－1）2＝

12g（2t－1），即随着t的增大，Δ

（2）如图a所示.

（3）如图b所示. vy1=v0tan30° vy2=v0tan45° vy2-vy1=gΔt 求得v0=236.6 m/s vy2=v0=236.6 m/s 飞机的飞行高度为 h=vy222g?236.622?10 m=2799 m

相邻物体落地点间的距离为236.6 m.

【设计意图】 复习平抛运动的规律及研究方法.

［例3］如图4—1—8所示，排球场总长为18 m，设网的高度为2 m，运动员站在离网3 m远的线上正对网前竖直跳起把球垂直于网水平击出.(g=10 m/s2)

图4—1—8

(1)设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界? (2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度多大，球不是触网就是出界，试求出此高度?

【解析】 水平击出的排球其运动情况虽然受空气阻力的影响，但是当这类题目出现在中学物理中时仍然可以简化为只受重力做用，因此在这里可以认为其运动为平抛运动.第(1)问中击球点位置确定之后，恰不触网是速度的一个临界值，恰不出界则是击球速度的另一个临界值.第(2)问中确定的则是临界轨迹，当击球点、网的上边缘和边界点三者位于临界轨迹上时，如果击球速度变小则一定触网，否则速度变大则一定出界.

（1）如图4—1—9所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ.排球恰不出界时其轨迹为Ⅱ.根据平抛物体的运动规律：x=v0t和h＝

12gt2可得，当排球恰不触网时有：

图4—1—9

x1＝3 m x1＝v1t1

12

① ②

h1＝2.5 m－2 m＝0.5 m，h1＝由①②可得：v1=9.5 m/s 当排球恰不出界时有： x2＝3 m＋9 m＝12 m,x2＝v2t2 h2＝2.5 m,h2＝

12gt12

③ ④

gt2

2

由③④可得：v2＝17 m/s

所以既不触网也不出界的速度范围是：

9.5 m/s＜v≤17 m/s

(2) 图4—1—10所示为排球恰不触网也恰不出界的临界轨迹.设击球点的高度为h，根据平抛运动的规律则有：

x1＝3 m，x1＝v t1′ h1′＝h－2 m,h1′＝

12

图4—1—10

⑤ ⑥ ⑦ ⑧

gt1′2

x2＝3 m＋9 m＝12m,x2＝v t2′ h2＝h＝

12gt2′2

解⑤～⑧式可得所求高度h=2.13 m.

【说明】 本题涉及的物理过程并不复杂，但每当遇到类似的题目时常常又感到无从下手，因此能养成一个良好的分析问题解决问题的思路特别重要.结合本题的解题过程不难看出，解决本题的关键有三点：其一是确定运动性质——平抛运动；其二是确定临界状态——恰不触网或恰不出界；其三是确定临界轨迹——轨迹示意图.

【设计意图】 （1）通过本例说明平抛运动中临界问题的分析方法；（2）练习应用平抛运动规律分析实际问题的方法.

●反馈练习 ★夯实基础

1.做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是 A.大小相等，方向相同 B.大小不等，方向不同 C.大小相等，方向不同

D.大小不等，方向相同

【解析】 平抛运动是匀变速运动，加速度为重力加速度，速度的改变量为Δv=gt 故平抛运动的物体每1 s速度的增量大小为9.8 m/s，方向竖直向下，A选项正确. 【答案】 A

2.对平抛运动的物体，若g已知，再给出下列哪组条件，可确定其初速度大小 A.水平位移 B.下落高度

C.落地时速度的大小和方向 D.落地时位移的大小和方向

【解析】 平抛运动的物体水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动.已知落地时速度大小和方向，则初速度为落地速度的水平分速度.

【答案】 C

3.物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角α的正切tanα随时间t变化的图象是如图4—1—11中的

图4—1—11

【解析】 由图中可看出平抛物体速度与水平方向夹角α正切即为：tanα＝

vyv0?gv0t,gv0为定值，则tanα与t成正比.

【答案】 B

4.有关运动的合成，以下说法正确的是

A.两个直线运动的合运动一定是直线运动

B.两个不在一直线上的匀速直线运动的合运动一定是直线运动 C.两个匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动 D.匀加速直线运动和匀速直线运动的合运动一定是直线运动

【解析】 判断合运动是直线运动还是曲线运动，依据是物体所受的合外力或物体的合加速度与合速度方向是否在一条直线上.

【答案】 B

5.甲乙两人在一幢楼的三层窗口比赛掷垒球，他们都尽力沿水平方向掷出同样的垒球，不计空气阻力.甲掷的水平距离正好是乙的两倍.若乙要想水平掷出相当于甲在三层窗口掷出的距离，则乙应

A.在5层窗口水平掷出

B.在6层窗口水平掷出 C.在9层窗口水平掷出 D.在12层窗口水平掷出

【解析】 由于h甲=h乙，x甲=2x乙，所以v甲=2v乙；由x=v0t得为使x甲′=x乙′，须使 t甲′=

1212t乙′；由h=

gt2得h甲′=

14h乙′，故为使甲、乙掷出球的水平距离相等，乙应在12层窗

口水平抛出.

【答案】 D

6.从倾角为θ的足够长的斜面上的A点，先后将同一小球以不同的初速度水平向左抛出.第一次初速度为v1，球落到斜面上的瞬时速度方向与斜面夹角为α1，第二次初速度为v2,球落到斜面上的瞬时速度方向与斜面夹角为α2，若v1＞v2,则 A.α1＞α2

B.α1=α2 C.α1＜α2

D.无法确定

【解析】 如图所示，由平抛运动的规律知

lsinθ=

12gt

2

lcosθ=v0t 解得:t=

2v0tan?g

由图知 tan(α+θ)=

vyv0?gtv0 =2tanθ

所以α与抛出速度 v0无关，故α1=α2，选项B正确. 【答案】 B

7.炮台高出海面45 m，炮弹的水平出口速度为600 m/s，如果要使炮弹击中一艘正以

36 km/h的速度沿直线远离炮台逃跑的敌舰，那么应在敌舰离炮台____ m处开炮.（g＝10 m/s2）

【解析】 击中敌舰用时间：

12gt2＝h，t＝3 s，则有v

敌舰

t＋x＝v

炮弹

·t，则x＝v

炮弹

·t－v

敌舰

·t＝1770

m

【答案】 1770

8.世界上第一颗原子弹爆炸时，恩里科·费米把事先准备好的碎纸片从头顶上方撒下，碎纸片落到他身后约2 m处.由此，费米推算出那枚原子弹的威力相当于1万吨TNT炸药.假设纸片是从1.8 m高处撒下.请你估算当时的风速是___m/s，并简述估算的方法 .

【答案】

103或3.3 把纸片的运动看做是平抛运动，由h＝

12gt2，v＝

st求出风速v

★提升能力

9.玻璃生产线上，宽9 m的成型玻璃板以2 m/s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为10 m/s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制?切割一次的时间多长?

【解析】 本题是研究分运动和合运动的问题.由题图可知： cosθ＝

2 m/s10 m/s＝0.2

则θ＝arccos0.2 v⊥＝10?2 m/s?t＝

9962296 m/s

s≈0.92 s

【答案】 (1)轨道方向与玻璃板运动方向成arccos0.2.

(2)0.92 s

10.有一小船正在渡河，如图4—1—12所示，在离对岸30 m时，其下游40 m处有一危险水域.假若水流速度为5 m/s,为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么，从现在起，小船相对于静水的最小速度应是多大？

图4—2—12

【解析】 如图所示，当小船到达危险水域前，恰好到达对岸，其合速度方向沿AC方向，sinα=

v1=v2sinα=

3535.为使船速最小，应使v1⊥v，则

v2=3 m/s.

【答案】 3 m/s

11.五个直径均为d=5 cm的圆环连接在一起，用细线悬于O点.枪管水平时枪口中心与第五个环心在同一水平面上，如图4—1—13，它们相距100 m，且连线与球面垂直.现烧断细线，经过0.1 s后开枪射出子弹，若子弹恰好穿过第2个环的环心，求子弹离开枪口时的速度(不计空气阻力，g取10 m/s2).

图4—1—13

【解析】 设从子弹射出到穿过环心所用时间为t，则根据平抛运动在竖直方向上做自由落体运动的特点，得竖直方向的位移关系：

s弹＋0.05×（5－2） m＝s环

即

12

gt2＋0.05×2 m＝

12g（t＋0.1 s）2，

解得t=0.1 s.

又据子弹水平方向做匀速直线运动：则 v0＝

st?1000.1 m/s＝1000 m/s

【答案】 1000 m/s

12.如图4—1—14，AB为斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点.求：

图4—1—14

(1)AB间的距离；

(2)物体在空中飞行的时间；

(3)从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大?

【解析】 (1)、(2)由题意，得：

12gt2＝lAB sin30°

233g v0

①

②

v0t=lABcos30° 解得：t=

2

2v0gtan30°＝

lAB=4v0/3g

(3)将v0和重力加速度g沿平行于斜面和垂直于斜面方向正交分解如图所示.则当物

体在垂直于斜面方向速度为零时与斜面距离最大，即： v⊥0-g⊥t′＝0

v0sin30°-gcos30°t=0 所以t=3v0/3g

或：当平抛运动的速度与斜面平行时，物体离斜面最远，如图所示， 则vy=v0tan30°=gt′ t′=

v0tan30?g?3v03g2

【答案】 (1)

4v03g;(2)

23v03g;(3)

3v03g

?13.光滑斜面倾角为θ，长为L，上端一小球沿斜面水平方向以速度v0抛出，如图4—1—15所示.求小球滑到底端时，水平方向位移多大?

图4—1—15

【解析】 小球的运动可分解为两个分运动：①水平方向匀速直线运动；②沿斜面向下做初速度为零的匀加速直线运动，a=gsinθ.水平方向：s=v0t

沿斜面向下：L＝

2Lgsin?12at2

解得l=v0.

【答案】 v0

2Lgsin?

?14.飞机以恒定的速度v沿水平方向飞行，飞行高度为2000 m，在飞行过程中释放一炸弹，在30 s后飞行员听见炸弹落地的爆炸声.假设此爆炸声向空间各个方向传播速度都为320 m/s，炸弹受到的空气阻力可以忽略，取g＝10 m/s2.则炸弹经_______s时间落地，该飞机的飞行速度v＝_______m/s.(答案保留2位有效数字)

【解析】 炸弹飞行时间由平抛运动规律可求.竖直方向为自由落体运动，则由h＝20 s.则：声音传播时间t2＝20 s－20 s＝10 s

飞机10 s内飞行距离为：3200由此可求飞行速度.

炸弹落地时，飞机在其正上方，在声音传播到飞机的10 s内飞机的位移为

x=v0t2

如图所示，则 h2+x2=v2t22

即 h2+v02t22=v2t22 解得v0=v?212gt2，可求得t1＝

2?20002

ht22

=3202?20001022 m/s=250 m/s

【答案】 20 2.5×102

第Ⅱ单元 圆周运动

●知识聚焦

一、描述圆周运动的物理量 1.线速度

(1)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢.

(2)方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向. (3)大小：v＝s/t(s是t时间内通过的弧长). 2.角速度

(1)物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢.

(2)大小：ω＝φ/t（rad/s），φ是连接质点和圆心的半径在t时间内转过的角度. 3.周期T，频率f

做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期.

做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速. 4.v、ω、4、f的关系

T＝

2?T1f，

ω＝v＝

2?f，

2?Tr?2?fr??r

注意：T、f、ω三个量中任一个确定，其余两个也就确定了. 5.向心加速度

(1)物理意义：描述线速度方向改变的快慢. (2)大小：a＝

v2r＝ωr＝4πf r＝

222

4?422r

（2）方向：总是指向圆心.所以不论a的大小是否变化，它都是个变化的量.

6.向心力

(1)做用效果：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小.因此，向心力不做功. (2)大小：F＝ma＝m

v2r2

＝mωr

2

＝m

4?422r＝4πmf r

2

（2）方向：总是沿半径指向圆心，向心力是个变力.

二、匀速圆周运动

1.特点：匀速圆周运动是线速度大小不变的运动.因此它的角速度、周期和频率都是恒定不变的.物体受的合外力全部提供向心力.

2.质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直. 三、一般的圆周运动(非匀速圆周运动)

速度的大小有变化，向心力和向心加速度的大小也随着变化.公式v=ωr、a=

2

v2r=ωr、F=m

2

v2r=mω

r对非匀速圆周运动仍然适用，只是利用公式求圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小，必须用该点

的瞬时速度值.

●疑难辨析

1.在分析传动装置的各物理量时，要抓住不等量和相等量的关系.同轴的各点角速度ω相等，而线速度

2

v＝ωr与半径r成正比，向心加速度a=ωr与半径成正比.在不考虑皮带打滑的情况下，传动皮带与皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度ω＝

2.处理圆周运动的动力学问题时，在明确研究对象以后，首先要注意两个问题：

(1)确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向.例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图4—2—1所示.小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O′点，不在球心O，也不在弹力FN所指的PO线上.

vr与半径r成反比,向心加速度a=

v2r与半径成反比.

图4—2—1

(2)向心力是根据力的效果命名的.在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互做用力(重力、弹力、摩擦力等)以外再添加一个向心力.

3.圆周运动的临界问题：

图4—2—2



①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的做用：mg＝m

v2图4—2—3

(1)如图4—2—2和图4—2—3所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：

R?v

临界

＝Rg

②能过最高点的条件：v≥Rg，当v＞Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力. ③不能过最高点的条件：v＜v

临界

(实际上球还没到最高点时就脱离了轨道)

图4—2—4 图4—2—5

(2)如图4—2—4的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况： ①当v＝0时，FN＝mg（FN为支持力）.

②当0＜v＜Rg时，FN随v增大而减小，且mg＞FN＞0，FN为支持力. ③当v＝Rg时，FN＝0.

④当v＞Rg时，FN为拉力，FN随v的增大而增大.

若是图4—2—5的小球在轨道的最高点时，如果v≥Rg此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力.

●典例剖析

［例1］如图4—2—6所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r,a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r,b点在小轮上，到小轮中心距离为r,c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则

图4—2—6

A.a点与b点线速度大小相等 B.a点与c点角速度大小相等 C.a点与d点向心加速度大小相等 D.a、b、c、d四点，加速度最小的是b点

【解析】 分析本题的关键有两点：其一是同一轮轴上的各点角速度相同；其二是皮带不打滑时，与皮带接触的各点线速度相同.这两点抓住了，然后再根据描述圆周运动的各物理量之间的关系就不难得出正确的结论.

由图4—2—6可知，a点和c点是与皮带接触的两个点，所以在传动过程中二者的线速度相等，即va

＝vc，又v=ωR， 所以ωar＝ωc·2r，即ωa＝2ωc.而b、c、d三点在同一轮轴上，它们的角速度相等，则ωb＝ωc＝ωd＝

12ωa，所以选项Ｂ错.又vb＝ωb·r＝

1212ωar＝

12va，所以选项A也错.向心加速度：aa＝

ωa2r；ab＝ωb2·r＝（

ac＝ωc2·2r＝（

12ωa）2r＝

14ωa2r＝

1214aa；

12ωa）2·2r＝ ωa2r＝aa；ad＝ωd2·4r＝（

12ωa）2·4r＝ωa2r＝aa.所以选项

C、D均正确.

【思考】 在皮带传动装置中，从动轮的转动是静摩擦力做用的结果.试分析一下主动轮和从动轮上的与皮带接触的各点所受摩擦力的情况.

【思考提示】 从动能的摩擦力带动轮子转动，故轮子受到的摩擦力方向沿从动轮的切线与轮的转动方向相同；主动轮靠摩擦力带动皮带，故主动轮所受摩擦力方向沿轮的切线与轮的转动方向相反.

【设计意图】 帮助学生理清表示圆周运动的各物理量间的关有关问题的方法.

［例2］如图4—2—7所示，在电机距轴O为r处固定一质电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动.则电机对地面的最压力之差为 .

【解析】 铁块在竖直面内做匀速圆周运动，其向心力是重力力F的合力.由圆周运动的规律可知： 当m转到最低点时F最大，点时F最小.设铁块在最高点和最低点时，电机对其做用力分别为指向轴心，根据牛顿第二定律有：

在最高点：mg＋F1＝mωr 在最低点：F2－mg＝mω2r

2

系.并掌握讨论量为m的铁块.大压力和最小

图4—2—7

mg与轮对它的当m转到最高F1和F2，且都

① ②

电机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块m位于最低点和最高点时，且压力差的大小为：ΔFN＝F2＋F1 ③

由①②③式可解得：ΔFN＝2mω2r

【思考】 (1)若m在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动? (2)当角速度ω为何值时，铁块在最高点与电机恰无做用力?

(3)本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图.若电机的质量为M，则ω多大时，电机可以“跳”起来?此情况下，对地面的最大压力是多少?

【思考提示】 （1）平抛运动

（2）电机对铁块无做用力时，重力提供铁块的向心力，则 mg=mω12r

即 ω1=

gr

(3)铁块在最高点时，铁块与电动机的相互做用力大小为F1，则

2

F1+mg=mω2r F1=Mg 即当ω2≥压力最大，则

F2-mg=mω22r FN=F2+Mg

解得电机对地面的最大压力为FN=2（M+m)g

【设计意图】 通过本例说明在竖直平面内物体做圆周运动通过最高点和最低点时向心力的来源，以及在最高点的临界条件的判断和临界问题分析方法.

［例3］如图4—2—8所示，光滑的水平面上钉有两枚铁钉A和B，相距0.1 m、长1 m的柔软细绳拴在A上，另一端系一质量为0.5 kg的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉紧，给小球以2 m/s的垂直细线方向的水平速度使它做圆周运动.由于钉子B的存在，使线慢慢地缠在A、B上.

(M?m)gmr时，电动机可以跳起来，当ω2=

(M?m)gmr时，铁块在最低点时电机对地面

图4—2—8

(1)如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在A、B上需要多长时间? (2)如果细线的抗断拉力为7 N，从开始运动到细线断裂需经历多长时间?

【解析】 小球交替地绕A、B做匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力F不断增大，半周期不断减小.推算出每个半周期的时间及半周期数，就可求出总时间，根据绳子能承受的最大拉力，可求出细绳断裂所经历的时间.

在第一个半周期内：F1＝m

v2L0 t1＝

2?L0v

在第二个半周期内：F2＝m

vL0?LAB

t2＝

?(L0?LAB)v

2在第三个半周期内：F2＝m

vL0?2LAB

t3＝

?(L0?2LAB)v

??

在第n个半周期内： Fn＝m

v2L0?(n?1)LAB

tn＝

??L0?(n?1)LABvL0LAB?10.1?

由于＝10 所以n≤10

（1）小球从开始运动到细线完全缠到A、B上的时间 t＝t1＋t2＋?＋t10 ＝?v?10L0??1?2?3???(10?1)?LAB?

＝

??10L0?v??10?(10?1)2??0.1?≈8.6 s

?（2）设在第x个半周期时，Fx＝7 N 由Fx＝m

v2L0?(x?1)LAB

代入数据后得x＝8 则所经历的时间 t＝

??8L0?v??8?(8?1)28?(8?1)2?LAB?

???0.1? s≈8.2 s

?＝

??8?1??2?【说明】 运用递推规律写出通式及对数列的求和都是物理解题中常用到的数学方法.物理和数学是紧密联系的，应用数学处理物理问题的能力是高考要求的五种能力之一，近几年的高考均对该能力提出了较

高的要求.因此，在平时的练习中，应注意数学知识与物理知识的结合，能在正确分析、清楚地理解试题所给的物理现象、物理过程的基础上，运用数学知识列式、推导和求解.

【设计意图】 如何对于这种多过程问题，利用递推规律总结出有关物理量变化的通式的方法；提高学生应用数学知识解决物理问题的能力.

●反馈练习 ★夯实基础

1.一辆卡车在丘陵地匀速行驶，地形如图4—2—9所示，由于轮胎太旧，途中爆胎，爆胎可能性最大的地段应是

A.a处

图4—2—9

B.b处

C.c处 Ｄ.d处

2

【解析】 汽车在不同路段上的运动，可认为是半径不同的圆周运动.在a、c两处有mg-FN1＝mv/2，则正压力FN1小于重力.在b、d两处有：FN2－mg＝mv2/2，则正压力FN2大于重力，又因为d处的半径小，所以轮胎在d处受的正压力最大.

【答案】 D

2.有一种大型游戏器械，它是一个圆筒型大容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动后，转速加快到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，这是因为

A.游客受到的筒壁的做用力垂直于筒壁 B.游客处于失重状态

C.游客受到的摩擦力等于重力

D.游客随着转速的增大有沿壁向上滑动的趋势

【解析】 人做圆周运动的向心力由容器壁的弹力提供；竖直方向人受到的静摩擦力跟重力是一对平衡力，C选项正确.游客受到筒壁的做用力为弹力和摩擦力的合力，不与筒壁垂直，A选项错.游客在竖直方向加速度为零，故不是处于失重状态，B选项错，转速增大时，游客仍有沿筒壁下滑的趋势，受到向上的静摩擦力做用.D选项错.

【答案】 C

3.对滑冰运动员的最大摩擦力为其重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，若仅依靠摩擦力来提供向心力而不冲出圆形滑道，其运动的速度应满足

A.v≥kRg

B.v≤kRg

kRg2C.v≤2kRg D.v≤

2

【解析】 摩擦力提供向心力；根据临界条件，mgk=m

vR,得v＝kRg

则v≤kRg 【答案】 B

4.如图4—2—10所示，将完全相同的两小球A、B用长L=0.8 m的细绳悬于以速度v=4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车的前、后壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时悬线的拉力之比FB∶FA为（g取10 m/s2）

图4—2—10

A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4 【解析】 小车突然停止，球B也随之停止，故FB=mg 球A开始从最低点摆动，则 FA-mg=m

v2Lv2

FA=m(g+

L)=3mg

所以

FBFA?13

【答案】 C

5.用同样材料做成的A、B、C三个物体，放在匀速转动的水平平台上，已知，mA=2mB=2mC，各物体到轴的距离rC=2rA=2rB，若它们相对于平台无滑动，则下面说法中不正确的是 ．．．

A.C的向心加速度最大

2

B.B的摩擦力最小

D.转速增大时，B比A先滑动

2

C.转速增大时，C比B先滑动

2

2

【解析】 由a=ωr知，C的向心加速度最大.由Ff=mωr知,B所受的静摩擦力最小.物体将要滑动时有μmg=m ωr，即μg=ωr.所以在转速增大时，C先滑动.所以D选项的说法不正确.

【答案】 D

6.在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图4—2—11所示，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为

图4—2—11

A.1∶1 C.2∶1

B.1∶

2

D.1∶2

【解析】 两球向心力、角速度均相等，由公式 F=mω2r 得r∝【答案】 D

7.童非，江西人，中国著名体操运动员，首次在单杠项目上实现了“单臂大回环 ”:用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动.假设童非的质量为65 kg，那么，在完成“单臂大回环” 的过程中，童非的单臂至少要能够承受______ N的力.（g取10 m/s2）

【解析】 由机械能守恒可知从杠上面静止开始到转至杠下面的运动员的速度为：

1m，则

r1r2?m2m1?12.

mg·2·h＝

v1212mv1，由圆周运动的知识可得：

2

F-mg＝m

h

综合两式可得：F＝5mg=3250 N 【答案】 3250

8.如图4—2—12所示，直径为d的纸制圆筒，使它以角速度ω绕轴O匀速转动，然后使子弹沿直径穿过圆筒.若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下a、b两个弹孔，已知aO、bO夹角为φ，求子弹的速度.

图4—2—12

【解析】 子弹从a穿入圆筒到从b穿出圆筒，圆筒转过的角度为π-φ，则子弹穿过圆筒的时间为t=(π－φ）/ω

在这段时间内子弹的位移为圆筒的直径d，则子弹的速度为

v=d/t=ωd/（π－φ）. 【答案】 ωd/（π－φ）

9.质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑水平面上绕O点匀速转动时，如图4—2—13所示，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比.

图4—2—13

【解析】 A、B两球在光滑水平面上做匀速圆周运动时，B球受到重力、支持力、杆的拉力三个力做用，重力和支持力平衡，杆AB对它的拉力即为它做匀速圆周运动的向心力，设杆转动的角速度为ω，则FAB＝mωL ①

A球受到四个力的做用，其重力和支持力平衡，其做匀速圆周运动的向心力为OA和AB两段杆对A球拉力的合力，即

FOA－FAB＝mω2L/2

②

2

由①②得FOA＝2mω2L/2

由OA段与AB段的拉力之比为： FOA∶FAB＝3∶2

【答案】 3∶2

10.汽车以一定的速度在一宽阔水平路上匀速直线行驶，突然发现正前方有一堵长墙，为了尽可能避免碰到墙壁，司机紧急刹车好?还是马上转弯好?试定量分析并说明道理(“马上转弯”可近似地看做匀速圆周运动).

【解析】 刹车好还是转弯好，要看哪种方法撞墙的可能性小.设摩擦因数为μ，质量为m，速度为v.

刹车：μmg＝ma 则a=μg.

由

22

2as=vt－v0

得s＝

v22?g

转弯：μmg＝m

v22 得R＝

v2?g

比较得刹车比转弯好. 【答案】 紧急刹车好 ★提升能力

11.一把雨伞边缘的半径为r，且高出水平地面h.当雨伞以角速度ω旋转时，雨滴自边缘甩出落在地面上成一个大圆周.这个大圆的半径为_______.

【解析】 雨滴离开雨伞的速度为 v0=ωr

雨滴做平抛运动的时间为 t=

2hg

雨滴的水平位移为 x=v0t=ωr

2hg

雨滴落在地上形成的大圆的半径为 R=r?x22?r??r2222hg?r1?2h?g2

【答案】 r1?2h?g2

12.如图4—2—14所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6 kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3 kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2 m.若A与转盘间的最大静摩擦力为Ff=2 N,为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围.（取g=10 m/s2）

图4—2—14

【解析】 要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度.A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成，角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心力运动的趋势，静摩擦力背离圆心O.

对于B，F=mg

对于A，F+Ff=Mrω12 F-Ff=Mrω22

解得：ω1=

mg?fMrmg?FfMr=6.5 rad/s;

ω2=2.9 rad/s

【答案】 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s

13.如图4—2—15，电视画面每隔1/30 s更迭一帧，当屏幕上出现一辆车匀速奔驰的情景时，观众如果注视车辆的辐条，往往会产生奇怪的感觉，设车上有八根对称分布的完全相同的辐条，试问下列说法不正确的是

?

图4—2—15

A.若在B.若在C.若在D.若在

130130130130 s内，每根辐条恰好转过45°，则观众觉得车轮是不动的 s内，每根辐条恰好转过360°，则观众觉得车轮是不动的 s内，每根辐条恰好转过365°，则观众觉得车轮是倒转的 s内，每根辐条恰好转过355°，则观众觉得车轮是倒转的

【解析】 若在1/30 s内，转过45°或360°，相邻辐条之间，后面辐条转至前面辐条位置，由于视觉暂留，观众认为不动.同理可判定D的说法正确.不正确的判断为C.

【答案】 C ?

14.如果表演“水流星”节目时(一个杯子)，拴杯子的绳长为L，绳子能承受的最大拉力是杯子和杯内水重力的8倍，要使绳子不断裂，节目成功，则杯子通过最高点的速度最小为______，通过最低点的速度最大为______.

【解析】 据圆周运动的知识，对最高点分析有：mg＝m

2v12L,v1?gL

对最低点有：Fmax－mg＝m

v2L,v2?7gL

【答案】

?

gL;7gL

15.质量为mA和mB的两个小球A和B用轻质弹簧连在一起，用长为L1的细绳将A球系于O轴上，使AB两球均以角速度ω在光滑的水平面上绕OO′轴做匀速圆周运动，如图4—2—16所示，当两球间的距离为L2时，将线烧断，线被烧断的瞬间，两球加速度aA和aB各是多少？

图4—2—16

【解析】 B球绕O点做匀速圆周运动时，向心力由弹簧的弹力提供，则 F=mBω2(L1+L2)

烧断线的瞬间，A、B受的合外力均为F=mBω(L1+L2)，所以，两球的加速度分别为 aA=

FmAFmB2

?mBmA2?(L1?L2)

2aB=

??(L1?L2)

【答案】

?

mBmA?(L1?L2);?(L1?L2)

2216.如图4—2—17所示，质量为m=1 kg的小球用细线拴住，线长l=0.5 m，细线所受拉力达到Fm=18

N时就会被拉断.当小球从图示位置释放后摆到悬点的正下方时，细线恰好被拉断，若此时小球距水平地面的高度h=5 m，重力加速度g=10 m/s2，求小球落地处到地面上P点的距离.（P点在悬点的正下方）

图4—2—17

【解析】 小球摆到悬点正下方时，细线的拉力达到Fm=18 N，此时球的速度为v，则 Fm-mg=m

vl2

解得 v=2 m/s

线断后小球做平抛运动，则 h=

12gt2

x=vt 解得x=v t=v【答案】 2 m

2hg=2×

2?510=2 m

第Ⅲ单元 万有引力定律·人造地球卫星

●知识聚焦

一、万有引力定律

1.万有引力定律的内容和公式

宇宙间的一切物体都是互相吸引的.两个物体间的引力的大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比.

公式：F＝G

m1m2r2，其中

G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量.

2.适用条件：公式适用于质点间的相互做用.当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点.均匀的球体也可视为质量集中于球心的质点，r是两球心间的距离.

二、应用万有引力定律分析天体的运动

1.基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供. GMmR2?mv2R?m?R?m(22?T)R?m(2?f)R

22应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算 2.天体质量M、密度ρ的估算：

测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径R和周期T，由G

MmR2＝m

4?T22R得M＝

4?RGT223，ρ＝

MV?M43?33?R233?R0GTR0.(R0为天体的半径)

当卫星沿天体表面绕天体运行时，R＝R0，则 ρ＝3.卫星的绕行速度、角速度、周期与半径R的关系 (1)由G

MmR23?GT2

?mv2R得v＝

GMR，

所以R越大，v越小. (2)由G

MmR2＝mω2R，得ω＝

GMR3，

所以R越大，ω越小. (3)由G

MmR2?m4?T22R 得T＝

4?RGM23

所以R越大，T越大.

4.三种宇宙速度

(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v1＝7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度,也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度.

(2)第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.

(3)第三宇宙速度(逃逸速度)：v2＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度. 5.地球同步卫星

所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，和地球自转具有同周期的卫星，T＝24 h.同步卫星必须位于赤道正上方距地面高度h≈2.6×104 km处.

●疑难辨析

1.重力和万有引力

重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的.物体的重力和地球对该物体的万有引力差别很小，一般可认为二者大小相等.即mg＝G

MmR02，式中g为地球表面附近的重力加速度，R0为地球的半径.

所以在求第一宇宙速度时，可以用m

v12R0?GMmR02，也可以用m

v12R0?mg.

2.随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度

放于地面上的物体随地球自转所需的向心力是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供；而环绕地球运行的卫星所需的向心力完全由地球对它的引力提供.两个向心力的数值相差很多，如质量为1 kg的物体在赤道上随地球自转所需的向心力只有0.034 N，而它所受地球引力约为9.8 N.

2?2)R0，式对应的两个向心加速度的计算方法也不同：物体随地球自转的向心加速度a1＝ω220＝(T中T为地球自转周期，R0为地球半径；卫星绕地球环绕运行的向心加速度ɑ2＝r为卫星与地心的距离.

3.运行速度和发射速度

对于人造地球卫星，由G

GMr2GMr2，式中M为地球质量，

＝m

v2r得v＝

GMr，该速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行速．．．

度，其大小随轨道半径的增大而减小.但由于人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功，增大势能，所．

以将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需要的发射速度却越大.

●典例剖析 ［例1］地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%.经估算，地核的平均密度为_______kg/m2.（结果取两位有效数字，引力常量G＝6.7×10－11 N·m2/kg2、地球半径R＝6.4×106m)

【解析】 题目中将地核的体积和质量分别与地球的体积和质量联系起来，本身就对解题思路做了明显的提示.即先求地球的密度再求地核的密度.由于是估算，可以利用地球表面的重力加速度与地球质量、半径的关系进而确定地球的密度.设g为地球表面的重力加速度，由mg＝MVgR432GMmR2得地球平均密度ρ＝

?/G3?3g4G?R，代入数据G、R数值得：

?Rρ＝

3?9.84?6.7?10?11?3.14?6.4?106 kg/m2＝5.5×102 kg/m2

据题设

m1M?0.34即

?1V1?V?0.34

又

V1V＝0.16得地核平均密度

0.340.160.340.162

4

2

ρ1＝???5.5?10 kg/m＝1.2×10 kg/m

3【说明】 在一些天体运行方面的估算题中，常存在一些隐含条件，应加以利用.如在地球表面物体受到地球的引力近似等于重力.地面附近的重力加速度g=9.8 m/s2；地球自转周期T=24 h，公转周期T ′＝265 d，月球绕地球运动的周期约为30 d等.

【设计意图】 （1）复习重力跟万有引力的关系，并能根据mg=G（2）练习利用常识性数据解答估算题的方法.

［例2］我国在酒泉卫星发射中心成功发射“神舟”号载人试验飞船.飞船绕地球14圈后，地面控制中心发出返回指令，飞船启动制动发动机、调整姿态后，在内蒙古中部地区平安降落.

(1)假定飞船沿离地面高度为300 km的圆轨道运行，轨道半径为_______；其运行周期为_______min；在该高度处的重力加速度为_______.(已知地球半径为6.4×102 km，地球质量为6.0×1024 kg，万有引力恒量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2）

(2)飞船脱离原来轨道返回大气层的过程中，其重力势能将________，动能将________，机械能将________.（均填“增大”“减小”或“不变”) 【解析】 (1)试验飞船在离地300 km的圆轨道上运动时只受地球引力的做用，该力是飞船的向心力，也可认为是飞船在该处所受的重力.所以飞船的轨道半径为：

r=R地+h=6.4×102 km＋200 km ＝6.7×102 km

由于万有引力等于向心力，所以有： GMmr2MmR2计算地球质量进而求其密度；

?m4?T22r

代入数据得飞船的运行周期T＝90.8 min 飞船在该高度处的重力加速度为： g＝

Fm?GMr2?6.67?10?11?6.0?106224(6.7?10) m/s2≈8.9 m/s2

（2）飞船启动制动发动机之后，其运行的轨道半径将逐渐变小.由于其轨道的变化比较慢，所以降落过程中的任一时刻，仍认为飞船满足匀速圆周运动的条件，其线速度v＝GM/r∝1/r.所以飞船返回大气层的过程中，其重力势能减小，动能将增大.由于克服大气阻力(或制动力)做功，所以它的机械能将减小.

【思考】 (1)宇宙飞船制动的过程与汽车刹车过程相比最大的区别是什么?(只分析速度的变化情况) (2)在同一轨道上有甲乙两艘宇宙飞船，若甲想追上前方的乙，该如何操做发动机?

(3)若飞船做圆周运动的过程中外壳上有一隔热瓷片突然脱落，它将如何运动?

【思考提示】 （1）汽车刹车过程速度逐渐减小，宇宙飞船制动过程速度逐渐增大.（2）甲应制动，使其进入半径较小的轨道，从而使它的速度大于乙，从而使甲追上乙.（3）跟飞船一起做圆周运动.

【设计意图】 （1）总结根据“万有引力提供向心力”列方程求解天体运动问题的方法；（2）提高应用有关物理知识分析解决实际问题的能力. ［例3］“黑洞”是爱因斯坦的广义相对论中预言的一种特殊天体，它的密度极大，对周围的物质(包括光子)有极强的吸引力.根据爱因斯坦理论，光子是有质量的，光子到达黑洞表面时也将被吸入.最多恰能绕黑洞表面做圆周运动，根据天文观测，银河系中心可能有一个黑洞，距该可能黑洞6.0×1012 m远的星体正以2.0×10 m/s的速度绕它旋转，据此估算该可能黑洞的最大半径是多少?(保留一位有效数字)

【解析】 黑洞做为一种特殊天体一直受到广泛的关注，种种迹象表明它确实存在于人的视野之外.由于黑洞的特殊性，所以当分析本题的时候，一定要抓住其“黑” 的原因，即光子也逃不出它的引力约束.光子绕黑洞做圆周运动时，它的轨道半径就是黑洞的最大可能半径.

根据爱因斯坦理论、光子有质量，所以黑洞对光子的引力就等于它圆周运动时的向心力，则 G

Mm?R26

?m?c2r ①

其中M为黑洞质量，m为光子质量，c为光速，r为轨道半径，即黑洞的最大可能半径.

银河系中的星体绕黑洞旋转时，也可认为做的是匀速圆周运动，其向心力为二者之间的万有引力，所以有：

GMm?R2?m?v2R ②

其中m′为星体质量，R为星体的轨道半径. 由①②式可得黑洞的可能最大半径为： r＝

vc22R?(2?103?1068)?6?10212 m≈2×108 m

【说明】 有关黑洞的内容课本上是以“阅读材料”的形式给出的，对于这些内容大家千万不可掉以轻心，一定要认真去阅读，因为近年的高考试题中有不少题目都是以课本中的阅读材料为背景命题的.

【设计意图】 通过本例培养学生应用中学物理知识分析解决科学技术中的问题的能力. ［例4］在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀说”，这种学说认为万有引力常量G在缓慢地减小，根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比

A.公转半径R较大  B.公转周期T较大

C.公转速率v较大 D.公转角速度ω较小

【解析】 这是一道信息题，所提供的信息是“宇宙膨胀说”中的一个观点“万有引力常量G在缓慢地减小”，要求根据这一理论去推测太阳系中地球运动的演变规律.

在漫长的演变过程中，由于万有引力常量G在缓慢地减小，地球所受的万有引力在变化，故地球公转的半径R、速率v、周期T、角速度ω等在变化，即地球做的不是匀速圆周运动.但由于G减小得非常[ZZ2]缓慢，在并不太长时间内，可以认为地球公转的R、v、T、ω等均保持不变，是匀速圆周运动，仍遵循天体运动的基本规律——所受万有引力等于做圆周运动的向心力，这仍是处理物理问题的一种基本方法——理想化方法，据此有

G

mMR2?

?mv2R,

所以，其公转速率的表达式为v=

GMR,

公转周期的表达式为T=2π

R3GM，

公转角速度的表达式为ω=

GMR3.

对于漫长的演变过程而言，由于万有引力常量G在缓慢地减小，地球所受的万有引力将逐渐减小，即有

G

mMR2＜m

v2R,

地球将做离心运动，即公转半径R将增大，据此，可得公转速率v 变小，公转周期T增大，而公转角速度ω则变小.故正确选项为C.

【设计意图】 通过本例题培养学生分析解答信息题的能力.

●反馈练习 ★夯实基础

1.可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆 轨道 ①与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆 ②与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆

③与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的 ④与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的

上述说法正确的是

A.①② B.③④ C.②③④ D.②③

【解析】 由于地球对卫星的引力提供卫星绕地球做圆周运动的向心力，故卫星做圆周运动的圆心为地心，又由于地球在自转，所以卫星的圆轨道不能与某一经度线所决定的圆是共面同心圆.

【答案】 B

2.下列关于地球同步通信卫星的说法中，正确的是

A.为避免通信卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上

B.通信卫星定点在地球上空某处，各个通信卫星的角速度相同，但线速度大小可以不同 C.不同国家发射通信卫星的地点不同，这些卫星轨道不一定在同一平面内 D.通信卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上

【解析】 地球同步卫星的T、ω、v、a向都一定，并且都在同一轨道、赤道平面、同一高度上. 【答案】 D

3.如图4—3—1所示，在同一轨道平面上，绕地球做圆周运动的卫星A、B和C，某时刻恰好在同一直线上，当卫星B运转一周时，下列说法正确的有

图4—3—1

A.因为各卫星的角速度ωA=ωB=ωC，所以各卫星仍在原位置上

B.因为各卫星运转周期TA＜TB＜TC，所以卫星A超前于卫星B，卫星C滞后于卫星B

C.因为各卫星运转频率fA＞fB＞fC,所以卫星A滞后于卫星B，卫星C超前于卫星B D.因为各卫星的线速度vA＜vB＜vC，所以卫星A超前于卫星B，卫星C滞后于卫星B 【解析】 由ω=

GMr3知，ωA＞ωB＞ωC.由T=2π

r3GM知，TA＜TB＜TC，fA＞fB＞fC，A超前于B，

C滞后于B.由v

【答案】 B

GMr知,vA＞vB＞vC,故正确选项为B.

4.如图4—3—2所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造卫星，a、b质量相同，且小于c的质量，下列判断正确的是

图4—3—2

A. b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度 B.b、c的周期相等，且小于a的周期

C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 D.b所需的向心力最小 【解析】 由F=G

r3Mmr2知Fa＞Fb,Fc＞Fb,即Fb最小，D选项正确.由a=

GMrMmr2知aa＞ab=ac,C选项错，由

T=2π

Gm知，Ta＜Tb=Tc,B选项错.由v=知，va＞vb=vc,A选项错.

【答案】 D

5.下列各组物理数据中，能够估算出月球质量的是 ①月球绕地球运行的周期及月、地中心间的距离 ②绕月球表面运行的飞船的周期及月球的半径 ③绕月球表面运行的飞船的周期及线速度 ④月球表面的重力加速度 以上结论正确的是 A.①② C.②③

B.③④ D.①④

【解析】 求月球质量，应利用围绕月球的卫星或飞船来求. GMmR2?mR2?T4?T22得M＝

4?RGT223

再由v＝

vT2?G3R 得R＝

vT2?，代入上式

M＝

【答案】 C

6.土星外层上有一个环.为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来判断：

①若v∝R，则该层是土星的一部分 ②若v2∝R，则该层是土星的卫星群

③若v∝

2

1R1R，则该层是土星的一部分 ，则该层是土星的卫星群

④若v∝

以上判断正确的是 A.①② C.②③

B.③④ D.①④

【解析】 若为土星的一部分，环上各部分ω相同，则v＝ω2，即v∝2. 若为土星卫星群，则由公式G【答案】 D

7.人造地球卫星运行时，其轨道半径为月球轨道平均半径的A.1 d～4 d之间 C.8 d～16 d之间 【解析】 由G

3MmR2?mv2R得：v2∝

1R.

13，则此卫星运行的周期大约是

B.4 d～8 d之间 D.大于16 d

r3Mmr2?mr4?T22，得T＝2π

GM则卫星与月球的周期之比为

T星/T月＝r星/r月?31/27?1/33

则卫星的周期T星＝T月/33≈5.77 d

【答案】 B

8.某天体的半径为地球半径的2倍，质量为地球质量的1/8倍，则该天体的第一宇宙速度的大小为______.

【解析】 由G

Mmr2?mv2r，得v＝1GMr

对天体：v天＝

GMr天G天?82r地G地?14GMr地地?14v地?14×7.9 km/s≈1.98 km/s.

【答案】 1.98 km/s

9.我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的飞行轨道是不同的.“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为T1＝12 h；“风云二号”是同步轨道卫星，其轨道平面就是赤道平面，周期为T2＝24 h.两颗卫星相比：______离地面较高；______运行速度大.若某天上午8点“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号” 下一次通过该小岛上空将是______.

【解析】 由G 由G

Mmr2Mmr?mr4?T22，得T＝2π

r3GM，即T∝r3.知“风云二号”离地面高；

?mv2r知v＝

GMr，即v∝

1r，又T∝r3，故“风云一号”运行速度大；

由于“风云一号”的运行周期为地球自转周期的一半，故下次通过小岛为24 h后，即第二天上午8点.

【答案】 “风云二号”；“风云一号”；第二天上午8点 ★提升能力

10.宇宙飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站，可以采取的措施是 A.只能从较低轨道上加速 B.只能从较高轨道上加速

C.只能从同空间同一高度轨道上加速 D.无论在什么轨道上，只要加速都行 【解析】 根据G

Mmr2?mv2r知，当飞船从较低的轨道上加速时，G

Mmr2＜m

v2r，飞船做离心运动，

其半径增大，使飞船进入空间站轨道，飞船在较低轨道上，才使其速度大于空间站的速度，从而使它追上空间站，故A选项正确.

【答案】 A

11.科学探测表明，月球上至少存在丰富的氧、硅、铝、铁等资源.设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长期的开采后，月球和地球仍可看做均匀球体，月球仍沿开采前的轨道运动，则与开采前相比

①地球与月球间的万有引力将变大 ②地球与月球间的万有引力将变小 ③月球绕地球运动的周期将变大 ④月球绕地球运动的周期将变小 以上判断正确的是 A.①③ C.①④ 【解析】 由F=G

Mmr2 B.②④ D.②③

知，当r不变，M+m不变时，M=m时F最大，M与m相差越大，F越小，由

于M＞m且M增大，m减小，故F减小，②正确.

由G

Mmr2=m

4?T22r得T=2π

r3GM,而M增大，故T变小，④正确，应选B.

【答案】 B

12.一组太空人乘坐太空穿梭机，去修理位于离地球表面6.0×10 m的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H，机组人员使穿梭机S进入与H相同的轨道并关闭助推火箭，而望远镜则在穿梭机前方数公里处.如图4—3—3所示， 设G为引力常量而M为地球质量(已知地球半径为6.4×106 m)

5

图4—3—3

（1）在穿梭机内，一质量为70 kg的太空人的视重是多少? (2)计算轨道上的重力加速度及穿梭机在轨道上的速率和周期.

（3）穿梭机须首先进入半径较小的轨道，才有较大的角速度追上望远镜，试判断穿梭机要进入较低轨道时应在原轨道上加速还是减速？说明理由.

【解析】 (1)穿梭机内的人处于完全失重状态，故视重为零. (2)由mg＝G则g′＝

g?gr2Mmr2，得g＝

GMr2

GMr?2

(6.4?10)6262?2r??(6.0?105?6.4?10)≈0.84

所以g′＝0.84g＝0.84×9.8 m/s2＝8.2 m/s2； 由G

Mmr2?mv2r，

得v＝

GMr,v??GMr?

v?v?rr??6.4?105666.0?10?6.4?10?0.96

v′＝0.96v＝0.96×7.9 km/s=7.6 km/s；

2?r,得： 由v＝T＝

T2?r?v

63＝

2?3.14?(6.4?107.6?10?6?10)5 s

≈5.8×102 s （3）由G

Mmr2?mv2r知穿梭机要进入较低轨道，必须有万有引力大于穿梭机做圆周运动所需向心力，

故当v减小时，m

v2r才减小，则G

Mmr2＞m

v2r，使穿梭机的轨道半径减小.

【答案】 （1）0；（2）8.2 m/s；7.6 km/s；5.8×10 s；（3）应减速，使G

22

Mmr2＞m

v2r，从而使穿梭

机靠近圆心，半径r减小. ?

13.九大行星绕太阳运行的轨迹可粗略地认为是圆，各星球半径和轨道半径如下所示： 行星名称 星球半径 (×106 m) 轨道半径（×0.579 1.08 1.50 2.28 7.78 14.3 28.7 45.0 59.0 1011 m） 从表中所列数据可以估算出冥王星的公转周期最接近于______. A.4年 B.40年 C.140年 D.240年

【解析】 由题中所给表格中的数据，根据开普勒行星运动定律可得 RT32水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 冥王星 2.44 6.05 6.37 3.29 69.8 58.2 23.7 22.4 2.50 ?k 则有

r地T地32?r冥T冥32

T冥＝

r冥r地33T地2≈247年

【答案】 D ?

14.如图4—3—4所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则

图4—3—4

①经过时间t=T1+T2，两行星再次相距最近 ②经过时间t=

T1T2T2?T1，两行星再次相距最近

③经过时间t=

T1?T22T1T2，两行星相距最远

④经过时间t=

2(T2?T1)，两行星相距最远

以上判断正确的是

①③ B.②④

C.①④ D.②③ 【解析】 解法1：单位时间内两行星转过角度之差为Δφ. Δφ=ω1-ω2=

2?T1?2?T2.

当两行星再次相遇时，转过角度之差为2π，所需时间t1为 t1=

2????T1T2T2?T1.

两行星相距最远时，转过角度之差为π，所需时间t2为 t2=

????T1T22(T2?T1).

选项②④正确，即B选项正确.

解法2：设t1后两行星相遇，B星转过n周，A星转过（n+1）周，则

nT2=(n+1)T1=t1 解得t1=

T1T2T2?T1.

当两行星相距最远时，可得 nT2=(n+

12)T1=t2

得t2=

T1T22(T2?T1)

【答案】 B ?

15.1986年2月20日发射升空的“和平号”空间站，在服役15年后于2001年3月23日坠落在南太平洋.“和平号”风风雨雨15年铸就了辉煌业绩，已成为航天史上的永恒篇章.“和平号”空间站总质量137 t，工做容积超过400 m，是迄今为止人类探索太空规模最大的航天器，有“人造天宫”之称.在太空运行的这一“庞然大物”按照地面指令准确溅落在预定海域，这在人类历史上还是第一次.“和平号”空间站正常运转时，距离地面的平均高度大约为350 km.为保证空间站最终安全坠毁，俄罗斯航天局地面控制中心对空间站的运行做了精心安排和控制.在坠毁前空间站已经顺利进入指定的低空轨道，此时“和平号”距离地面的高度大约为240 km.在“和平号”沿指定的低空轨道运行时，其轨道高度平均每昼夜降低2.7 km.设“和平号”空间站正常运转时沿高度为350 km圆形轨道运行，在坠落前沿高度为240 km的指定圆形低空轨道运行，而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站高度变化很小，因此计算时对空间站的每一周的运动都可以做为匀速圆周运动处理.

(1)简要说明，为什么空间站在沿圆轨道正常运行过程中，其运动速率是不变的.

(2)空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值多大?计算结果保留2位有效数字.

(3)空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化多大?计算中取地球半径R＝6.4×102 km，计算结果保留1位有效数字.

【解析】 (1)空间站沿圆轨道运行过程中，仍受万有引力做用，所受到的万有引力与空间站运行方向

2

垂直，引力对空间站不做功，因此空间站沿圆轨道运行过程中，其运行速率是不变的.

(2)不论空间站沿正常轨道运行，还是沿指定的低空轨道运行时，都是万有引力恰好提供空间站运行时所需要的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G

空间站运行时向心加速度是a=G

Mr2Mmr2?ma

空间站沿正常轨道运行时的加速度与在沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值是 a1a2?r2r122?(6.646.75)?0.98422?0.97

(3)万有引力提供空间站运行时的向心力，有 GMmr2?mr4?T22

MmR2不计地球自转的影响，根据G?mg,有GM＝Rg

2

则空间站在指定的低空轨道空间站运行的周期为 T＝2πr

rGM?2?rrRg2?2?rRrg?2?3.14?6.64?106.4?106666.4?10 s

4≈5.3×103 s

设一昼夜的时间t，则每昼夜空间站在指定的低空轨道绕地球运行圈数为n＝空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均减小 Δh＝2.7 km/n=2.7 km/16=0.17 km.

【答案】 (1)万有引力跟速度方向垂直，不改变速度大小，仅改变速度方向；（2）0.97；（3）0.2 km

16.海洋占地球面积的71%，它接受来自太阳的辐射能比陆地上要大得多，根据联合国教科文组织提供的材料，全世界海洋能的可再生量，从理论上说近800亿kW，其中海洋潮汐能量含量巨大.海洋潮汐是由于月球和太阳引力的做用而引起的海水周期性涨落现象，理论证明：月球对海水的引潮力(f潮)月与M月成正比，与(r月地)成反比，即：(f潮)月＝Ｋ2

?

tT?16

M月(r月地)3，同理可证：(f潮)日＝K

M日(r日地)3

潮水潮汐能的大小随潮差而变，潮差越大则潮汐能越大.加拿大的芬迪湾、法国的塞纳河口、我国的钱塘江、印度和孟加拉国的恒河口等等，都是世界上潮差较大的地区.1980年我国建成的浙江温岭县江厦潮汐电站，其装机总容量为3000 kW，规模居世界第二，仅次于法国的朗斯潮汐电站.

已知地球半径为6.4×106 m，月球绕地球可近似看做圆周运动，估算月球到地心的距离r月地＝？根据有关数字解释：为什么月球对潮汐现象起主要做用?(M月＝7.35×10 kg，M日＝1.99×10 kg，r日地＝1.50×108 km）

【解析】 地球表面重力加速度g和月球的公转周期T可认为已知. 则：g＝G

MR地22230

①

G

M地m月r月地2?m月4?T22r月地

②

由①②得：r月地＝(gRT4?2221)3

代入数据得：r月地＝2.84×108 m 又因为：

(f潮)月(f潮)日228M月r日地37.35?101.50?103?()??()≈2.18 305M日r月地1.99?103.84?10即：月球的引潮力约是太阳引潮力的2.18倍，因此月球对潮汐起主要做用. 【答案】 3.84×10 m;

8

(f潮)月(f潮)日?2.18

章末综合讲练

●知识网络

●高考试题

一、平抛运动

1.(2000年上海高考)图4—1为用频闪摄影方法拍摄的研究物体做平抛运动规律的照片，图中A、B、C为三个同时由同一点出发的小球.AA′为A球在光滑水平面上以速度v运动的轨迹；BB′为B球以速度v被水平抛出后的运动轨迹；CC′为C球自由下落的运动轨迹，通过分析上述三条轨迹可得出结论：________.

图4—1

【解析】 由频闪照片可知A球在光滑水平面上以速度v做匀速直线运动，C球在竖直方向上做自由落体运动，B球为同时以速度v水平抛出后的平抛运动轨迹，由同一时刻三球在空中的位置(位移)关系可知，平抛运动的水平分运动为匀速直线运动，竖直分运动为自由落体运动.

【答案】 做平抛运动的物体在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动.或平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合成

二、圆周运动

2.（2002年上海高考）太阳从东边升起，西边落下，是地球上的自然现象，但在某些条件下，在纬度较高地区上空飞行的飞机上，旅客可以看到太阳从西边升起的奇妙现象.这些条件是

A.时间必须是在清晨，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大 B.时间必须是在清晨，飞机正在由西向东飞行，飞机的速度必须较大

C.时间必须是在傍晚，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大 D.时间必须是在傍晚，飞机正在由西向东飞行，飞机的速度不能太大

【解析】 从飞机的飞行方向及速度和地球自转速度和方向方面加以判断可以得出正确答案C. 【答案】 C

3.（1999年全国高考）如图4—2所示，细杆的一端与一小球相连.可绕过O 点的水平轴自由转动.现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的做用力可能是

A.a处为拉力，b处为拉力

图4—2

B.a处为拉力，b处为推力

C.a处为推力，b处为拉力 D.a处为推力，b处为推力

【解析】 在a处杆对球的做用力一定为拉力，因为在最低点杆对球的做用力与球的重力的合力提供了球做圆周运动的向心力，重力向下，杆的做用力应为向上的拉力.球在最高点b时，若球的速度v=gr，杆对球没有做用力；若v＞gr，杆对球的做用力为向下的拉力，若v＜gr，杆对球的做用力为推力，

故A、B选项正确.

【答案】 AB

三、万有引力定律的应用

4.（2003年春季高考）在地球（看做质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面的说法中正确的是

A.它们的质量可能不同 B.它们的速度可能不同 C.它们的向心加速度可能不同 D.它们离地心的距离可能不同

【解析】 地球同步卫星，周期T、运转半径、离地高度一定，向心加速度一定，故选A. 【答案】 A

5.(1998年上海高考)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点(如图4—3)，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是

图4—3

A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B.卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度

C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度 D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度 【解析】 由上题可知v=

【答案】 BD

6.(1999年全国高考)地球同步卫星到地心的距离r可由r＝位是s，c的单位是m/s2，则

A.a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度 B.a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度 C.a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度

D.a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度

【解析】 求解思路为：由万有引力定律导出人造地球卫星运转半径的表达式，再将其与题给表达式中各项对比，以明确式中各项的物理意义.

由G

Mmr2GMR，故B正确，卫星在P点加速度a=

GMR2与在哪个轨道经过此点无关.

2

abc4?222求出.已知式中a的单位是m,ｂ的单

?m4?T22r

得r＝

2

GMT4?22 ①

由mg=G

MmR02得GM＝gR02

②

将②代入①有r＝【答案】 AD

2

R0Tg4?222

7.(1999年上海高考)把太阳系各行星的运动近似看做匀速圆周运动，则离太阳越远的行星 A.周期越小 C.角速度越小 【解析】 由G

Mmr2

2

4?T22

B.线速度越小

D.加速度越小

?mv2r＝mrω＝mr

?ma向可知Ｂ、C、Ｄ对.

【答案】 BCD

8.(1998年全国高考)宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球.经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离L.若抛出时的初速增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G.求该星球的质量M.

【解析】 设抛出点的高度为h，第一次水平位移为x，则有x＋h＝L?①，同理对于第二次平抛过

2

程有：(2x)2＋h2＝（3L）?②，由①②解得h=

2

2

2

L3.该行星上重力加速度为g，由平抛运动规律得：h=

12gt2?

③，由万有引力与牛顿第二定律得G

MmR2?mg?④，联立以上各式可解得M=

23LR3Gt22.

【答案】 M＝

23LR3Gt22

9.(2000年全国高考)某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力做用，绕地球运转的轨道会慢慢改变.每次测量中卫星的运动可近似看做圆周运动.某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2，r2＜r1，以Er1、Er2表示卫星在这两个轨道上的动能，T1、42表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则

A.Er2＜Er1，T2＜T1 C.Er2＞Er1，T2＜T1 【解析】 由G

Mmr2 v2 ?mr 4?T22 得

B.Er2＜Er1，T2＞T1 D.Er2＞Er1，T2＞T1

?mrv＝

GMr,T?2?r3GM，而Ek＝

12mv2，可知：r减小，则Ek变大，T减小.

【答案】 C

10.(2000年全国高考)2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平

面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α＝40°，已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g(视为常量)和光速c.试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间(要求用题给的已知量的符号表示).

【解析】 设m为卫星质量，M为地球质量，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度，由万有引力定律和牛顿定律有

G

Mmr2?mr?

2式中G为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，有 ω＝

2?T；因G

MmR22?mg得：

21GM＝gR，r=((所求时间为t＝

1c22

RgT4?2设嘉峪关到同步卫星的距离为L，由余弦定理L＝r?R?2rRcos?，)3；

22Lc，由以上各式得

2t＝(RgT4?1c2)2/3?R?2R(2RgT4?2221)3cos?

【答案】 (RgT4?222)2/3?R?2R(2RgT4?2221)3cos?

11.(2000年上海高考)图4—4为一名宇航员“漂浮”在地球外层空间的照片，根据照片展现的情景提出两个与物理知识有关的问题(所提的问题可以涉及力学、电磁学、热学、光学、原子物理学等各个部分.只需提出问题，不必做出回答和解释)：

图4—4

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