密云二中2011-2012高二上学期12月月考数学(理)试题及答案

- 1 -

O

F

E D 1

C 1B 1

A 1

D

C B

A

密云二中2011-2012高二上学期12月月考数学（理）试题

一、 选择题（每小题6分，满分60分）

1．已知命题p q ,，若命题“p ?”与命题“p q ∧”都是假命题，则（ ）

A ．p 为真命题，q 为假命题

B ．p 为假命题，q 为真命题

C ．p ，q 均为真命题

D ．p ，q 均为假命题

2．命题0p x x ?∈≥R ：，的否定是 （ ）

A ．0p x x ??∈

B ．0p x x ??∈≤R ：，

C ．0p x x ??∈

D ． 0p x x ??∈≤R ：，

3. 3>x 是5>x 的 （ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 4. 设双曲线

19

16

2

2

=-

y

x

上的P 点到点（5，0）的距离为15，则P 点到（-5，0）的距离为

（ ）

(A) 7 (B) 23 (C) 5或25 (D) 7或23

5. A 是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,则弦AB 的长度不小于半径长度的概率

为( ) A.

12

B.

32

C.

23

D.

14

6. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABC D A B C D -中，O 是底面A B C D 的中心，,E F 分别是1,C C A D 的中点，那么异面直线O E 和1FD 所成角的余弦值等

于 ( )5 u

A. 105

B.

155

C. 45

D.23

7．设圆22

(1)25x y ++=的圆心为C ，A （1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点， 线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程是（ ） A ．

2

2

44121

25

x

y

-

= B ．

2

2

44121

25

x

y

+

= C ．

2

2

44125

21

x

y

-

= D ．

2

2

44125

21

x

y

+

=

- 2 -

开始 10n S ==，

S p

是

输入p

结束

输出n 12

n

S S =+

否

1n n =+

C 1

B 1

A 1

G

E F

C B A

8. 已知1F ，2F 是双曲线的两个焦点，过2F 作垂直于实轴的直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点，若∠2

1π

=

Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）

A ．12-

B ．2

C ．12+

D ．22+ 9．设1k >，则关于x ，y 的方程222(1)1k x y k -+=-所表示的曲线是( )

A ．长轴在x 轴上的椭圆

B ．长轴在y 轴上的椭圆

C ．实轴在x 轴上的双曲线

D ．实轴在y 轴上的双曲线

10. 已知椭圆E ：

14

2

2

=+

y

m

x

，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：

1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．

相等的是（ ） A ．20kx y +-= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．0kx y k ++= 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.

11．命题“2230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是_______。 12. 执行右边的程序框图，

若0.8p =，则输出的n = ． 13. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，

14AC C B A A ===，90ACB ∠=

，

,E F 分别是1,A A AB 的中点，点G 在A C 上，

且14

C G C A =

，则二面角1F EG C --的余弦值

为 ；点1A 到平面E F G 的

距离为 ．

第13题图 第12题图

14. 如图，已知10AB =，图中的一系列圆是圆心分别为A 、B 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n ，….利用这两组同心圆可以画出以A 、B 为焦点的双曲线. 若其中经过点M 、N 、P 的双曲线的离心率分别是,,M N P e e e .则它们的大小关系是

（用“<”连接）.

第14题图

15.双曲线22

88

kx ky

-=的一个焦点为(0,3)，则k的值为___________，双曲线的渐近线方程为___________.

16. 下列四个命题中

①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；

②

1

2

x

y

>

?

?

>

?

是

3

2

x y

xy

+>

?

?

>

?

的充要条件；

③垂直于同一平面的所有向量一定共面；

④对空间任意一点O,若满足

311

488

O P O A O B O C

=++

，则,,,

P A B C四点一定共面．

其中真命题的为（将你认为是真命题的序号都填上）

- 3 -

- 4 -

2011—2012学年度密云二中高二数学理科月考试卷答题纸（20111205） 题号 一 二 17 18 19 20 总分 分数

一、选择题 本大题共10小题，每小题6分，共60分．

题目 1 2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

二、填空题 本大题共6小题，每小题6分，共36分．

11． ； 12. ；

13. ； ； 14. ；

15. ； . 16. . 三、解答题 本大题共4小题，共54分．

17. （本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0 3)-，，(0 3)，的距离之

和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点． （1）写出C 的方程；

（2）若O A ⊥O B

，求k 的值．

18. （本小题满分13分）

对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这

M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如

下：

分组

频数 频率 [10,15)

10 0.25 [15,20) 24 n

[20,25) m

p

[25,30)

2

0.05 合计 M

1

频率/组距

15 25 20 10 0

30 次数

a

- 5 - （Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；

（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；

（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.

19. （本小题满分14分）

已知四棱锥P A B C D -的底面A B C D 为菱形，且

060,ABC ∠=2PB PD AB ===，P A P C =，A C 与B D 相交于点O

（Ⅰ）求证：⊥PO 底面A B C D ；

（Ⅱ）求直线P B 与平面P C D 所成角的正弦值；

（Ⅲ）若M 是P B 上的一点，且PB CM ⊥，求PM

M B 的值．

A P D C O B

20.（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点(0,2)

F，且长轴长与短轴长的比是2:1．若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线P A，P B分别交椭圆C于另外两点A，B.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求证：直线A B的斜率为定值；

（Ⅲ）求P A B

面积的最大值．

- 6 -

- 7 -

2011—2012学年度密云二中高二数学理科月考试卷参考答案

一、选择题 本大题共10小题，每小题6分，共60分．

题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

A

C

B

D

C

B

D

C

D A

二、填空题 本大题共6小题，每小题6分，共36

分．

（2）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足2

214

1.y x y kx ?+

=???=+?

， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=. 故12122

2

234

4

k x x x x k k +=-

=-

++，．………………………………………… 10分

若OA OB ⊥

，即12120x x y y +=．而2

121212()1y y k x x k x x =+++，

于是2

2

12122

2

2

332104

4

4

k

k

x x y y k k k +=-

-

-

+=+++，

化简，得2

410k -+=，所以1

2

k =±

． 因为△= 4k 2+12(k 2+4)=16k 2+4>0对于任意的k ∈R 都成立.

故所求1

2k =±. ………………………………………………………………… 13分

18. 解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，

100.25M

=，

所以40M =. ………………2分 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =. ………………3分

40.1040

m p M

=

==. ………………4分

- 8 -

因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405

a ==?.……………6分

（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，

所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. ………8分 （Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，

设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b

2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况， ………………10分

而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， ………………12分 所以所求概率为114115

15

P =-

=.（约为0.93） ………………13分

19. （Ⅰ）证明：因为A B C D 为菱形，

所以O 为,AC BD 的中点……………………………1分 因为,

PB PD PA PC ==,

所以,PO BD PO AC ⊥⊥

所以⊥PO 底面 A B C D …………3分 （Ⅱ）因为A B C D 为菱形，所以A C B D ⊥

建立如图所示空间直角坐标系 又0

60,2ABC PB AB ∠===

得1,3,1O A O B O P ==

= ………………………4分

所以(0,0,1),(0,3,0),(1,0,0),(0,3,0)P B C D -

(0,3,1)P B =-- ,(1,0,1)P C =- ,(0,3,1)PD =-

………………………5分

设平面P C D 的法向量(,,)m x y z =

有00

m PC m PD ?=??=??

所以030x z y z -=??

?-=?? 解得33x z y z =???=??

- 9 - y O x B A P F 1 F 2 所以(3,3,3)m = ………………8分 cos ,m PB m PB m PB =

6

21cos ,7214m PB -==-? …………………………9分

P B 与平面P C D 所成角的正弦值为21

7

………………10分 （Ⅲ）因为点M 在P B 上,所以(0,3,1)P M P B λλ==--

所以(0,3,1)M λλ--+, (1,3,1)C M λλ=---+ 因为PB CM ⊥

所以 0CM PB = , 得310λλ+-= 解得14

λ= 所以13

PM M B = ……………………14分 20．解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为

22221(0)y

x a b a b +=>>． 由题意222,

:2:1,2.

a b c a b c ?=+??=??=?? ………………………………………………2分 解得 24a =，2

2b =．

所以椭圆C 的方程为22

142y x +=．……………………………………………4分

（Ⅱ）由题意知，两直线P A ，P B 的斜率必存在，设P B 的斜率为k ，

则P B 的直线方程为2(1)y k x -=-.

由222(1),1.42

y k x y x ?-=-??+=??得

222(2)2(2)(2)40k x k k x k ++-+--=.………………6分

- 10 - 设(,)A A A x y ，(,)B B B x y ，则

22222

12B B k k x x k

--=?=+， 同理可得222222A k k x k +-=+， 则2422A B k x x k -=+，28(1)(1)2A B A B k y y k x k x k -=----=

+. 所以直线A B 的斜率2A B AB A B y y k x x -==-为定值. (8)

分

- 11 -

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