§19.2 含参量反常积分 数学分析课件（华师大 四版） 高教社ppt 华东师大教材配套课件 - 图文

数学分析第十九章含参量积分与函数项级数相同,含参量反常积分的重要内容是判别含参量反常积分的一致收敛性.在相应的一致收敛的条件下,含参量反常积分具有连续性,可微性,可积性.含参量反常积分的一致收敛性的判别法与函数项级数的一致收敛性的判别法类似.§2 含参量反常积分一、含参量反常积分的一致收敛性二、含参量反常积分一致收敛性的判别三、含参量反常积分的性质四、含参量无界函数反常积分*点击以上标题可直接前往对应内容§2 含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分

含参量反常积分一致收敛性

设函数f(x,y)定义在无界区域R?I?[c,??)上,

其中I是任意区间. 若?x?I,反常积分

?(x)????cf(x,y)dy(1)都收敛，则?(x)是区间I上的函数.

称(1)为定义在I上的含参量x 的无穷限反常积分,

或称含参量反常积分.

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数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社§2 含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分

定义1若含参量反常积分(1)与函数Φ(x)对???0,?N?c,使得当M?N时, 对一切x?I,都有即M?cf(x,y)dy??(x)??,???Mf(x,y)dy??,则称含参量反常积分(1)在I 上一致收敛于?(x),或简单地说含参量积分(1)在I 上一致收敛.数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社§2 含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分

注1由定义, ?(x)??充要条件是

??cf(x,y)dy在I 上一致收敛于

?(A)?supx?J??Ac??f(x,y)dy?0(A???).f(x,y)dy在I 上不一致收敛

?注2由定义, ?(x)??的充要条件是

????0?0,?M?c,?A??M及x0?J,使得

?A???f(x0,y)dy??0.数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社§2 含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分

例1讨论含参量反常积分

的一致收敛性.

解若x?0,令u?xy,则

?????xy?u?xAxedy?edu?e,??A???0xe?xydy,x?(0,??)于是

?(A)?supx??0，?????xA??Axe?xydy?1,?因此, 含参量积分在(0,??)上非一致收敛.而对于任何正数?, 有

?(A)?supx?[?,??)????Axe?xydy??e??A?0(A???),因此, 该含参量积分在[?,??)上一致收敛.

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§2 含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分

含参量反常积分一致收敛性的判别

定理19.7（一致收敛的柯西准则）含参量反常积分(1)在[a,b]上一致收敛的充要条件是:???0,?N?c,使得当A1,A2?N时, 对一切的x?[a,b],都有A2A1?f(x,y)dy??.(3)数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社§2 含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分

定理19.8含参量反常积分???cf(x,y)dy在I上一致收敛的充要条件是limF(A)=0,A??其中F(A)=sup?x?I+?Af(x,y)dy数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社§2 含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分

例2证明含参量反常积分

??sinxydy(4)?0y在[?,??)上一致收敛(其中??0),但在(0,??)内不一致收敛.

证作变量代换u?xy,得

??sinxy??sinudy?du, (5)?Ay?Axu??sinudu收敛, 故对任给的正数其中A?0,由于?0u?,总存在某一实数M , 当A??M时就有

??sinudu??.?A?u数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社§2 含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分

取A??M,则当A?M???sinxydy??,?A?y时,对?x???0,由(5) 式

所以(4)在x???0上一致收敛.

??sinu??sinu又因为limdu?du?0A?)+?Auu+?sinxy+?sinuF(A)=sup?dy=sup?duyux?(0,+?)Ax?(0,+?)Ax??sinu???du=.(在本节例6 中证明.)0u2所以根据定理19.8，(4)在(0,??)上不一致收敛.

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若对任意[a,b]?I,含参量积分(1) 在[a, b]上一致收敛,则称(1)在I 上内闭一致收敛.

所以，积分4在(0,+?)上内闭一致收敛.

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