直线的倾斜角与斜率教学设计

直线的倾斜角与斜率

这章我们来学习平面几何，以前研究平面几何，我们是直接依据图形中点、线、面的关系，研究图形的性质。现在我们采用另一种研究方法：坐标法，就是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质，这种方法叫解析几何法，解析几何法的创立是数学发展史上的一个重要的里程碑。本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率，请同学们在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。

教学目标:

理解直线的倾斜角的概念，理解斜率的概念和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。 一．导学问题： 1. 平面内，确定直线的条件是什么？这里“确定”的含义是什么？ 预设的回答：两点确定一条直线。

2. P是平面直角坐标系内任一点，请过P作一条直线，和同桌比较你们所作直线是否相同，并思考你们所作的直线有什么不同。

师：可见过一点的直线有无数条，要想过一点确定一条直线，还得加上直线的方向，我们用直线的倾斜角来刻画，那么什么是直线的倾斜角？

3.直线倾斜角的定义是什么，并在定义中标出你认为的关键词。 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线向．．．．．．l．．上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与．．．

x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

4.请在上图标出你所作直线的倾斜角，和组内同学交流，并分析倾斜角α的取值范围。

师：有没有标错倾斜角的同学，错误的原因是什么？ 0o≤α<180o

平面内确定一条直线的几何要素除了两点，还可以是一点及它的倾斜角。接下来我们把确定直线的几何要素再在拓展一下。 5.生活中我们都有爬山，上下坡的体验，这种倾斜程度用坡度来表示，即坡度=

升高量

，请分析下面两图所表示的坡度，并思考

前 量

坡度和坡角有什么关系。

师：斜坡可以抽象为一条直线，

它关于水平面的倾斜角记为α，那么这里的坡度（比）实际就是“倾斜角α的正切值”。

6.类比坡度，我们还可以用斜率刻画直线的倾斜程度。斜率的定义是什么？计算以下倾斜角所对应直线的斜率（提示： tan（180 o

-α）=-tanα），并分析随倾斜角的变大，斜率的变化规律。

预设的回答：倾斜角α是90 o的直线没有斜率；倾斜角α不是90 o

的直线都有斜率；倾斜角不同，直线的斜率也不同。斜率大于0的直线的倾斜角为锐角，并且斜率越大倾斜角越大；斜率小于0的直线的倾斜角为钝角，并且斜率越小倾斜角越大。

二．合作探究

师：如果给定直线上两点，直线就确定了，于是倾斜角也确定了，斜率也随之确定，可见，直线上两点与直线的斜率有密不可分的联系。由倾斜角到斜率是代数化的过程，接下来我们研究如何将斜率坐标化。

问题：已知两点P1(x1,y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2）的坐标，试用P1 P2的坐标表示斜率k。

师：我们先分别考虑倾斜角是锐角或钝角的情形。

2)

1)

（1） （2）

)

（3） （4）

师：请看图（1），标出这条直线的倾斜角，如何将倾斜角与点P1 ,P2联系起来?(构造直角三角形)这个三角形的边长和点P1 ,P2的关系是什么?这条直线的斜率和点P1 ,P2的关系是什么? 分组探究图(2),(3),(4)中直线的斜率和点P1 ,P2的关系.

汇总各组结果后学生总结过两点P1 ,P2的直线的斜率公式. 师: 综上讨论,我们得到经过两点

P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1¹x2)的直线的斜率为

k=

y2-y1x2-x1

,这个公式仅与点P1 ,P2的坐标有关,与两点坐标的顺序

无关。当直线平行于x轴或与x轴重合时，上述公式是否适用？当直线平行于y轴或与y轴重合时，上述公式是否适用？

师：你能根据斜率公式，出几个问题给大家作一作吗？

师：请同学们谈谈你在这节课中学到了哪些知识，思想方法和解

决问题的经验？

预设的回答：1.明确了确定直线的几何要素除了两点，还可以是直线及其倾斜角，直线及其斜率。2.理解了确定直线方向的量——倾斜角和斜率，知道了由两点坐标求其斜率的方法。（3）经历了直线倾斜程度的代数化，坐标化的过程。

作业：P86.练习。2，3

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