《高等数学.同济五版》讲稿WORD版-第10章 曲线积分与曲面积分

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分

重庆三峡学院高等数学课程建设组 第十章 曲线积分与曲面积分

教学目的：

1.

理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2.

掌握计算两类曲线积分的方法。 3.

熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。 4.

了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。 5. 知道散度与旋度的概念，并会计算。

6． 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。

教学重点:

1、两类曲线积分的计算方法；

2、格林公式及其应用；

3、两类曲面积分的计算方法；

4、高斯公式、斯托克斯公式；

5、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。

教学难点：

1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；

2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；

3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分；

4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；

5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。

§10.1 对弧长的曲线积分

一、 对弧长的曲线积分的概念与性质

曲线形构件的质量:

设一曲线形构件所占的位置在xOy 面内的一段曲线弧L 上, 已知曲线形构件在点(x , y )处的线密度为μ(x , y ). 求曲线形构件的质量.

把曲线分成n 小段, ?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n (?s i 也表示弧长);

任取(ξi , ηi )∈?s i , 得第i 小段质量的近似值μ(ξi , ηi )?s i ;

整个物质曲线的质量近似为i i i n

i s M ?≈=∑),(1

ηξμ;

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分 重庆三峡学院高等数学课程建设组 令λ=max{?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n }→0, 则整个物质曲线的质量为

i i i n

i s M ?==→∑),(lim 1

0ηξμλ.

这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.

定义 设L 为xOy 面内的一条光滑曲线弧, 函数f (x , y )在L 上有界. 在L 上任意插入一点列M 1, M 2, ? ? ?, M n -1把L 分在n 个小段. 设第i 个小段的长度为?s i , 又(ξi , ηi )为第i 个小段上任意取定的一点, 作乘积f (ξi , ηi )?s i , (i =1, 2,? ? ?, n ), 并作和i i i n

i s f ?=∑),(1ηξ, 如果当各小

弧段的长度的最大值λ→0, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在曲线弧L 上对弧

长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作ds y x f L ),(?, 即i i i n

i L s f ds y x f ?==→∑?),(lim ),(1

0ηξλ. 其中f (x , y )叫做被积函数, L 叫做积分弧段.

设函数f (x , y )定义在可求长度的曲线L 上, 并且有界.

将L 任意分成n 个弧段: ?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n , 并用?s i 表示第i 段的弧长;

在每一弧段?s i 上任取一点(ξi , ηi ), 作和i i i n

i s f ?=∑),(1ηξ;

令λ=max{?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n }, 如果当λ→0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在曲线弧L 上对弧长的

曲线积分或第一类曲线积分, 记作ds y x f L

),(?, 即 i i i n

i L s f ds y x f ?==→∑?),(lim ),(1

0ηξλ. 其中f (x , y )叫做被积函数, L 叫做积分弧段.

曲线积分的存在性: 当f (x , y )在光滑曲线弧L 上连续时, 对弧长的曲线积分ds y x f L ),(?是存在的. 以后我们总假定f (x , y )在L 上是连续的.

根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分ds y x L

),(?μ的值, 其中μ(x , y )为线密度.

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分

重庆三峡学院高等数学课程建设组 对弧长的曲线积分的推广: i i i i n

i s f ds z y x f ?==→Γ∑?),,(lim ),,(1

0ζηξλ. 如果L (或Γ)是分段光滑的, 则规定函数在L (或Γ)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L 可分成两段光滑曲线弧L 1及L 2, 则规定

ds y x f ds y x f ds y x f L L L L ),(),(),(2121???+=+.

闭曲线积分: 如果L 是闭曲线, 那么函数f (x , y )在闭曲线L 上对弧长的曲线积分记作 ds y x f L ),(?.

对弧长的曲线积分的性质:

性质1 设c 1、c 2为常数, 则

ds y x g c ds y x f c ds y x g c y x f c L L L ),(),()],(),([2121???+=+;

性质2 若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧L 1和L 2, 则 ds y x f ds y x f ds y x f L L L ),(),(),(2

1???+=; 性质3设在L 上f (x , y )≤g (x , y ), 则

??≤L L ds y x g ds y x f ),(),(.

特别地, 有

??≤L

L ds y x f ds y x f |),(||),(| 二、对弧长的曲线积分的计算法

根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L 的线密度为f (x , y ), 则曲线形构件L 的质量为

?L ds y x f ),(.

另一方面, 若曲线L 的参数方程为

x =?(t ), y =ψ (t ) (α≤t ≤β), 则质量元素为

dt t t t t f ds y x f )()()]( ),([),(22ψ?ψ?'+'=,

曲线的质量为

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分 重庆三峡学院高等数学课程建设组

?'+'βαψ?ψ?dt t t t t f )()()]( ),([22. 即 ??'+'=βαψ?ψ?dt t t t t f ds y x f L )()()]( ),([),(22.

定理 设f (x , y )在曲线弧L 上有定义且连续, L 的参数方程为

x =?(t ), y =ψ(t ) (α≤t ≤β),

其中?(t )、ψ(t )在[α, β]上具有一阶连续导数, 且?'2(t )+ψ'2

(t )≠0, 则曲线积分ds y x f L ),(?存在, 且

dt t t t t f ds y x f L )()()](),([),(22ψ?ψ?βα'+'=??(α<β).

证明（略）

应注意的问题: 定积分的下限α一定要小于上限β.

讨论:

(1)若曲线L 的方程为y =ψ(x )(a ≤x ≤b ), 则ds y x f L

),(?=? 提示: L 的参数方程为x =x , y =ψ(x )(a ≤x ≤b ),

dx x x x f ds y x f b

a L ??'+=)(1)](,[),(2ψψ. (2)若曲线L 的方程为x =?(y )(c ≤y ≤d ), 则ds y x f L

),(?=? 提示: L 的参数方程为x =?(y ), y =y (c ≤y ≤d ),

dy y y y f ds y x f d

c L ??+'=1)(]),([),(2??. (3)若曲Γ的方程为x =?(t ), y =ψ(t ), z =ω(t )(α≤t ≤β),

则ds z y x f ),,(?Γ

=? 提示: dt t t t t t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222ωψ?ωψ?βα

'+'+'=??Γ. 例1 计算ds y L ?, 其中L 是抛物线y =x 2上点O (0, 0)与点B (1, 1)之间的一段弧.

解 曲线的方程为y =x 2 (0≤x ≤1), 因此

??'+=10222)(1dx x x ds y L ?+=10241dx x x )155(12

1-=. 例2 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度为

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分 重庆三峡学院高等数学课程建设组 μ=1).

解 取坐标系如图所示, 则?=L

ds y I 2. 曲线L 的参数方程为

x =R cos θ, y =R sin θ (-α≤θ<α).

于是 ?=L ds y I 2?-+-=ααθθθθd R R R 2222)c o s ()s i n (s i n

?-=ααθθd R 23s i n =R 3

(α-sin α cos α). 例3 计算曲线积分ds z y x )(222++?Γ

, 其中Γ为螺旋线x =a cos t 、y =a sin t 、z =kt 上相应于t 从0到达2π的一段弧.

解 在曲线Γ上有x 2+y 2+z 2=(a cos t )2+(a sin t )2+(k t )2=a 2+k 2t 2, 并且

dt k a dt k t a t a ds 22222)cos ()sin (+=++-=,

于是 ds z y x )(222++?Γ?

++=π2022222)(dt k a t k a )43(32

22222k a k a ππ++=.

小结: 用曲线积分解决问题的步骤:

(1)建立曲线积分;

(2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) , 确定参数的变化范围;

(3)将曲线积分化为定积分;

(4)计算定积分.

§10. 2 对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质

变力沿曲线所作的功:

设一个质点在xOy 面内在变力F (x , y )=P (x , y )i +Q (x , y )j 的作用下从点A 沿光滑曲线弧L 移动到点B , 试求变力F (x , y )所作的功.

用曲线L 上的点A =A 0, A 1, A 2, ? ? ?, A n -1, A n =B 把L 分成n 个小弧段,

设A k =(x k , y k ), 有向线段→+1k k A A 的长度为?s k , 它与x 轴的夹角为τk , 则

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分 重庆三峡学院高等数学课程建设组 k k k k k s A A ?=→+}s i n ,{c o s 1ττ(k =0, 1, 2, ? ? ?, n -1).

显然, 变力F (x , y )沿有向小弧段1 +k k A A 所作的功可以近似为

k k k k k k k k k k k s y x Q y x P A A y x ?+=?→

+]s i n ),(c o s ),([),(1ττF ;

于是, 变力F (x , y )所作的功

→+-=?=∑111),(k k k k n k A A y x W F ∑-=?+≈11]s i n ),(c o s

),([n k k k k k k k k s y x Q y x P ττ, 从而

?+=L

ds y x Q y x P W ]sin ),(cos ),([ττ. 这里τ=τ(x , y ), {cos τ, sin τ}是曲线L 在点(x , y )处的与曲线方向一致的单位切向量.

把L 分成n 个小弧段: L 1, L 2, ? ? ?, L n ;

变力在L i 上所作的功近似为:

F (ξi , ηi )??s i =P (ξi , ηi )?x i +Q (ξi , ηi )?y i ;

变力在L 上所作的功近似为:

]),(),([1

i i i n

i i i i y Q x P ?+?∑=ηξηξ;

变力在L 上所作的功的精确值:

]),(),([lim 1

0i i i n

i i i i y Q x P W ?+?=∑=→ηξηξλ,

其中λ是各小弧段长度的最大值.

提示:

用?s i ={?x i ,?y i }表示从L i 的起点到其终点的的向量. 用?s i 表示?s i 的模. 对坐标的曲线积分的定义:

定义 设函数f (x , y )在有向光滑曲线L 上有界. 把L 分成n 个有向小弧段L 1, L 2, ? ? ?, L n ; 小弧段L i 的起点为(x i -1, y i -1), 终点为(x i , y i ), ?x i =x i -x i -1, ?y i =y i -y i -1; (ξi , η)为L i 上任意一点, λ为各小弧段长度的最大值.

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分

重庆三峡学院高等数学课程建设组 如果极限∑=→?n

i i i i x f 10),(lim ηξλ总存在, 则称此极限为函数

f (x , y )在有向曲线L 上对坐标x 的曲线积分, 记作?L

dx y x f ),(, 即 ∑?=→?=n

i i i i L x f dx y x f 1

),(lim ),(ηξλ, 如果极限∑=→?n i i i i y f 10),(lim ηξλ总存在, 则称此极限为函数

f (x , y )在有向曲线L 上对坐标x 的曲线积分, 记作?L

dy y x f ),(, 即 ∑?=→?=n

i i i i L y f dy y x f 1

),(lim ),(ηξλ. 设L 为xOy 面上一条光滑有向曲线, {cos τ, sin τ}是与曲线方向一致的单位切向量, 函数P (x , y )、Q (x , y )在L 上有定义. 如果下列二式右端的积分存在, 我们就定义

??=L L ds y x P dx y x P τcos ),(),(, ??=L L ds y x Q dy y x Q τsin ),(),(,

前者称为函数P (x , y )在有向曲线L 上对坐标x 的曲线积分, 后者称为函数Q (x , y )在有向曲线L 上对坐标y 的曲线积分, 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分.

定义的推广:

设Γ为空间内一条光滑有向曲线, {cos α, cos β, cos γ}是曲线在点(x , y , z )处的与曲线方向一致的单位切向量, 函数P (x , y , z )、Q (x , y , z )、R (x , y , z )在Γ上有定义. 我们定义(假如各式右端的积分存在)

ds z y x P dx z y x P αcos ),,(),,(??ΓΓ=,

ds z y x Q dy z y x Q βcos ),,(),,(??ΓΓ=, ds z y x R dz z y x R γcos ),,(),,(??ΓΓ=.

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分

重庆三峡学院高等数学课程建设组 ∑?=→?=n

i i i i i L x f dx z y x f 1

),,(lim ),,(ζηξλ, ∑?=→?=n i i i i i L y f dy z y x f 1

),,(lim ),,(ζηξλ, ∑?=→?=n i i i i i L z f dz z y x f 1

0),,(lim ),,(ζηξλ.

对坐标的曲线积分的简写形式:

dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P L L L ),(),(),(),(+=+???; ???ΓΓΓ++dz

z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,( dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(++=?Γ.

对坐标的曲线积分的性质:

(1) 如果把L 分成L 1和L 2, 则

???+++=+2

1L L L Q d y P d x Q d y P d x Q d y P d x . (2) 设L 是有向曲线弧, -L 是与L 方向相反的有向曲线弧, 则

??+-=+-L L dy y x Q dx y x P d y x Q dx y x P ),(),(),(),(.

两类曲线积分之间的关系:

设{cos τi , sin τi }为与?s i 同向的单位向量, 我们注意到{?x i , ?y i }=?s i , 所以

?x i =cos τi ??s i , ?y i =sin τi ??s i ,

∑?=→?=n

i i i i L x f dx y x f 1

),(lim ),(ηξλ ?∑=?==→L

n i i i i i ds y x f s f ττηξλcos ),(cos ),(lim 1

0, ∑?=→?=n i i i i L y f dy y x f 1

0),(lim ),(ηξλ

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分

重庆三峡学院高等数学课程建设组 ?∑=?==→L

n

i i i i i ds y x f s f ττηξλsin ),(sin ),(lim 10. 即 ??+=+L L ds Q P Qdy Pdx ]sin cos [ττ,

或

???=?L L ds d t A r A . 其中A ={P , Q }, t ={cos τ, sin τ}为有向曲线弧L 上点(x , y )处单位切向量, d r =t ds ={dx , dy }.

类似地有

??ΓΓ++=++ds R Q P Rdz Qdy Pdx ]cos cos cos [γβα, 或 ???ΓΓΓ=?=?ds A ds d t t A r A .

其中A ={P , Q , R }, T ={cos α, cos β, cos γ}为有向曲线弧Γ上点(x , y , z )处单们切向量, d r =T ds ={dx , dy , dz }, A t 为向量A 在向量t 上的投影.

二、对坐标的曲线积分的计算:

定理: 设P (x , y )、Q (x , y )是定义在光滑有向曲线

L : x =?(t ), y =ψ(t ),

上的连续函数, 当参数t 单调地由α变到β时, 点M (x , y )从L 的起点A 沿L 运动到终点B , 则

??'=βα?ψ?dt t t t P dx y x P L )()](),([),(,

??'=βαψψ?dt t t t Q dy y x Q L )()](),([),(. 讨论:

?+L dy y x Q dx y x P ),(),(=？ 提示: ??'+'=+β

αψψ??ψ?dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L )}()](),([)()](),([{),(),(. 定理: 若P (x , y )是定义在光滑有向曲线

L : x =?(t ), y =ψ(t )(α≤t ≤β)

上的连续函数, L 的方向与t 的增加方向一致, 则

??'=β

α?ψ?dt t t t P dx y x P L )()](),([),(. 简要证明: 不妨设α≤β. 对应于t 点与曲线L 的方向一致的切向量为{?'(t ), ψ'(t )},

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分 重庆三峡学院高等数学课程建设组 所以)()()

(cos 22t t t ψ??τ'+''=,

从而 ??=L L ds y x P dx y x P τcos ),(),(

dt t t t t t t t P )()()()()()](),([2222ψ?ψ??ψ?βα'+''+''=?

?'=β

α?ψ?dt t t t P )()](),([.

应注意的问题:

下限a 对应于L 的起点, 上限β 对应于L 的终点, α不一定小于β .

讨论:

若空间曲线Γ由参数方程

x =?t ), y =ψ (t ), z =ω(t )

给出, 那么曲线积分

?Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=？

如何计算

提示:

?Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,( ?'=βα

?ωψ? )()](),(),([{t t t t P dt t t t t R t t t t Q )}()](),(),([)()](),(),([ωωψ?ψωψ?'+'+, 其中α对应于Γ的起点, β对应于Γ的终点.

例题:

例1.计算?L

xydx , 其中L 为抛物线y 2=x 上从点A (1, -1)到点B (1, 1)的一段弧. 解法一: 以x 为参数. L 分为AO 和OB 两部分:

AO 的方程为x y -=, x 从1变到0; OB 的方程为x y =, x 从0变到1.

因此 ???+=OB AO L xydx

xydx xydx 5

42)(10231

001==+-=???dx x dx x x dx x x .

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分 重庆三峡学院高等数学课程建设组 第二种方法: 以y 为积分变量. L 的方程为x =y 2, y 从-1变到1. 因此

??-'=1122)(dy y y y xydx L 5

42114==?-dy y . 例2. 计算?L

dx y 2. (1)L 为按逆时针方向绕行的上半圆周x 2+y 2=a 2 ;

(2)从点A (a , 0)沿x 轴到点B (-a , 0)的直线段.

解 (1)L 的参数方程为

x =a cos θ, y =a sin θ,

θ从0变到π.

因此 ??-=πθθθ0222)s i n (s i n d a a dx y L ?-=πθθ023c o s )c o s 1(d a 33

4a -=. (2)L 的方程为y =0, x 从a 变到-a .

因此 002==?

?-a a L dx dx y . 例3 计算?+L dy x xydx 22. (1)抛物线y =x 2上从O (0, 0)到B (1, 1)的一段弧; (2)抛物线

x =y 2上从O (0, 0)到B (1, 1)的一段弧; (3)从O (0, 0)到A (1, 0), 再到R (1, 1)的有向折线OAB . 解 (1)L : y =x 2, x 从0变到1. 所以

???+?=+10222)22(2dx x x x x dy x xydx

L 14103==?dx x . (2)L : x =y 2, y 从0变到1. 所以 ??+??=+10422)22(2dy y y y y dy x xydx L 151

04==?dy y . (3)OA : y =0, x 从0变到1; AB : x =1, y 从0变到1.

?+L dy x xydx 22??

+++=AB OA dy x xydx dy x xydx 2222 ??+?+?+?=10

102)102()002(dy y dx x x =0+1=1. 例4. 计算ydz x dy zy dx x 2233-+?Γ

, 其中Γ是从点A (3, 2, 1)到点B (0, 0, 0)的直线段AB .

解: 直线AB 的参数方程为

x =3t , y =2t , x =t ,

t 从1变到0. 所以

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分

重庆三峡学院高等数学课程建设组 所以 dt t t t t t I ??-?+?=01223]2)3(2)2(33)3[(4

8787013-==?dt t . 例5. 设一个质点在M (x , y )处受到力F 的作用, F 的大小与M 到原点O 的距离成正比,

F 的方向恒指向原点. 此质点由点A (a , 0)沿椭圆12222=+b

y a x 按逆时针方向移动到点B (0, b ), 求力F 所作的功W .

例5. 一个质点在力F 的作用下从点A (a , 0)沿椭圆12222=+b

y a x 按逆时针方向移动到点B (0, b ), F 的大小与质点到原点的距离成正比, 方向恒指向原点. 求力F 所作的功W .

解: 椭圆的参数方程为x =a cos t , y =b sin t , t 从0变到

2 π. j i r y x OM +==→, )()|

|(||j i r r r F y x k k +-=-

??=, 其中k >0是比例常数. 于是 ??+-=--=B

A B A y d y x d x k k y d y k x d x W . ?+--=20

22)c o s s i n s i n c o s

(πdt t t b t t a k )(2c o s s i n )(222022b a k

t d t t b a k -=-=?π. 三、两类曲线积分之间的联系

由定义, 得

??+=+L L ds Q P Qdy Pdx )sin cos (ττ

???=?=L L d ds Q P r F }sin ,{cos },{ττ,

其中F ={P , Q }, T ={cos τ, sin τ}为有向曲线弧L 上点(x , y )处单位切向量, d r =T ds ={dx , dy }.

类似地有

??Γ

Γ++=++ds R Q P Rdz Qdy Pdx )cos cos cos (γβα

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分 重庆三峡学院高等数学课程建设组 ??Γ

Γ?=?=r F d ds R Q P }cos ,cos ,{cos },,{γβα. 其中F ={P , Q , R }, T ={cos α, cos β, cos γ}为有向曲线弧Γ上点(x , y , z )处单们切向量, d r =T ds ={dx , dy , dz }.

§10.3 格林公式及其应用

一、格林公式

单连通与复连通区域:

设D 为平面区域, 如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于D , 则称D 为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.

对平面区域D 的边界曲线L , 我们规定L 的正向如下: 当观察者沿L 的这个方向行走时, D 内在他近处的那一部分总在他的左边.

区域D 的边界曲线L 的方向:

定理1设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成, 函数P (x , y )及Q (x , y )在D 上具有一阶连续偏导数, 则有

???+=??-??L D Qdy Pdx dxdy y

P x Q )(

, 其中L 是D 的取正向的边界曲线.

简要证明:

仅就D 即是X －型的又是Y －型的区域情形进行证明.

设D ={(x , y )|?1(x )≤y ≤?2(x ), a ≤x ≤b }. 因为

y P ??连续, 所以由二重积分的计算法有 dx x x P x x P dx dy y

y x P dxdy y P b a x x b a D )]}(,[)](,[{}),({12)()(21????-=??=???????

. 另一方面, 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有

?????+=+=a

b b a L L L dx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx )](,[)](,[2121?? dx x x P x x P b

a )]}(,[)](,[{21??-=?. 因此

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分 重庆三峡学院高等数学课程建设组 ???=??-L

D Pdx dxdy y P .

设D ={(x , y )|ψ1(y )≤x ≤ψ2(y ), c ≤y ≤d }. 类似地可证

???

=??L

D Qdx dxdy x Q . 由于D 即是X －型的又是Y －型的, 所以以上两式同时成立, 两式合并即得

???+=??? ?

???-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q . 应注意的问题:

对复连通区域D , 格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分, 且边界的方向对区域D 来说都是正向.

设区域D 的边界曲线为L , 取P =-y , Q =x , 则由格林公式得

???-=L

D ydx xdy dxdy 2, 或???-=

=L D ydx xdy dxdy A 21.

例1. 椭圆x =a cos θ , y =b sin θ 所围成图形的面积A .

分析: 只要1=??-??y P x Q

, 就有A dxdy dxdy y P x Q D

D ==??-??????)(. 解: 设D 是由椭圆x =a cos θ , y =b sin θ 所围成的区域. 令y P 21-=, x Q 2

1=, 则12121=+=??-??y P x Q . 于是由格林公式,

????+-=+-

==L

L D xdy ydx xdy ydx dxdy A 212121 ?+=πθθθ2022)c o s s i n (21d ab ab ?=πθ20

21d ab =πab . 例2 设L 是任意一条分段光滑的闭曲线, 证明

?=+L dy x xydx 022.

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分 重庆三峡学院高等数学课程建设组 证: 令P =2xy , Q =x 2, 则022=-=??-??x x y

P x Q

. 因此, 由格林公式有0022=±=+???dxdy dy x xydx D

L . (为什么二重积分前有“±”号？ ) 例3. 计算??-D y dxdy e 2

, 其中D 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形闭区域.

分析: 要使2y e y

P x Q

-=??-??, 只需P =0, 2y xe Q -=. 解: 令P =0, 2y xe Q -=, 则2y e y P x

Q

-=??-??. 因此, 由格林公式有 ???

++--=BO AB OA y D y dy xe dxdy e 22)1(2

111022----===??e dx xe dy xe x OA y . 例4 计算?+-L y x ydx

xdy 22, 其中L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,

L 的方向为逆时针方向.

解: 令22y x y

P +-=, 22y x x Q +=. 则当x 2+y 2≠0时, 有y P y x x y x Q ??=+-=??22222)(. 记L 所围成的闭区域为D . 当(0, 0)?D 时, 由格林公式得022=+-?L y x ydx

xdy ;

当(0, 0)∈D 时, 在D 内取一圆周l : x 2+y 2=r 2(r >0). 由L 及l 围成了一个复连通区域D 1, 应用格林公式得

02222=+--+-??l L y x ydx

xdy y x ydx xdy ,

其中l 的方向取逆时针方向. 于是??+-=+-l L y x ydx

xdy y x ydx

xdy 2222 ?+=πθθθ2022222sin cos d r

r r =2π.

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分 重庆三峡学院高等数学课程建设组 解 记L 所围成的闭区域为D .

当(0, 0)?D 时, 由格林公式得

0)(

22=??-??=+-???d x d y y

P x Q y x y d x x d y D L . 当(0, 0)∈D 时, 在D 内取一圆周l : x 2+y 2=r 2(r >0). 由L 及l 围成了一个复连通区域D 1, 应用格林公式得

0)(122=??-??=+-???+dxdy y P x Q y x ydx xdy D l

L , 即??=+-++-l L y x ydx xdy y x ydx

xdy 02222,

其中l 的方向取顺时针方向.

于是 ??-+-=+-l L y x y d x x d y y x y d x x d y 2222?+=πθθθ2022222s i n c o s d r r r =2π. 分析: 这里22y

x y P +-=, 22y x x Q +=, 当x 2+y 2≠0时, 有y P y x x y x Q ??=+-=??22222)(.

二、平面上曲线积分与路径无关的条件

曲线积分与路径无关:

设G 是一个开区域, P (x , y )、Q (x , y )在区域G 内具有一阶连续偏导数. 如果对于G 内任意指定的两个点A 、B 以及G 内从点A 到点B 的任意两条曲线L 1、L 2, 等式

??+=+2

1L L Q d y P d x Q d y P d x 恒成立, 就说曲线积分?+L

Qdy Pdx 在G 内与路径无关, 否则说与路径有关. 设曲线积分?+L

Qdy Pdx 在G 内与路径无关, L 1和L 2是G 内任意两条从点A 到点B 的曲线, 则有

??+=+2

1L L Q d y P d x Q d y P d x , 因为

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分 重庆三峡学院高等数学课程建设组 ??+=+21L L Q d y P d x Q d y P d x ?02

1=+-+??L L Qdy Pdx Qdy Pdx ?021=+++?

?-L L Qdy Pdx Qdy Pdx ?0)(21=+?-+L L Qdy Pdx ,

所以有以下结论: 曲线积分?+L

Qdy Pdx 在G 内与路径无关相当于沿G 内任意 闭曲线C 的曲线积分?+L

Qdy Pdx 等于零. 定理2 设开区域G 是一个单连通域, 函数P (x , y )及Q (x , y )在G 内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分?+L

Qdy Pdx 在G 内与路径无关（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式

x

Q y P ??=?? 在G 内恒成立.

充分性易证:

若x Q y P ??=??, 则0=??-??y

P x Q , 由格林公式, 对任意闭曲线L , 有???=??? ?

???-??=+D L dxdy y P x Q Qdy Pdx 0. 必要性:

假设存在一点M 0∈G , 使0≠=??-??ηy

P x Q

, 不妨设η>0, 则由y

P x Q

??-??的连续性, 存在M 0的一个δ 邻域U (M 0, δ), 使在此邻域内有2

η≥??-??y P x Q

. 于是沿邻域U (M 0, δ)边界l 的闭曲线积分 02)(2),(0>?≥??-??=+???πδηδM U l dxdy y P x Q Qdy Pdx ,

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分 重庆三峡学院高等数学课程建设组 这与闭曲线积分为零相矛盾, 因此在G 内

0=??-??y

P x Q . 应注意的问题: 定理要求, 区域G 是单连通区域, 且函数P (x , y )及Q (x , y )在G 内具有一阶连续偏导数. 如果这两个条件之一不能满足, 那么定理的结论不能保证成立.

破坏函数P 、Q 及y P ??、x

Q ??连续性的点称为奇点. 例5 计算?+L

dy x xydx 22, 其中L 为抛物线y =x 2上从O (0, 0)到B (1, 1)的一段弧. 解: 因为x x

Q y P 2=??=??在整个xOy 面内都成立, 所以在整个xOy 面内, 积分?+L

dy x xydx 22与路径无关. ??

?+++=+AB OA L dy x xydx dy x xydx dy x xydx 222222 111

02==?dy .

讨论: 设L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L 的方向为逆时针方向, 问022=+-?L y x ydx

xdy 是否一定成立？

提示:

这里22y x y

P +-=和2

2y x x Q +=在点(0, 0)不连续. 因为当x 2+y 2≠0时, y

P y x x y x Q

??=+-=??2222

2)(, 所以如果(0, 0)不在L 所围成的区域内, 则结论成立, 而当(0, 0)在L 所围成的区域内时, 结论未必成立.

三、二元函数的全微分求积

曲线积分在G 内与路径无关, 表明曲线积分的值只与起点从点(x 0, y 0)与终点(x , y )有关. 如果?+L Qdy Pdx 与路径无关, 则把它记为?+),(),(00y x y x Qdy Pdx

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分

重庆三峡学院高等数学课程建设组 即 ??+=+),(),(00y x y x L Qdy Pdx Qdy Pdx .

若起点(x 0, y 0)为G 内的一定点, 终点(x , y )为G 内的动点, 则

u (x , y )?+=)

,(),(00y x y x Qdy Pdx

为G 内的的函数.

二元函数u (x , y )的全微分为du (x , y )=u x (x , y )dx +u y (x , y )dy .

表达式P (x , y )dx +Q (x , y )dy 与函数的全微分有相同的结构, 但它未必就是某个函数的全微分.

那么在什么条件下表达式P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个二元函数u (x , y )的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？

定理3 设开区域G 是一个单连通域, 函数P (x , y )及Q (x , y )在G 内具有一阶连续偏导数, 则P (x , y )dx +Q (x , y )dy 在G 内为某一函数u (x , y )的全微分的充分必要条件是等式 x

Q y P ??=?? 在G 内恒成立.

简要证明:

必要性: 假设存在某一函数u (x , y ), 使得

du =P (x , y )dx +Q (x , y )dy ,

则有 y

x u x u y y P ???=????=??2)(, x y u y u x x Q ???=????=??2)(. 因为y

P y x u ??=???2、x Q x y u ??=???2连续, 所以 x

y u y x u ???=???22, 即x Q y P ??=??. 充分性:

因为在G 内x

Q y P ??=??, 所以积分?+L dy y x Q dx y x P ),(),( 在G 内与路径无关. 在G 内从点(x 0, y 0)到点(x , y )的曲线积分可表示为

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分

重庆三峡学院高等数学课程建设组 考虑函数u (x , y )?

+=),(),(00),(),(y x y x dy y x Q dx y x P . 因为 u (x , y )?

+=),(),(00),(),(y x y x dy y x Q dx y x P ??+=x x y

y dx y x P dy y x Q 0

0),(),(0, 所以 ),(),(),(000y x P dx y x P x dy y x Q x x u x x y y =??+??=????.

类似地有

),(y x Q y

u =??, 从而du =P (x , y )dx +Q (x , y )dy . 即P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某一函数的全微分. 求原函数的公式:

?+=)

,()

,(00),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u , ??+=y y x x dy y x Q dx y x P y x u 00

),(),(),(0, ??+=x x y y dx y x P dy y x Q y x u 0

0),(),(),(0. 例6 验证:

22y x ydx xdy +-在右半平面(x >0)内是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函

数. 解: 这里22y x y

P +-=, 2

2y x x Q +=. 因为P 、Q 在右半平面内具有一阶连续偏导数, 且有

y

P y x x y x Q

??=+-=??2222

2)(, 所以在右半平面内, 22y x ydx

xdy +-是某个函数的全微分.

取积分路线为从A (1, 0)到B (x , 0)再到C (x , y )的折线, 则所求函数为

?

+-=),()0 ,1(22),(y x y x y d x x d y y x u ?++=y y x x d y 0220x y a r c t a n =.

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分 重庆三峡学院高等数学课程建设组 问: 为什么(x 0, y 0)不取(0, 0)?

例6 验证: 在整个xOy 面内, xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数.

解 这里P =xy 2, Q =x 2

y .

因为P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 且有

y P xy x Q

??==??2, 所以在整个xOy 面内, xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分.

取积分路线为从O (0, 0)到A (x , 0)再到B (x , y )的折线, 则所求函数为

?

+=),()0 ,0(22),(y x y d y x dx xy y x u 20220202y x y d y x y d y x y y ==+=??. 思考与练习:

1.在单连通区域G 内, 如果P (x , y )和Q (x , y )具有一阶连续偏导数, 且恒有

y

P x Q ??=??, 那么

(1)在G 内的曲线积分?+L dy y x Q dx y x P ),(),(是否与路径无关? (2)在G 内的闭曲线积分?+L

dy y x Q dx y x P ),(),(是否为零? (3) 在G 内P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是否是某一函数u (x , y )的全微分?

2.在区域G 内除M 0点外, 如果P (x , y )和Q (x , y )具有一阶连续偏导数, 且恒有

y

P x Q ??=??, G 1是G 内不含M 0的单连通区域, 那么

(1)在G 1内的曲线积分?+L dy y x Q dx y x P ),(),(是否与路径无关? (2)在G 1内的闭曲线积分?+L

dy y x Q dx y x P ),(),(是否为零? (3) 在G 1内P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是否是某一函数u (x , y )的全微分?

3. 在单连通区域G 内, 如果P (x , y )和Q (x , y )具有一阶连续偏

导数, x Q y P ??≠??, 但y

P x Q ??-??非常简单, 那么 (1)如何计算G 内的闭曲线积分?

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4a9q.html