一线三角模型及例题

相似三角形判定的复习： 1.相似三角形的预备定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 2.相似三角形的判定定理：

(1)两角对应相等两三角形相似。 (2)两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。 (3)三边对应成比例，两个三角形相似。 3.直角三角形相似的判定定理：

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)一直角三角形的斜边和一条直角边与另一直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两三角形相似。

相似三角形的性质：

要点1：相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例 要点2：相似三角形的性质定理：

相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比 相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方

要点3：知识架构图

对应角相等、对应边成比例 对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比． 周长之比等于相似比 面积之比等于相似比的平方 相似三角形的性质 1、如图，锐角?ABC的高CD和BE相交于点O，图中相似三角形有多少对？请分别写出.

ADOBEC

2、如图，在锐角?ABC中，∠ADE=∠ACB，图中相似三角形有多少对？请分别写出.

ADOBEC

1

3、如图已知∠BAC=∠BDC=90°，S?EBC?16,S?ADE?8. 问：∠BEC的大小确定吗？若确定，求期度数；若不确定，请说明理由.

A

D E

B

C

4、如图，在△ABC中，?BAC?90，AD是BC边上的高，点E在线段DC上，EF?AB，EG?AC，垂足分别为F，G．求证： （1）

EGCG； ?ADCD（2）FD⊥DG．

AGFBDEC

5、如图，四边形ABCD中，AC与BD交于点E，AC⊥AB,BD⊥CD. S?EBC=16，S?AED=8.

(1)求

AD的值； BC（2）问：∠BEC是不是定角？如果是，把它求出来；如果不是，请说明理由.

AEDBC

5、如图，在△ABC中，角ACB为直角，CD⊥AB于点D，又△ACE与△BCF都是等边三角形，连结DE、DF；

求证:DE⊥DF

FCEABD

2

中考热点：一线三等角型的相似三角形

一、问题引入

如图，?ABC中，?B?90?，CD?AC，过D作DE?AB交BC延长线与E。 求证：?ABC?CED

ADBCE

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：

3

其他常见的一线三等角图形

（等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角）

EADF

BC

（直角坐标系中一线三等角） （矩形中一线三等角）

等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。

（1）等腰三角形中一线三等角

例1、 如图，已知在△ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，

并作?DEF??B，射线EF交线段AC于F．

（1）求证：△DBE∽△ECF； （2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长； （3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．

AFADBEDC

BC讲解：1、本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必有三角形相似；

2、第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少是，三角线相似。变式练习1就是这类题型；

3、第三问中间的三角形与左右两个形似时有两种情况，一种是DF与底边平行，一种是E为中点； 4、在等腰三角形，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适用。

4

变式练习1 （浦东新区22题）

如图，已知等边△ABC的边长为8，点D、F、E分别在边AB、BC、AC上，BD?3，E为AC中 点，当△BPD与△PCE相似时，求BP的值.

变式练习2（宝山22题）

如图6，已知ΔABC中，AB?AC,点E、F在边BC上，满足∠EAF =∠C.求证：BF?CE?AB；

2AB变式练习3

EFC

如图，在三角形ABC中，AB=4，AC=2，∠A =90，点D为腰AC中点，点E在底边BC上，且DE⊥BD，求△CED的面积。

0

变式练习4

已知∠ABC=90°，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足且点Q在线段AB的延长线上时，求?QPC的大小．

PQAD ，当AD?PCABAB，

5

（2）等腰梯形中一线三等角

例1、（长宁区18题）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD?2，BC?42，∠B?45?，直角三

角板含45度角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F.若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于 .

ADFBEC第18题

例2、如图，梯形ABCD中，AB∥DC， ∠B=90°，E为BC上一点，且△ABE∽△ECD。

（1）若BC=8，AB=3，DC=4，求BE的长 （2）若BC= 43 ，AB=3，DC=4，求BE的长. （3）若BC=6，AB=3，DC=4，求BE的长.

例3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=900，AB=8，CD=6，在AB上取动点P，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC与点E，设AP=x，BE=y。 （1）当BC=4时，试求y关于x的函数关系式；

（2）当BC在什么范围时，存在点P，使得PQ经过点C（直接写出结果）。

例4、（徐汇区25）．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB?CD?BC?6，AD?3．点M为边BC的中点，以M为顶点作?EMF??B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF． （1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长； （3）若EF?CD，求BE的长．

6

例4、（杨浦区基础考）四边形ABCD中，AD∥BC，?ABC??0???90，AB?DC?3，BC?5．点（不与点B、C重合），点E在直线DC上，且?APE??．记?PAB??1，?EPC??2，P为射线BC上动点

??BP?x，CE?y．

（1）当点P在线段BC上时，写出并证明?1与?2的数量关系；

（2）随着点P的运动，（1）中得到的关于?1与?2的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x的取值范围； （3）若cos?=

1，试用x的代数式表示y． 3

（3）坐标系中一线三等角

例1、（金山区24）如图，住平面直角系中，直线AB：y?4x?4?a?0?分别交x轴、y轴于B、A两点，直a线AE分别交x轴、y轴于E、A两点，D是x轴上的一点，OA?OD，过D作CD?x轴交AE于C，连接

BC，当动点B在线段OD上运动（不与点O点D重合）且AB?BC时

(1)求证：?ABO∽?BCD；(2)求线段CD的长（用a的代数式表示）； (3)若直线AE的方程是y??13x?b，求tan?BAC的值． 16

例２、如图，在直角坐标系中，直线y?1x?2与ｘ轴，ｙ轴分别交于Ａ，Ｂ两点，以ＡＢ为边在第二象限内作2矩形ＡＢＣＤ，使AD?5 ，求点Ｄ的坐标．

7

变式练习1

00在平面直角坐标系XOY中，?AOB的位置如图所示，已知?AOB?90,?A?60,点A的坐标为?3,?1

?（1） 求点B的坐标；

（2） 若抛物线y?ax?bx?c经过A、O、B三点，求函数解析式。

2

变式练习2

如图所示：RT△AOB中∠AOB=90°，OA=4，OB=2，点B在反比例函数y?式。

2

图像上，求过点A的双曲线解析x

变式练习3

如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．求过点A、O、B的抛物线的表达式；

8

（4）矩形中一线三等角

如图，四边形ＯＡＢＣ是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点Ａ在ｘ轴上，点Ｃ在ｙ轴上，将边ＢＣ折叠，使点Ｂ落在边ＯＡ的点D处．已知折叠线CE且CE?55， tan?EDA?3,求直线ＣＥ与ｘ轴交点的坐标； 4

例6、（长宁区24题）．如图，在矩形ABCD中，AB?4，AD?6，点P是射线DA上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角中的一边始终经过点C，另一直角边交射线BA于点E． （1）判断△EAP与△PDC一定相似吗？请证明你的结论；

（2）设PD?x，AE?y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）是否存在这样的点P，是△EAP周长等于△PDC周长的2倍？若存在，请求出PD的长度；若不存在， 请简要说明理由．

PADEBC

“一线三等角”专题练习

一、知识梳理：

1、如图1，AB＝AC，∠ B＝∠ADE，那么一定存在的相似三角形有 ； 2、如图2，AB＝AC，∠ B＝∠EDF，那么一定存在的相似三角形有 ；

AFAEEBDCB 图1 图2

DC

9

3、在等腰△ABC中，腰长10厘米，底边长16厘米，点P在底边上以0.5厘米/秒的速度从点B 向点C移动．当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P的运动时间为 秒． 二、经典例题解析

1、如图，在ΔABC中， AB＝AC=4，BC＝6，∠ B＝∠ADE，点D、E分别在BC、AC上（点D与B、C不重合），设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数解析式及x的取值范围。

AEBDC

2、如图：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B = 90°，DH⊥BC于H，AB = 6，BC = 16，DC = 10，线段BC上有一动点E（不与点C重合），过点E作EF⊥DC交线段DC于点F. （1）求CH的长；

（2）设BE = x，EF = y，求y关于x的函数解析式及x的取值范围； （3）当以E、F、C为顶点的三角形与△ABE相似时，求BE的长.

ADFBEHC

3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AB=10，AC=6，点E、F分别是边AC、BC上的动点，过点E作ED⊥AB于点D，过点F作FG⊥AB于点G，DG的长始终为2． （1）当AD=3时，求DE的长；

（2）当点E、F在边AC、BC上移动时，设AD?x，FG?y，

求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）在点E、F移动过程中，△AED与△CEF能否相似，

若能，求AD的长；若不能，请说明理由．

C E F

A

D G

B

10

4、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点． （1）如图3，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；

（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时

交直线AD于点M，那么

①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当S?DMF?A E 9S?BEP时，求BP的长． 4D

B P

C

5、（2009闸北22题）（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）

如图七，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA， OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的—个动点，但是点P不 与点0、点A重合．连结CP， D点是线段AB上一点，连结PD. (1)求点B的坐标； (2)当∠CPD=∠OAB，且

BD5=，求这时点P的坐标. AB8

6、如图，已知在△ABC中，AB=AC=8，cosB=∠B，连接EF．

（1）如果BE=4，求CF的长； （2）如果EF∥BC，求EF的长．

5，D是边BC的中点，点E、F分在边AB、AC上，且∠EDF=8

11

7、（徐汇2009年 25题）如图，?ABC中，AB?AC?10，BC?12，点D在边BC上，且BD?4，以点D为顶点作?EDF??B，分别交边AB于点E，交射线CA于点F． （1）当AE?6时，求AF的长；

（2）当以点C为圆心CF长为半径的⊙C和以点A为圆心AE长为半径的⊙A相切时，求BE的长； （3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，求BE的长．

A A

E

F

B

D

C B

D

C

知识总结：

补 充：关于“一线三等角”图形的提炼及变式：

当α为锐角时：AADDEEEBPCBPCBPC

当α为直角时：D当α为钝角时：EEFBPCBPC

总结：

在教学中要突出重点、深化学生对于“一线三等角”模型的理解；把握难点：“一线三等角”模型变式； 通过问题建构，关注课堂再生资源的挖掘，引导学生对于几何综合习题的有效分解具体的

12

1．在教学中通过“回忆旧知”环节的师生互动过程让95%学生掌握解函数型综合题需要的必备知识储备． 2．在教学中通过一个“一线三等角”模型综合题的有效分析引导过程，让95%的学生树立几何型综合题的解决的信心，让75%的学生能够顺利解决前两小题，培养更多的学生具备解决最后压轴点一小题的能力． 3．在教学中通过有效分解策略的实施，打破他们对综合题的畏惧心理，让同学们加深对于题目条件的使用：条件用完，即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力，在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试着加强解后反思与培养他们欣赏试题的能力．

【课后作业】

1、如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是射线CD上一动点. 将一把三角尺的直角顶点与P重合，一条直角边始终经过点B，另一条直角边所在直线与射线AD相交于点E. 设CP=x，DE=y. （1）当点P在线段CD上时，求证：△BPC∽△PED；

（2）当点P在线段CD的延长线上时，求y与x的函数解析式及自变量x的取值范围； （3）当DE=1时，求CP的长.

AED PBC

2、如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF?EC交AB于点F，联结FC(AB?AE)． （1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由； （2）设

AB?k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不BC存在，请说明理由．

DCEAF（第12题）B

3、等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点

落在点P，三角板绕P点旋转．

（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE～△CFP；

（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．

13

① 探究１：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论） ② 探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由； ③ 设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．

AEFAEFBPCBPC 4、如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边BC上(与端点不重合)，点F在射线DC上． （1）若AF=AE，并设CE=x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）当CE的长度为何值时，△AEF和△ECF相似? （3）若CE?D 1，延长FE与直线AB交于点G，当CF的长度为何值时，△EAG是等腰三角形？ 4F C D C E

Ａ B

Ａ

0

B

5、如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90，点D为腰BC中点，点E在底边AB上，且DE⊥AD,则BE的长为 .

CDAEB

6、如图，?ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，CD⊥AB，垂足为D.任意作∠EDF=60°，点E、F分别在AC、BC上.设AE=x，BF=y.

（1）求y关于x的函数关系式，并指出它的定义域； （2）当x为何值时，?BDF是等腰三角形.

CFE

ADB

14

7、如图：AB是等腰直角三角形ABC的斜边，点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在AB上，设其落点为P.

PACM； ?PBCNPACM（2）当P不是边AB中点时，是否仍然成立？请证明你的结论. ?PBCN（1）当P是边AB中点时，求证：

CMNA PB

8、如图第13题图-1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、

C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F。

（1）如图第13题图-2，如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF； （2）如果AD∶DB=m，求DE∶DF的值；

（3）如果AC=BC=6，AD∶DB=1∶2，设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域.

C E E A D 第13题图-1

C F F B A D 第13题图-2

B

15

9、已知?ABC?90°为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足，AB?2，BC?3，AD∥BC，PPQAD（如图14-1）． ?PCAB（1）当AD?2，且点Q与点B重合时（如图14-2所示），求线段PC的长；

（2）在图8中，联结AP．当AD?S△APQ3，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，?y，2S△PBC其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）当AD?AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图14-3所示），求?QPC的大小．

A D

A

D A

D

P P

P

Q B

C

B 14-1

B

（Q） C

C 14-2

Q

14-3

16

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