南邮电磁场第2章习题解答

第2章习题解答

2.2已知半径为a、长为l的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度?V?????0?a，

?0???a?。试求总电量Q。

解：Q??V?VdV??l00??2πa?0?a0?d?d?dz?πla2?0

232.3 半径为R0的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q。当球以角速度?绕某一直径(z轴)旋转时，试求

其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 ?S?Q 24πR0面电流密度为 JS??S?v??S?R0sin??QQ?sin? ?Rsin??024πR04πR02.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流JS?e?JS0。已知导线的直径为d，导线中的电流为I0，试

求JS0。

I04I0? 22π(d/2)πd4I由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 JS?Jd?0

πd4I因此，等效面电流密度为 JS?e?0

πd2.6 两个带电量分别为q0和2q0的点电荷相距为d，另有一带电量为q0的点电荷位于其间。为使中间的

解：每根导线的体电流密度为 J?点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-q0时，结果又如何？ 解：设实验电荷q0离2q0为x，那么离q0为d?x。由库仑定律，实验电荷受2q0的排斥力为

F1?实验电荷受q0的排斥力为

12q0 24π?xq01 24π?(d?x)q012q01?要使实验电荷保持平衡，即F1?F2，那么由，可以解得 224π?x4π?(d?x)F2?x?22?1d?0.585d 22?1d?0.585d。只是这时实验电荷与q0和2q0不

如果实验电荷为?q0，那么平衡位置仍然为x?是排斥力，而是吸引力。

2.7 边长为a的正方形的三个顶点上各放置带电量为q0的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E。 解：设点电荷的位置分别为q0?0,0,0?，q0?a,0,0?和q0?0,a,0?，由库仑定律可得点P?a,a,0?处的电

场为

1?1?1E??ex?ey?22?4π?0?2???e?e?xyq0?2a?2?ey1q01q0?ex4π?0a24π?0a2

2?1q0?82π?0a21

2.9半径为R0的半球面上均匀分布着面电荷，电荷密度为?S0，试求球心处的电场强度；若同样的电荷均

匀分布在半径为R0的半球内，再求球心处的电场强度。 解：面电荷密度产生的电场强度为

E?r??14π?02π?S??r?r???r?r?π/23S0dS?

2根据面电荷分布的对称性，电场强度只沿着z方向。由于dS??R0sin??d??d??，那么

E?r???ez?S04π?0?0d???0sin2??d?? ??ez?S0 4?0如果电荷均匀分布在半球内，那么体电荷密度为

22πR0?S03?S0Q ????332πR0/32πR0/3R0把体电荷密度分成很多薄球壳，根据上述结果，厚度为dr?的球壳产生的电场强度为

?dE?r???ezdr?

4?0那么，半球内均匀分布的电荷密度在球心产生的电场强度为

E?r?)??ez?4?0?R00dr???ez3??R0??ezS0 4?04?02.14 如题2.14图所示，两个半径分别为a和b?b?a?的球面之间均匀分布着

体电荷，电荷密度为?0。两球面的球心相距为d，且d?a。试求空腔内的电场。

解：我们把空腔看成是由电荷密度分别为?0和??0的体电荷，那么在空腔内电场可以看成电荷密度为?0、

半径为b的大圆球产生的场和电荷密度为??0、半径为a的小圆球所产生的的场的叠加。由高斯定理，

大圆球在球内产生的电场为

?0 ——场点到大球球心的距离Qrbr?rbb3?rb23?

?0 ——场点到小球球心的距离 Q而小圆球在球内产生的电场为 Ea?rar??raa23?ra3????因此合成场为 E?0rb?0ra?0d d——大球球心到小球球心的距离

3?3?3? Eb?2.22 如题2.22图所示，在半径为a的圆柱导体内并排挖了两个与其轴线平行、半径为b的圆柱形空腔。

两空腔的轴线与导体柱的轴线的距离相等，均为d，且d?b。当导体通以均匀分布的电流I时，试求空腔内的H。

22解：假设导体中的电流是?ez方向的。由于导体的电流密度为J0?I/?πa?2b?，所以可以把空腔看

成是两个电流密度也为J0的?ez方向的导体柱。那么在空腔内磁场可以看成该两个小导体柱和半径为

????a，没有空腔的大圆柱导体柱所产生的场的叠加。利用安培环路定律， 与z轴平行且位于z轴的圆柱

导体柱所产生的磁场为

J0??J0?ey?exe???a??xy???22??H????22JJaa00?e???a???exy?eyx???2x2?y2?2?? 与z轴平行位于?x0,y0?的圆柱导体柱所产生的磁场为

??a

??aJ0????ey?y?ex?x????x0y0??2??H??J0a2??22??ex?y?y0??ey?x?x0???2?x?x?y?y????00?

导体内

导体外2

由此可得两个空腔内的磁场分别为

左右左腔内 H?H大?H小 ?H小?II??exy?ey?x?d???ey?ex???xy?2π?a2?2b2?2π?a2?2b2??

Ib2??exy?ey?x?d???2?222?2π?a?2b??x?d??y??x?d?b2???Iyb2???e?ed?????xy22222π?a2?2b2??x?d?yx?d?y???????????左右右腔内 H?H大?H小 ?H小IIb2??exy?ey?x?d?????exy?eyx??2πa2?2b22?2?2π?a2?2b2?x?d?y?????I??exy?ey?x?d???22?2π?a?2b?

??x?d?b2???Iyb2???e?ed?????xy22222π?a2?2b2??x?d?yx?d?y???????????2.30 已知无源的自由空间内E?exE0cos??t??z?，其中E0，?和?为常数。试求磁场强度H和位移

电流Jd。

解：由麦克斯韦第二方程可得

ex?B?????E??t?xEx于是有

ey??yEyezex??0?zExEzey00ez??ey?E0sin??t??z? ?z0H?B?0t??1?0?t??ey?E0sin??t??z?dt

考虑到t???时，场还不存在，即H?????0，可以得到

H?而位移电流

B?0???0???1ey?E0sin??t??z?dt?ey?E0cos??t??z? ??0?D?E??0??ex??0E0sin??t??z? ?t?tπxsin??t??z?，其中H0,a,?和?为常数。试求E和Jd。2.31 已知无源的自由空间内H?eyH0cos a解：由于在无源的自由空间J?0，由麦克斯韦第一方程可得

Jd?ex?D????H??t?xHx?ex?H0cosey??yHyezex????z?x0Hzey0Hyez?Hy?Hy ???ex?ez?z?z?x0πH0πxπxcos??t??z??ezsinsin??t??z? aaa考虑到t???时，场还不存在，即E?????0，于是有 E?D?1?0?0????H?dt?et??x?H0πH0πxπxcossin??t??z??ezsincos??t??z? ??0aa??0a而位移电流 Jd?

πH0?Dπxπx?ex?H0coscos??t??z??ezsinsin??t??z? ?taaa3

2.32 已知介电常数为?，磁导率为?的空间内

E?eyE0cos??t?kxx?kzz?

试求：电荷密度?和电流密度J，J?0的条件是什么？

解：由麦克斯韦第四方程可得

????D????E?0

而由麦克斯韦第二方程可得

ex??B????E??t?xEx??ex?Ey?ezey??yEy?Eyezexey0Eyez??z0

????z?x0Ez??exkzE0sin??t?kxx?kzz??ezkxE0sin??t?kxx?kzz??z?x考虑到t???时，场还不存在，即H?????0，于是有

H?B??1?0?0??t????Edt??ex?kzE0??0cos??t?kxx?kzz??ezkxE0??0cos??t?kxx?kzz?

而

ex???H??xHxey??yHyezex????z?xHzHxey00ez???H?Hz??ey?x???z?x???zHz

?kz2E0?kx2E0??ex?sin??t?kxx?kzz??sin??t?kxx?kzz????0???0?代入麦克斯韦第一方程可得

2?kx2ky??DJ???H??ey?????E0sin??t?kxx?kyy? ????t??????由此可见，J?0的条件是kx?ky??2.33 已知无源的自由空间内

222??。

H?exA1sin4xcos??t?ky??ezA2cos4xsin??t?ky?

试求相应的位移电流密度。

解：由于在无源的自由空间J?0，由麦克斯韦第一方程可得

ex?D????H??t?xHxey??yHyezex????z?xHzHxey??y0ez0?exHz?Hx ?Hz?Hz?ey?ez?y?x?y ??exkA2cos4xcos??t?ky??ey4A2sin4xsin??t?ky??ezkA1sin4xsin??t?ky?

而位移电流 Jd??D??exkA2cos4xcos??t?ky??ey4A2sin4xsin??t?ky??ezkA1sin4xsin??t?ky?

?t2.34 已知半径为R0的球面内外的电场分别为

?A??ercos??e?sin???R?E??0?B?e2cos??esin??r???r3?r?R0??r?R0?

假设球内外的介电常数均为?0。试求：（1）满足边界条件的B；（2）球面上的面电荷密度及其总电量；（3）球面内外的体电荷密度。

4

解：（1）由电场切向分量连续的边界条件可得

E21tr?R?E?E02tr?R01?r?R?E02?r?R?B?AR00

（2）由电场法向方向分量满足的边界条件可得

D1nr?R0?D2nr?R0??S??S?D1nr?R0?D2nr?R0??0?E1rr?R0?E2rr?R0?

???0AS?3Rcos? ?Q?2ππ20?0?0?SR0d?d??0

（3）球面内外的体电荷密度 ????D?0 2.35 已知半径为R0、磁导率为?的球体内外的磁场强度为

?2?ercos??e?sin??r?R0?H?????A?r3?er2cos??e?sin???r?R0?

且球外为空气。试求：（1）满足边界条件的A；（2）球面上的面电流密度JS。

解：（1）由磁场法向分量连续的边界条件可得

B1nr?R?B02nr?R??0r?0H1rr?R??A??00H2rr?R?30rR0

（2）由磁场切向方向分量满足的边界条件可得

en??H1?H2?r?R?JS?JS?er??H1?H20?r?R?e??2??r?sin?

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