新课标2007-2011年高考试题——数学理(宁夏卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（宁夏、 海南卷）

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的

准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案

使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．

5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式：

样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差 锥体体积公式

s = 13V Sh = 其中x 为样本平均数

其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式

球的表面积、体积公式 V Sh =

24πS R =，34π3V R = 其中S 为底面面积，h 为高

其中R 为球的半径

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．已知命题:p x ?∈R ，sin 1x ≤，则（ ）

Ａ．:p x ??∈R ，sin 1x ≥

Ｂ．:p x ??∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ??∈R ，sin 1x > Ｄ．:p x ??∈R ，sin 1x >

【解析】p ?是对p 的否定，故有：,x ?∈R sin 1.x >

答案：C

2．已知平面向量(11)

(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，

Ｃ．(10)-，

Ｄ．(12)-，

【解析】13

22

-=a b (12).-， 答案：D

3．函数πsin 23y x ??=- ??

?在区间ππ2??-????

，的简图是（ ）

【解析】π()sin 23f ππ?

?=-

= ??

?排除Ｂ、Ｄ， π()sin 20,663f ππ??

=?-= ??

?排除Ｃ。也可由五点法作图验证。 答案：A

4．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，

则其公差d =（ ）

Ａ．2

3

-

Ｂ．13- Ｃ．13 Ｄ．23

【解析】1

101011()10

5(10)70 4.2

a a S a a +?==+=?= 1012.93

a a d -∴==

答案：D

5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ） Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652 【解析】由程序知，

150

21222502502550.2

S +=?+?++?=?

?= 答案：C

x

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

P

B A 6．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，

点111222()()P x y P x y ，，，，33

3()P x y ，在抛物线上， 且2132x x x =+， 则有（ ） Ａ．123FP FP FP += Ｂ．222123FP FP FP += Ｃ．2132FP FP FP =+

Ｄ．221

3FP FP FP =· 【解析】由抛物线定义， 2132()()(),222p p p x x x +

=+++即：2132FP FP FP =+． 答案：C 7．已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，

则2

()a b cd

+的最小值是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．4

【解析】,,a b x y cd xy

+=+= 22()() 4.a b x y cd xy ++∴=≥= 答案：D

8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中 标出 的尺寸（单位：cm ），可得这个几

何体的体积是（ ） Ａ．

34000cm 3

Ｂ．38000cm 3 Ｃ．32000cm

Ｄ．34000cm

【解析】如图，180********.33V =

???

= 答案：B

9．若cos 2π2sin 4αα=-??- ??

?cos sin αα+的值为（

）

正视图 侧视图

俯视图

Ａ．2- Ｂ．12- Ｃ．12

Ｄ．2

【解析】22cos 2cos )π2sin 42

αααα==+=-??- ??? 1cos sin .2αα?+=

答案：C

10．曲线12e

x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．29e 2 Ｂ．24e

Ｃ．22e Ｄ．2e 【解析】11

221(),2

x x y e e ''?==曲线在点2(4e )，处的切线斜率为212e ，因此切线方程为221(4),2y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(2,0),(0,),A B e -所以：221||2.2

AOB S e e ?=-?= 答案：D

123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）

Ａ．312s s s >>

Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>

Ｄ．231s s s >> 【解析】(78910)58.5,20x +++?=

= 甲 22222

15[(78.5)(88.5)(98.5)(108.5)]1.25,20s ?-+-+-+-=

= (710)6(89)48.5,20x +?++?=

=乙 22222

26[(78.5)(108.5)]4[(88.5)(98.5)]1.45,20

s ?-+-+?-+-== (710)4(89)68.5,20x +?++?=

=丙 2222234[(78.5)(108.5)]6[(88.5)(98.5)]1.05,20s ?-+-+?-+-=

=

y x

A

E

22213213.s s s s s s >>>>2由得

答案：B

12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，

且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、

三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则

12::h h h =（

）

2:2

【解析】如图，设正三棱锥P ABE -的各棱长为a ，

则四棱锥P ABCD -的各棱长也为a ，

于是1,2

h

a ==

2,h h =

== 12::2:2.h h h ∴ 答案：B

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．

【解析】如图，过双曲线的顶点A 、焦点F 分别 向其渐近线作垂线，垂足分别为B 、C ， 则：

||||6

3.||||2

OF FC c OA AB a =?== 答案：3

14．设函数(1)()

()x x a f x x

++=

为奇函数，则a = ．

【解析】(1)(1)02(1)00, 1.f f a a +-=?++=∴=- 答案：-1

15．i 是虚数单位，

51034i

i

-+=+ ．（用a bi +的形式表示，a b ∈R ，）

【解析】510(510)(34)25501 2.34(34)(34)25

i i i i i i i i -+-+-+===+++- 答案：12i +

16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排

一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）

【解析】由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂一个班，

共有123453240.C C A ??=种安排方法。

答案：240

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面

内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，

并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．

【解析】在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得

sin sin BC CD BDC CBD =∠∠． 所以sin sin sin sin()

CD BDC s BC CBD βαβ∠?==∠+． 在ABC Rt △中，

tan sin tan sin()

s AB BC ACB θβαβ?=∠=+．

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC

均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点．

（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．

【解析】（Ⅰ）证明：

由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，

ABC △为等腰直角三角形，

所以2

OA OB OC ===，且AO BC ⊥， 又SBC △为等腰三角形，故SO BC ⊥， O S B A C O

S B C M

且2

SO SA =，从而222OA SO SA +-． 所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥．

又AO BO O = ．

所以SO ⊥平面ABC ．

（Ⅱ）解法一：

取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，， 得OM SC AM SC ⊥⊥，．

OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．

由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥= ，，得AO ⊥平面SBC ． 所以AO OM ⊥

，又AM SA =，

故sin AO AMO AM ∠===． 所以二面角A SC B --

解法二：

以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴， 建立如图的空间直角坐标系O xyz -．

设(1

00)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，． SC 的中点11022M ??- ???

，，，111101(101)2222MO MA SC ????=-=-=-- ? ????? ，，，，，，，，． 00MO SC MA SC == ，∴··．

故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥> ，，<等于

二面角A SC B --的平面角．

cos 3MO MA MO MA MO MA <>== ，··， 所以二面角A SC B --

的余弦值为

3．

19．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy

中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2

212

x y += 有两个不同的交点P 和Q ．

（I ）求k 的取值范围；

（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，

使得向量OP OQ + 与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．

【解析】（Ⅰ）由已知条件，直线l

的方程为y kx =

代入椭圆方程得2

2(12

x kx +=．

整理得221102k x ??+++= ???

① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ???=-+=-> ???

，

解得2k <-

或2k >．即k

的取值范围为22???--+ ? ?????

，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++ ，，

由方程①，12x x +=． ②

又1212()y y k x x +=++ ③

而(01)()A B AB =

，，． 所以OP OQ + 与AB

共线等价于1212)x x y y +=+，

将②③代入上式，解得2

k =．

由（Ⅰ）知k <

或k >，故没有符合题意的常数k ．

20．（本小题满分12分）

如图，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形

ABCD 中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为m S n

. 假设正方形ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目．

（I ）求X 的均值EX ；

（II ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际

值之差在区间(0.03)-0.03，内的概率． 附表：10000100000()0.250.75k t t t t P k C

-==??∑

【解析】每个点落入M 中的概率均为14p =．依题意知1~100004X B ?? ??

?，． （Ⅰ）11000025004

EX =?=． （Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000X P ?

?-

， 0.03410.03(24252575)10000X P P X ??-

2574

10000100002426

0.250.75t t t t C -==

??∑ 25742425

100001000011000010000242600.250.750.250.75t t t t t t t C C --===??-??∑∑

0.95700.04230.9147=-=．

21．（本小题满分12分）

设函数2()ln()f x x a x =++

（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；

（II ）若

()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln

2． 【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a '=++，依题意有(1)0f '-=，故32

a =． D C B A

从而2231(21)(1)()3322

x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32??-+ ???

，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当112x -<<-

时，()0f x '<； 当12

x >-时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间3

1122????---+ ? ?????，，，∞单调增加，在区间112??-- ???

，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221()x ax f x x a

++'=+． 方程22210x ax ++=的判别式248a ?=-．

（ⅰ）若0?<

，即a <()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值． （ⅱ）若0?=

，则a

a =

若a =

()x ∈+

，2

()f x '=

当2

x =-时，()0f x '=，

当22x ?

??∈--+ ? ??

??? ，∞时， ()0f x '>，所以()f x 无极值．

若a =

)x ∈+

，2

()0f x '=>，()f x 也无极值． （ⅲ）若0?>

，即a >

a <22210x ax ++=有两个不同的实根

1x =

，2x =．

当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点， 故()f x 无极值．

当a >1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．

综上，()f x 存在极值时，a

的取值范围为)+．

()f x 的极值之和为

2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22

e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．

22．请考生在A B C ，，三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是

O 的割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在

PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点． （Ⅰ）证明A

P O M ，，，四点共圆； （Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小． 【解析】（Ⅰ）证明：连结OP OM ，． 因为AP 与O 相切于点P ，所以OP AP ⊥．

因为M 是O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥．

于是180OPA OMA ∠+∠=°．

由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A

P O M ，，，四点共圆． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A

P O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥．

由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°．

所以90OAM APM ∠+∠=°．

22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．

（Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．

【解析】以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，

两坐标系中取相同的长度单位．

A A

（Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．

所以224x y x +=．

即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程． 同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程．

（Ⅱ）由2222

4040

x y x x y y ?+-=??++=??，解得1100x y =??=?，，222

2x y =??=-?． 即1O ，2O 交于点(00)，和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-．

22．Ｃ（本小题满分10分）选修45-；不等式选讲

设函数()214f x x x =+--． （I ）解不等式()2f x >； （II ）求函数()y f x =的最小值． 【解析】（Ⅰ）令214y x x =+--，则

1521334254x x y x x x x ?---??

?

=--<

?+??

， ，， ，， ．≤≥．．．．．．．．．．．．．．．3分

作出函数214y x x =+--的图象，它与直线2y =的交点为(72)-，和5

23?? ???

，．

所以2142x x +-->的解集为5

(7)3x x ??--+ ???

，，． （Ⅱ）由函数214y x x =+--的图像可知， 当12x =-

时，214y x x =+--取得最小值92

-． 2008年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）

理科数学

数学（理）试题头说明：

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22－24题为选考题，其它

题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 参考公式：

样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准参 锥体体积公式

V =31Sh 其中x 为样本平均数

其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式

球的表面积、体积公式

V =Sh

2

4S R =π，343

V R =

π

其中S 为底面面积，h 为高

其中R 为球的半径

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数2sin()(0)y x ω?ω=+>)在区间[]02π，的图像如下：

那么ω＝（ ） A ．1

B ．2

C ．

2

1

D ．

3

1 2．已知复数1z i =-，则1

22--z z

z =（ ）

A ．2i

B ．2i -

C ．2

D ．2-

3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A ．

18

5 B ．

4

3 C ．

2

3 D ．

8

7 4．设等比数列{}n a 的公比q =2，前n 项和为S n ，则

2

4

a S =（ ）

A ．2

B ．4

C ．215

D ．2

17 5．右面的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三

个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选

项中的（ ）

A ．c x >

B ．x c >

C ．c b >

D ．b c >

6．已知a 1＞a 2＞a 3＞0，则使得2(1)1(123)i a x i -<=，，都成立的x 取值范围是（ ）

A ．110a ?? ???，

B ．120a ?? ???，

C ．310a ?? ???，

D ．320a ?? ???

， 7．23sin 702cos 10-=-

（ ） A ．12 B

．2 C ．2 D

．2

8．平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）

A ．a ，b 方向相同

B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量

C ．λ∈R ?，λ=b a

D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，12λλ+=0a b 9．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ）

A ．20种

B ．30种

C ．40种

D ．60种

10．由直线12x =

，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为（ ） A ．154 B ．174 C ．1ln 22

D ．2ln 2 11．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，

的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）

A ．1

14??- ???， B ．114??

???， C ．(12)， D ．(1

2)-， 12

的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a +b 的最大值为（ ）

A

．B

．C ．4 D

．第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知向量(011)=-，，a ，(410)=，，b

，λ+=a b 0λ>，则λ= ．

14．设双曲线22

1916

x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 ． 15．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98

，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 16．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下：

甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307

308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352

乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318

320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356

由以上数据设计了如下茎叶图

根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：

① ；

② ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-．

（Ⅰ）求{}n a 的通项n a ；

（Ⅱ）求{}n a 前n 项和S n 的最大值．

3 1 27

7 5 5 0 28 4

5 4 2 29 2 5

8 7 3 3 1 30 4 6 7

9 4 0 31 2 3 5 5 6 8

8

8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9

7 4 1 33 1 3 6 7

34 3

2 35 6

甲 乙

18．（本小题满分12分）

如图，已知点P 在正方体ABCD A B C D ''''-的对角线BD '上，60PDA ∠=?．

（Ⅰ）求DP 与CC '所成角的大小；

（Ⅱ）求DP 与平面AA D D ''所成角的大小．

19．（本小题满分12分）

A B ，

X 1和X 2．根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为

（Ⅰ）在两个项目上各投资100万元，Y 1

和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差DY 1，DY 2；

（Ⅱ）将(0100)x x ≤≤万元投资A 项目，100x -万元投资B 项目，()f x 表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求()f x 的最小值，并指出x 为何值时，()f x 取到最小值．

（注：2()D aX b a DX +=）

20．（本小题满分12分）

在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22

22b y a x +=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且｜MF 2｜=

3

5． （Ⅰ）求C 1的方程； （Ⅱ）平面上的点N 满足21MF MF +=，直线l ∥MN ，且与C 1交于A ，B 两点，若0OA OB =

，求直线l 的方程．

A B C

D P A ' B ' C ' D '

21．（本小题满分12分） 设函数1

()()f x ax a b x b

=+

∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3． （Ⅰ）求()f x 的解析式：

（Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；

（Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 点作直线AP 垂直直线OM ，垂足为P ．

（Ⅰ）证明：2

OM OP OA =

； （Ⅱ）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点．过B 点的切线交直线ON 于K ．证明：90OKM =

∠．

23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程

已知曲线C 1：cos sin x y θθ=??=?，（θ为参数），曲线C 2

：2

x y ?=-??

?

?=

??

（t 为参数）． （Ⅰ）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；

（Ⅱ）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线12C C ''，．写出12C C ''，的参数方程．1C '与2C '公共点的个数和C 21C 与公共点的个数是否相同？说明你的理由．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()84f x x x =---．

（Ⅰ）作出函数()y f x =的图像； （Ⅱ）解不等式842x x --->．

2009年高考文科数学试题及答案-海南卷（同宁夏卷）

2009年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）

数学（文史类）

第I 卷

一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的。

（1） 已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则A B =

(A) }{3,5 (B) }{3,6

(C) }{3,7 (D) }{3,9

（2） 复数3223i i

+=- （A ）1 （B ）1- （C ）i (D)i -

（3）对变量,x y 有观测数据（1x ，1y ）（1,2,...,10i =），得散点图1；对变量,u v 有观测数据（1u ，1v ）

（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。

（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关

（C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关

（4）有四个关于三角函数的命题：

1p ：?x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =12 2p : ,x y R ?∈, sin()sin sin x y x y -=- 3p : ?x ∈[]0,π

sin x = 4p : sin cos 2x y x y π=?+= 其中假命题的是 （A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，3p

（5）已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为

（A ）2(2)x ++2(2)y -=1 （B ）2(2)x -+2(2)y +=1

（C ）2(2)x ++2(2)y +=1 （D ）2(2)x -+2(2)y -=1

（6）设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥??-≥??-≤?

则z x y =+

（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值

（C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值

（7）已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为

（A ）17- （B ）17 （C ）16- （D ）16

（8）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =

（A ）38 （B ）20 （C ）10 （D ）9

（9） 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱线长为1，线段

11B D 上有两个动点E ，F ，且12

EF =

，则下列结论中错误的是 （A ）AC BE ⊥

（B ）//EF ABCD 平面

（C ）三棱锥A BEF -的体积为定值

（D ）AEF BEF ??的面积与的面积相等

（10）如果执行右边的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于

（A ）3 （B ） 3.5 （C ） 4 （D ）4.5

（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2

cm ）为

（A

）48+（B

）48+ （C

）36+（D

）36+（12）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值。设{}()min 2,2,10x f x x x =+- (x ≥0),则()f x 的

最大值为 （A ） 4 （B ） 5 （C ） 6 （D ） 7

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13题）~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22题）~第（24）题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 。

（14）已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若()

2,2P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为 。

（15）等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和

4S = 。

（16）已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712f π

??= ??? 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知50AB m =，120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，求∠DEF 的余弦值。

（18）（本小题满分12分）

如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 o

（Ⅰ）证明：AB ⊥PC

（Ⅱ）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积。

（19）（本小题满分12分） 某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人）.现用分层抽样方法（按A 类，B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.

（Ⅰ）A 类工人中和B 类工人各抽查多少工人？

（Ⅱ）从A 类工人中抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2

表1：

表

2：

（1） 先确定,x y ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4a7q.html