文献综述

学科分类号（二级）110.47

本科学生毕业论文（设计）

文献综述

题 目Navier-Stokes方程的幂级数解法

姓 名 罗建兴

学 号 114080370 院、 系 数学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 刘薇 职称（学历） 副教授

Navier-Stokes方程的幂级数解法

前言

Navier-Stokes方程是流体力学中一个重要的刻画粘性流体运动的非线性偏微分方程. 它建立了流体力学中粒子的运动速率、分子间相互作用的粘性力、液体内部压力的变化以及重力之间的关系, 它可以解释各种物理现象. 至今为止,对Navier-Stokes方程的解法也有很多种, 例如, 差分法、谱方法等等. 本文旨在幂级数解法知识的基础上, 用幂级数解法求解二维空间下的Navier-Stokes方程.

关键词：幂级数解法；Navier-Stokes方程.

研究Navier-Stokes方程具有很大的应用价值, 可以用它来解释生活中的各种物理现象, 例如：飞机羽翼周围的气流、飞行器的设计、管道中流体的运动、轴承润滑、大气运动等等. 还可以用来解释航空航天中的现象, 如喷气式发动机的燃烧. 迄今为止, 对Navier-Stokes方程的研究已有200多年的历史, 然而,对Navier-Stokes方程的真正的数学理论的研究是从20世纪30年代法国数学家Leray关于弱解的整体存在性的奠定性工作开始的. 他构造了三维空间下的N-S方程的一个整体弱解. 后来德国数学家Hopf也对N-S方程进行了弱解的研究,所以N-S方程的弱解也成为Leray-Hopf弱解. 20世纪50年代苏联著名女数学家Ladyzhenskaya与Kiselev证明了二维N-S方程光滑解的整体适应性. J.Serrin和Veiga对N-S方程弱解的正则性和唯一性也做了大量的工作. 但是, 直到现在, 弱解的唯一性和正则性, 即强解的整体存在性, 仍是一个极具挑战性的问题. 而本文只是在前人研究的基础上, 继续研究Navier-Stokes方程, 并且本文采用的是幂级数解法对其进行研究, 下面, 我将对我所查询的资料做个简单介绍：

文献[1], 张鸣远编著的《流体力学》是一本用于高等学校工科专业本科生的基础流体力学教材. 书中编写了Navier-Stokes方程是怎样推导出来的, Navier-Stokes方程是做什么用的. 以及Navier-Stokes方程的基本形式：

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文献 [2], 周勇写的《不可压Navier-Stokes方程的研究现状》现状中，只是简单的介绍了高伟不可压Navier-Stokes方程的研究现状, 然后重点介绍了关于正则性准则和渐进稳定性的最新研究进展, 最后说了Navier-Stokes方程在不同函数空间的局部适定性方面的研究.

文献[3], 李剑的《二维不可压缩Navier-Stokes方程若干算法研究》介绍了不可压Navier-Stokes方程数值算法:有限元法.

文献[4], 袁荣编写的《常微分方程》是一本高等学校教材, 介绍了幂级数解法的基本思想, 但是他只是讨论了二阶齐次线性微分方程, 而且着重说了常点情形的幂级数解法以及奇点情形下的广义幂级数解法.

文献[5], 北京大学数学力学系、高等数学教材编写组编写的《常微分方程与无穷级数》, 是一本高等学校试用教材.书中编写了幂级数的概念、收敛半径、微商和积分；还有幂级数的应用(用幂级数可以解决用其他方法不能决绝的微分方程).

文献[6], 杨甲山写的《微分方程和级数的关系》写到微分方程和级数虽然是两个完全不同的内容, 但是他们之间确有着密切的关系, 可以用幂级数求解微分方程的解.

文献[7], 吴奇峰的《幂级数的若干应用》中写到幂级数解法不仅可以求出常微分方程的特解, 而且可以拟线性偏微分方程的特解.

文献[8], 吴宗海的《关于一类微分方程幂级数解法的反问题》中写到了根据给定的幂级数, 建立它的收敛区间内的和函数所满足的微分方程及其初始条件, 就可以求解该微分方程的定解问题, 奇特解便是所给幂级数的和函数.

文献[9], Huang xiaoxia的《Some mumerical methods for solving Navier-stokes equations》说到Navier stokes方程的几类数值解法, 包括迭代罚法, 两套网格方法, 算子分裂方法.

从我所查阅的这些文献中我了解到, 幂级数和微分方程之间存在着密不可分的关系, 而且幂级数解法是求解偏微分方程的一个重要的方法. 所以, 本文我将通过将二维空间下的Navier-Stokes方程展开成幂级数的形式, 然后通过拼凑法、递推法和待定系数法解出Navier-Stokes方程的解. 同时, 对于得到的解的相关系数进行分析、比较, 得出他们之间的关系.

参考文献

[1] 张鸣远.流体力学[M]（2010年版）.北京：高等教育出版社，2010，140-142.

[2] 周勇.不可压Navier-Stokes方程的研究现状[J].浙江师范大学学报（自然科学 学报），2009,32（2）：121-124.

[3] 李剑.二维不可压缩Navier-Stokes方程若干算法研究[D].2007.

[4] 袁荣.常微分方程[M]（2012年版）.北京：高等教育出版社，2012，161-170. [5] 北京大学数学力学系、高等数学教材编写组.常微分方程与无穷级数[M](1978年版).人民教育出版社，1978,119-159.

[6] 杨甲山.微分方程和级数的关系[J].邵阳高专学报，1994，7（1）：18-41. [7] 吴奇峰.幂级数的若干应用[J].韶关大学学报，1994，15（2）：41-48.

[8] 吴宗海.关于一类微分方程幂级数解法的反问题[J].西北建筑工程学学报， 1996,1:45-49.

[9] Huang xiaoxia.Some mumerical methods for solving Navier-stokes equations[D].2009.

[10] Yan Xiaoli，Deng Huilin.Analytical solution to incompressible Navier-stokes equations[J].Journal of Jjilin Normal University(Natural Science Edition) 2010，1：71-75.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4afw.html