新编物理基础学课后习题答案

第一章

????1-1.质点运动学方程为：r?acos(?t)i?asin(?t)j?btk,其中a，b，?均为正常数，求质

点速度和加速度与时间的关系式。

?分析：由速度、加速度的定义，将运动方程r(t)对时间t求一阶导数和二阶导数，可得到速度和加速度的表达式。

?????解：v?dr/dt??a?sin(?t)i?a?cos(?t)j?bk

????2a?dv/dt??a???cos(?t)i?sin(?t)j??

1-2. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即dv/dt??Kv， 式中K为常量．试证明电艇在关闭发动机后又行驶x距离时的速度为 v?v0e?Kx 。 其中v0是发动机关闭时的速度。 分析：要求v?v(x)可通过积分变量替换a?证：

2dvdv?v，积分即可求得。 dtdxdvdvdxdv???v??Kv2 dtdxdtdxdv??Kdx vv1xvdv??Kdx , ln??Kx ?v0v?0v0 v?v0e?Kx

1-3．一质点在xOy平面内运动，运动函数为x?2t,y?4t2?8。（1）求质点的轨道方程并画出轨道曲线；（2）求t=1 s和t=2 s 时质点的位置、速度和加速度。

分析：将运动方程x和y的两个分量式消去参数t，便可得到质点的轨道方程。写出质点的运

???动学方程r(t)表达式。对运动学方程求一阶导、二阶导得v(t)和a(t)，把时间代入可得某时刻

质点的位置、速度、加速度。

2解：（1）由x?2t,得：t?x,代入y?4t?8

2 可得：y?x?8，即轨道曲线。

画图略

2???????? 由v?dr/dt则速度：v?2i?8tj

???? 由a?dv/dt则加速度：a?8j

????????则：当t=1s时，有r?2i?4j,v?2i?8j,a?8j

（2）质点的位置可表示为：r?2ti?(4t2?8)j

22????????当t=2s时，有r?4i?8j,v?2i?16j,a?8j

1-4．一质点的运动学方程为x?t，y?(t?1)，x和y均以m为单位，t以s为单位。（1）求质点的轨迹方程；（2）在t?2s时质点的速度和加速度。 分析同1-3.

解：（1）由题意可知：x≥0，y≥0，由x?t，，可得t?

2x,代入y?(t?1)2

整理得：y?x?1，即轨迹方程

1

??2?2 （2）质点的运动方程可表示为：r?ti?(t?1)j

???? 则：v?dr/dt?2ti?2(t?1)j

???? a?dv/dt?2i?2j

?????? 因此, 当t?2s时，有v?4i?2j(m/s),a?2i?2j(m/s2)

121-5．一质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为s?v0t?bt，其中v0，b都是常量。（1）

2求t时刻质点的加速度大小及方向；（2）在何时加速度大小等于b； （3）到加速度大小等于b时质点沿圆周运行的圈数。

分析：由质点在自然坐标系下的运动学方程s?s?t?，求导可求出质点的运动速率v?ds，因dtdvv2???22而，a??，an?，a?a??0?ann0，a?a??an，当a?b时，可求出t，代入运动

dt?学方程s?s?t?，可求得a?b时质点运动的路程，解：（1）速率：v?dss即为质点运动的圈数。 2?R??b

dtdt?dv?v2??(v0?bt)2? 加速度：a??0?n0??b?0?n0

dt?R 则大小：a??v0?bt，且dva2??a2n?(v0?bt)2?2?b???????????①

R??

2 方向：tan????v0?bt?2bRv

（2）当a=b时，由①可得：t?0

b

2v0v012（3）当a=b时，t?，代入s?v0t?bt,可得：s?

b22b2v0s? 则运行的圈数 N? 2?R4?bR?21-6．一枚从地面发射的火箭以20m?s的加速度竖直上升0.5min后，燃料用完，于是像一个

自由质点一样运动，略去空气阻力，试求（1）火箭达到的最大高度；（2）它从离开地面到再回到地面所经过的总时间。

2分析：分段求解：0?t?30s时，a?20ms，求出v、a；t＞30s时，a??g。求出v2(t)、

x2(t)。当v2?0时，求出t、x，根据题意取舍。再根据x?0，求出总时间。

解：（1）以地面为坐标原点，竖直向上为x轴正方向建立一维坐标系，且在坐标原点时，t=0s，且0.5min=30s

tvxdvx2, 得?axdt??dvx,ax?20(m/s)，

00dt vx?20t(m/s),t?30(s)时，v1?600(m/s)

30x1dx 由vx?，得?vxdt??dx，则：x1?9000(m)

00dt则：当0≤t≤30s，由ax? 2

当火箭未落地, 且t＞30s,又有：

?t30ax2dt??dvx2,ax2??9.8(m/s2)，

v1vx2 则：vx2?894?9.8t(m/s) 且：

?t30vx2dt??dx，则：x??4.9t2?894t?13410(m)?①

x1x当vx2?0，即t?91.2(s)时，由①得，xmax?27.4km

（2）由（1）式，可知，当x?0时，t?166(s)，t≈16(s)＜30(s)（舍去）

1-7. 物体以初速度20m?s被抛出，抛射仰角60°，略去空气阻力，问（1）物体开始运动后的1.5s末，运动方向与水平方向的夹角是多少？ 2.5s末的夹角又是多少？（2）物体抛出后经过多少时间，运动方向才与水平成45°角？这时物体的高度是多少?（3）在物体轨迹最高点处的曲率半径有多大？（4）在物体落地点处，轨迹的曲率半径有多大？

?1??分析：（1）建立坐标系，写出初速度v0，求出v(t)、tan?，代入t求解。

（2）由（1）中的tan?关系，求出时间t；再根据y方向的运动特征写出y?t?，代入t求y。

（3）物体轨迹最高点处，vy?0，且加速度a?an?v2??g，求出?。

v2，求出?。

（4）由对称性，落地点与抛射点的曲率相同 an?gcos???解：以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向建立二维坐标系

?????00（1）初速度v0?20cos60i?20sin60j?10i?103j(m/s)，

?? 且加速度a??9.8j(m/s2),

??? 则任一时刻：v?10i?(103?9.8t)j(m/s)??????①

103?9.8t???????????②

10当t=1.5(s)时，tan??0.262,??14?41'

与水平方向夹角有tan??当t=2.5(s)时，tan???0.718,???35?41' （2）此时tan??1, 由②得t=0.75(s) 高度y?vyot?121gt?103?0.75??9.8?0.752?10.23(m) 22（3）在最高处，

?v2?v?10i(m/s),v?10(m/s),an??g，

?v2 则：???10.2(m)

g（4）由对称性，落地点的曲率与抛射点的曲率相同。 由图1-7可知：

an?acos??gcos??g ?gvx v10?4.9(m/s2) 20v2400????82(m)

an4.91-8．应以多大的水平速度v把一物体从高h处抛出， 才能使它在水平方向的射程为h的n倍？

3

分析：若水平射程vt?hn，由h?1gt消去t，即得v?h?。 2解：设从抛出到落地需要时间t

则，从水平方向考虑vt?hn，即

从竖直方向考虑h?则有： v?12gt,消去t， 2n2gh 2-1-21-9．汽车在半径为400m的圆弧弯道上减速行驶，设在某一时刻，汽车的速率为10m?s，切向加速度的大小为0.2m?s。求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。 分析：由某一位置的?、v求出法向加速度an，再根据已知切向加速度a?求出a的大小和方向。

102解：法向加速度的大小an???0.25(m/s2), 方向指向圆心

?400总加速度的大小

v2a?a2??a2n?0.22?0.252?0.32(m/s2)

a??0.8,??38?40', an则总加速度与速度夹角??90????128?40'

如图1-9，tan??

? v ?? ????aa ?? ??v g

图1-10

1-10. 质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为v0，与水平方向成?角．求质点到达抛

0nt出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径（忽略空气阻力）．已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为an ? v 2/? 。

分析：运动过程中，质点的总加速度a? g 。由于无阻力作用，所以回落到抛出点高度时 质点的速度大小v?v0，其方向与水平线夹角也是?。可求出an ，如图1-10。再根据关系

an ? v 2/? 求解。

解：切向加速度 a??gsina 法向加速度 an?gcosa

2v0v2因 an? ? ????angcos?v21-11．火车从A地由静止开始沿着平直轨道驶向B地，A，B两地相距为S。火车先以加速度a1

作匀加速运动，当速度达到v后再匀速行驶一段时间，然后刹车，并以加速度大小为a2作匀减

4

速行驶，使之刚好停在B地。求火车行驶的时间。

分析：做v-t图，直线斜率为加速度，直线包围面积为路程S。 解：由题意，做v-t图（图1-11）

则梯形面积为S，下底为经过的时间t， tan??a1,tan??a2

v?t?(t?vcot??vcot?)? 2S111则：t??v(?)

v2a1a2则：S?

1-12. 一小球从离地面高为H的A点处自由下落，当它下落了距离h时，与一个斜面发生碰撞，并以原速率水平弹出，问h为多大时，小球弹的最远？

分析：先求出小球落到A点的小球速度，再由A点下落的距离求出下落时间，根据此时间写出小球弹射距离l,最后由极植条件求出h。 解：如图1-12，当小球到达A点时，有v2?2gh 则速度大小：v?2gh, 设从A点落地的时间为t，则有H?h? 则t?12gt， 22(H?h) g1H时，l有最大值。 22小球弹射的距离，l?vt?2(H?h)h?2?h?Hh 则当h? 1-13．离水面高为h的岸上有人用绳索拉船靠岸，人以恒定速率v0拉绳子，求当船离岸的距离为s时，船的速度和加速度的大小。

分析：收绳子速度和船速是两个不同的概念。小船速度的方向为水平方向，由沿绳的分量与垂直绳的分量合成，沿绳方向的收绳的速率恒为v0。可以由v0求出船速v和垂直绳的分量v1。再根据an?v12?关系，以及an与a关系求解a。

解：如图1-13，v2?v0

5

船速v?v2sec? 当船离岸的距离为s时， v?v0vhs2?h2,v1?v2tan??0 ss则，an?v12??v12s?h22?acos??ass?h22 v02h2 即：a?

s3

1-14. A船以30km?h的速度向东航行，B船以45km?h的速度向正北航行，求A船上的人观察到的B船的速度和航向。

分析：关于相对运动，必须明确研究对象和参考系。同时要明确速度是相对哪个参照系而言。画出速度矢量关系图求解。

解：如图1-14，vA?30i(km/h),vB?45j(km/h) B船相对于A船的速度vBA?vB?vA?45j?30i(km/h) 则速度大小：vBA?v方向：??arctan2B-1-1??????????v2A?54.1(km/h)

vB?56.3?，既西偏北56.3? vA-11-15. 一个人骑车以18km?h的速率自东向西行进时，看见雨滴垂直落下，当他的速率增加至

36km?h-1时，看见雨滴与他前进的方向成120°角下落，求雨滴对地的速度。

分析：相对运动问题，雨对地的速度不变，画速度矢量图由几何关系求解。

6

解：如图1-15，vr为雨对地的速度， vp1,vp2分别为第一次，第二次人对地的速度，

?????vr?p1,vr?p2分别为第一次，第二次雨对人的速度

??120?

由三角形全等的知识，可知：????180??120??60

三角形ABC为正三角形，则：vr?vp2?36(km/h)，方向竖直向下偏西30?。

1-16如题图1－16所示，一汽车在雨中以速率v1沿直线行驶，下落雨滴的速度方向偏于竖直方向向车后方?角，速率为v2，若车后有一长方形物体，问车速为多大时，此物体刚好不会被雨水淋湿？

分析：相对运动问题，画矢量关系图，由几何关系可解。 解：如图1-16（a），车中物体与车蓬之间的夹角 ??arctanl h若?＞?，无论车速多大，物体均不会被雨水淋湿 若?＜?，则图1-16（b） 则有v车?|BC|?|AC|?|AB|

=v雨对车sin??v雨sin??v雨cos?tan??v雨sin? 又v雨?v2 则：v车?v2(lcos??sin?) h1-17，渔人在河中乘舟逆流航行，经过某桥下时，一只水桶落入水中，0.5h后他才发觉，即回头追赶，在桥下游5.0km处赶上，设渔人顺流及逆流相对水划行速率不变，求水流速率。 分析：设静水中船、水的速率分别为v1,v2(v1?v2)，从桶落水开始记时，且船追上桶时为t时

7

刻。取水速的反方向为正方向，则顺水时，船的速率为v?v1?v2，逆水时船的速率为v?v1?v2,做v-t图，见图1-17

解： SABDC?SDEGF即：?(v1?v2)?(?v2)??0.5?(?v2)???(v1?v2)??(t?0.5) 则：t?1.0(h) 又：v2?t?5.0

则：水流速率v2=5.0(km/h)

1-18．一升降机以2g的加速度从静止开始上升，在2.0s末时有一小钉从顶板下落，若升降机顶板到底板的距离h=2.0m，求钉子从顶板落到底板的时间t, 它与参考系的选取有关吗？ 分析：选地面为参考系，分别列出螺钉与底板的运动方程，当螺丝落到地板上时，两物件的位置坐标相同，由此可求解。

解：如图1-18建立坐标系，y轴的原点取在钉子开始脱落时升降机的底面处，此时，升降机、钉子速度为vo,钉子脱落后对地的运动方程为： y1?h?vot?升降机底面对地的运动方程为：

??12gt 21y2?vot??2gt2

2且钉子落到底板时，有y1?y2，即t?0.37(s)

t与参考系的选取无关。

8

第二章

2-1分析：用隔离体法，进行受力分析，运用牛顿第二定律列方程。

??解：以m、M整体为研究对象，有：F?(m?M)a?①

???以m为研究对象，如图2-1（a），有F?FMm?ma?②

由①、②，有相互作用力大小FMm?MF

m?M若F作用在M上，以m为研究对象，

??如图2-1（b）有FMm?ma????③

由①、③，有相互作用力大小FMm

?FMmm

?F mF?，发生变化。 m?M（a）

?FMmm

（b）

2-2. 分析：由于轻滑轮质量不计，因此滑轮两边绳中的张力相等，用隔离体法进行受力分析，运用牛顿第二定律列方程。

解：取向上为正，如图2-2，分别以M1、M2和m为研究对象， 有： T1?M1g?M1a

?(M2?m)g?T2?? (M2?m)a

FM2m?mg ? ?ma

M2m又：T1=T2，则： F当M1=M2= 4m， F

M2 =

2M1mg

M1?M2?m?m10mg8mg 当M=5m, M=3m, ，发生变化。 12?FM2m992-3.分析：用隔离体法受力分析，运用牛顿第二定律列方程。

?解：f为空气对气球的浮力，取向上为正。

分别由图2—3（a）、(b)可得：

f?Mg?Ma

9

f?(M?m)g?(M?m)a1

则aMa?mg1?m?M,?a?a?am?a?g?1?m?M

2-4．分析：用隔离体法受力分析，人站在底板上静止不动，底板、人受的合力分别为零. 解：设底板、人的质量分别为M，m， 以向上为正方向，如图2-4（a）、(b)， 分别以底板、人为研究对象， 则有：T1?T2?F?Mg?0 T3?F'?mg?0

F为人对底板的压力，F'为底板对人的弹力。 F=F'

又：T12?T3?2T1 则T(M?m)g2?T3?4?245(N) 由牛顿第三定律，人对绳的拉力与T?3是一对

作用力与反作用力，即大小相等，均为245（N）。 2-5．分析：加斜向下方向的力，受力分析，合力为零。 解：如图2—5，建坐标系，以沿斜面向上为正方向。

mg?与N?所在的平面上做力F?，且0????2

（若

?2????，此时F偏大） 则：?Fcos??mgsin??f?0

f??N

N?Fsin??mgcos??0

则有：F?mg(?cos??sin?)mg(?cos??sin??sin??cos??)1??2sin(???),??arctan1?

10

在

即：Fmin?mg(?cos??sin?)1??2,此时???2???arctan?

2-6. 分析：利用牛顿定律、运动方程求向上滑动距离。停止滑动时合力为零。 解：由题意知： ??tan? ① 向上滑动时， mgsin???mgcos??ma ②

2v0?2aS ③

2联立求解得 S?v0/(4gsin?)

当它停止滑动时，会静止，不再下滑． 2-7. 分析：要满足条件，则F的大小至少要使水平方向上受力平衡。 解：如图2—7，Fcos??f??N??(mg?Fsin?) F??mg1??sin(???)2(??arctan1?)

当sin(???)?1时,Fmin=?mg1+?2?14.08N

2—8. 分析：垂直方向的力为零，水平方向的力提供向心力。先求速度，再求周期讨论。 证：设两个摆的摆线长度分别为l1和l2，摆线与竖直轴之间的夹角分别为?1和?2，摆线中的张力分别为F1和F2，则

F1cos?1?m1g?0 ①

2 F1sin?1?m1v1/(l1sin?1) ②

解得： v1?sin?1gl1/cos?1 第一只摆的周期为 T1?2?l1sin?1?2?v1 l1cos?1 gm1 m2 同理可得第二只摆的周期 题2-8

T2?2?l2cos?2 g由已知条件知 l1cos?1?l2cos?2 ∴ T1?T2 2—9分析：受力分析，由牛顿第二定律列动力学方程。 证明：如图2—9（b）、（c），分别以M、M+m为研究对象，设M、M+m对地的加速度大小分别为a1（方向向上）、a2（方向向下），则有：对M，有：

11

（b） (c) 图2-9

h?12a1t2f?Mg?Ma1

对M?m,有:(M?m)g?f'?(M?m)a2又:f?f'mgt2-2Mh则:a2=(M+m)t2则质量重的人与滑轮的距离:

1m?12?h??h?a2t2?h?gt?。此题得证。 ?2M?m?2?2-10.分析：受力分析，由牛顿定律列方程。 解：物体的运动如图2—10（a ）， 以m1为研究对象，如图（b），有：

F1?m1a1

以m2为研究对象，如图（c），有：

F?F1'?m2a2

又有：F1?F1' 则：a2?F?m1a1?9.4m/s2 m2

2—11.分析：（1）小物体此时受到两个力作用：重力、垂直漏斗壁的支承力，合力为向心力；（2）小物体此时受到三个力的作用：重力、垂直漏斗壁的支承力和壁所施的摩擦力。当支承力在竖直方向分量大于重力，小球有沿壁向上的运动趋势，则摩擦力沿壁向下；当重力大于支承力的竖直方向分量，小球有沿壁向下的运动趋势，则摩擦力沿壁向上。这三个力相互平衡时，小物体与漏斗相对静止。 解：

12

（1）如图2—11（a），有：

mgtan?2?mv2htan?2，则：v?gh （2）若有向下运动的趋势，且摩擦力为最大静摩擦力(f2??N2)时，速度最小，则图2—11（b）有： 水平方向：N2cos?2?f2sin?2?mv2htan?2

竖直方向：N2sin?2?f2cos?2?mg

又：f2??N2

1??tan则有：v???2 gh1??cot2若有向上运动的趋势，且摩擦力最大静摩擦力(f3??N3)时，速度最大，则图2—11（c），有： 水平方向：N3cos?2?f3sin?2?mv2htan?2

竖直方向：N3sin?2?f3cos?2?mg

又：f3??N3

1??tan则有：v???2 gh1??cot21??tan综合以上结论，有gh??2?v?gh1??tan1??cot??2

1??cot222—12． 分析：因为滑轮与连接绳的质量不计，所以动滑轮两边绳中的张力相等，定滑轮两边绳中的张力也相等，但是要注意两物体的加速度不相等。

解：图2—12（a）以A为研究对象，其中FL、FR分别为滑轮左右两边绳子的拉力。有：

mAg?FL?FR?mAaA

且：FL?FR

图2—12（b）以B为研究对象，在水平方向上，有：FL'?f?mBaB 又：FL?FL，aB?2aA,aA?1.0m/s

13

'2 mA?mB?m?3kg 联立以上各式，可解得：f?

2—13．分析：如图2—13，对小球做受力分析，合力提供向心力，由牛顿第二定律，机械能守恒定律求解。 解：mgrcos??A 题图2－12 B mg?2maB?maA?7.2N

2?FR?FL

?N ?f ?mAg

图2－12a

?FL?

?mBg 图2－12b

又：v???r,此时,v??r???② 由①、②可得： ?????12mv????① 22gcos? r题图2－13

v2N?mgcos??m??③

r由①、③可得，N=3mgcos?

图2－13

2—14分析：加速度等于零时，速度最大，阻力为变力，积分求时间、路程。 解：设阻力f?kv(k?0)，则加速度a?2F?kvmF则有：0?,k?2,从而:mvm2F?f，当a=0时，速度达到最大值vm， mf?F2v 2vm又a?F?fdv?，即：mdtF?F2v2vmdv?????① mdt 14

Fdt?mtdvv2(1?2)vmdvv2(1?2)vmvm/2vm/2F?0mdt??0

?v??1?t?vm?F??vm?t???ln?v?m?0?2?1???vm??0t?mvmln3，即所求的时间 2FF?对①式两边同乘以dx，可得：

2vmvFdx?2dv2mvm?vF2v2vmdvdx?dx mdt?x02vm/2vmvFdx??dv220mvm?vx2mvm/2

?F??v22?x??ln(v?vm)?????m?0?2?0x?2m2m题图2－15

mvmv4ln?0.1442F3F2-15．分析：相对运动。m1相对地运动，m2、m3相对B运动，T1?2T2。根据牛顿牛顿定律

和相对运动加速度的关系求解。

解：如下图2-15，分别是m1、m2、m3的受力图。

设a1、a2、a3、aΒ分别是m1、m2、m3、B对地的加速度；a2B、a3B分别是m2、m3对B的加速度，以向上为正方向，可分别得出下列各式

?m1g?T1'?m1a1?????① ?m2g?T2'?m2a2????② ?m3g?T2?m3a3?????③

又：

15

a2?aB?a2Ba3?aB?a3B

且：a2B??a3B

则：a2?a3?2aB,且aB??a1,则：

a2?a3??2a1

又：T1'?T1?T2?T2'

????④ ????⑤ ????⑥

T2'?T2

?4m2?3m1g2a?g????1.96m/s?13m1?4m25??4m2?m1gg????1.96m/s2 则由①②③④⑤⑥，可得：?a2??3m1?4m25??5m?4m23gg??5.88m/s2?a3?13m1?4m25?（2）将a3的值代入③式，可得：T2?8m1m2g?0.784N。T1?2T2?1.57N

3m1?4m22-16．分析：：要想满足题目要求，需要M、m运动的加速度满足：aM?am，如图2-16（b），以M为研究对象，N1，N2，f1，f2分别为m给M的压力，地面给M的支持力，m给M的摩擦力，地面给M的摩擦力。 解：aM?F?f1?f2

M如图2-16（c），以m为研究对象，N1',f1'分别为M给m的支持力、摩擦力。

f1'则有：am?

m又f1?f1??N1??N??mg,则aM?am可化为：

''f2??N2???m?M?g

F??(M?m)g??mg?mg?

Mm则：Fmin?2?(m?M)g?19.4N

2-17．分析：如图2-17，对石块受力分析。在斜面方向由牛顿定律列方程，求出时间与摩擦系数的关系式，比较??60与??45时t相同求解?。

解：（1）其沿斜面向下的加速度为：

oo题图2－16

16

a?mgsina??mgcosa?gsina??gcosa

mL1?at2，则： 又s?cosa2t?2L gcosa(sina??cosa)2L，

gcos60?(sin60???cos60?)（2）又??60?时，t1???45?时，t2?2L gcos45?(sin45???cos45?)又t1?t2，则：??0.27

2—18，分析：绳子的张力为质点m提供向心力时，M静止不动。 解：如图2—18，以M为研究对象, 有：Mg?T'??① 以m为研究对象，

v2水平方向上，有：T?man?m??②

r又有：T'?T?③

v2Mg?由①、②、③可得： rm0

题图2－18

2-19．一质量为0.15kg的棒球以v0?40m?s-1的水平速度飞来，被棒打击后，速度与原来方向成135角，大小为v?50m?s。如果棒与球的接触时间为0.02s，求棒对球的平均打击力大小及方向。

分析：通过动量定理求出棒对球在初速方向与垂直初速方向的平均打击力，再合成求平均力及方向。 解：

?F1?t?mvcos135??mv0 ①

在和初速度垂直的方向上，由动量定理有： F2?t?mvcos45? ② 又F?-1F12?F22 ③

由①②③带入数据得：F?624N

?F2?F与原方向成arctan???F???155?角

?1?2-20. 将一空盒放在秤盘上，并将秤的读数调整到零，然后从高出盒底h将小钢珠以每秒B个的速率由静止开始掉入盒内，设每一个小钢珠的质量为m，若钢珠与盒底碰撞后即静止，试求自钢珠落入盒内起，经过t秒后秤的读数。

分析：秤的读数是已落在盒里石子的重量与石子下落给秤盘平均冲力之和，平均冲力可由动量定律求得。

17

解：对在dt的时间内落下的钢珠，由动量定理： 0?mBdt2gh??Fdt

所以t秒后秤的读数为： mgBt?mB2gh

2-21. 两质量均为M的冰车头尾相接地静止在光滑的水平冰面上，一质量为m的人从一车跳到另一车上，然后再跳回，试证明，两冰车的末速度之比为?M?m?/M。 分析：系统动量守恒。

解：任意t时刻，由系统的动量守恒有：Mv1?(M?m)v2?0

所以两冰车的末速度之比： v1/v2??M?m?/M

2-22. 质量为3.0kg的木块静止在水平桌面上，质量为5.0g的子弹沿水平方向射进木块。两者合在一起，在桌面上滑动25cm后停止。木块与桌面的摩擦系数为0.20，试求子弹原来的速度。 分析：由动量守恒、动能定理求解。

解：在子弹沿水平方向射进木块的过程中，由系统的动量守恒有：

Mv0?(M?m)v 一起在桌面上滑动的过程中，由系统的动能定理有：

①

1(M?m)v2??(M?m)gl 2由①②带入数据有： v0?600m/s

② 2-23. 光滑水平平面上有两个物体A和B，质量分别为mA、mB。当它们分别置于一个轻弹簧的两端，经双手压缩后由静止突然释放，然后各自以vA、vB的速度作惯性运动。试证明分开之后，两物体的动能之比为： 分析：系统的动量守恒。 解：由系统的动量守恒有：

EkAmB。 ?EkBmAmAvA?mBvB?0

所以 vA/vB?mB/mA

2EkA(1/2)mAvAmB物体的动能之比为： ??2EkB(1/2)mBvBmA

2-24．如图2-24所示，一个固定的光滑斜面，倾角为θ，有一个质量为m小物体，从高H处沿斜面自由下滑，滑到斜面底C点之后，继续沿水平面平稳地滑行。设m所滑过的路程全是光滑无摩擦的，试求：（1）m到达C点瞬间的速度；（2）m离开C点的速度；（3）m在C点的动量损失。

分析：机械能守恒，C点水平方向动量守恒，C 点竖直方向动量损失。 解：（1）由机械能守恒有：

18

题图2－24

mgH?12mvc带入数据得vc?2gH， 2方向沿AC方向

（2）由于物体在水平方向上动量守恒，所以

mvccos??mv，得：v?2gHcos?

方向沿CD方向。

（3）由于受到竖直的冲力作用，m在C点损失的动量：

?p?m2gHsin?，方向竖直向下。

2-25．质量为m的物体，由水平面上点O以初速度v0抛出，v0与水平面成仰角α。若不计空气阻力，求：（1）物体从发射点O到最高点的过程中，重力的冲量；（2）物体从发射点落回至同一水平的过程中，重力的冲量。

分析：竖直方向由动量定力理求重力冲量。最高点竖直方向速度为零。落回到与发射点同一水平面时，竖直方向的速度与发射时竖直的方向速度大小相等，方向相反。 解：（1）在竖直方向上只受到重力的作用，由动量定理有：

0?(mv0sin?)?I重，得I重??mv0sin?，方向竖直向下。

（2）由于上升和下落的时间相等，物体从发射点落回至同一水平面的过程中，重力的冲量：

I重??2mv0sin?，方向竖直向下。

2-26．如图所示，在水平地面上，有一横截面S=0.20m的直角弯管，管中有流速为v=3.0m?s的水通过，求弯管所受力的大小和方向。

分析：对于水竖直方向、水平方向分别用动量定理求冲力分量，弯管所受力大小为水所受的冲力合力。

解：对于水，在竖直方向上，由动量定理有：

0??vdtSv?Fdt1①

2?1在水平方向上，由动量定理有：

?vdtSv?F2dt ②

由牛顿第三定律得弯管所受力的大小：

F?F12?F22 ③

由①②③带入数据得F=2500N，方向沿直角平分线指向弯管外侧。

?1题图2－26

2—27．一个质量为50g的小球以速率20m?s作平面匀速圆周运动，在1/4周期内向心力给它的冲量是多大？

分析：画矢量图，利用动量定理求冲量。 解：由题图2—27可得向心力给物体的冲量大小：

I?2mv1?1.41N?S

题图2－27

19

2—28．自动步枪连续发射时，每分钟射出120发子弹，每发子弹的质量为7.90g，出口速率

735m?s?1，求射击时枪托对肩膀的平均冲力。

分析：由动量定理及牛顿定律求解。

解：由题意知枪每秒射出2发子弹，则由动量定理有：

2dtmv?0?F?dt

由牛顿第三定律有：枪托对肩膀的平均冲力 F?F??11.6N

2—29. 如图2-29所示，已知绳能承受的最大拉力为9.8N，小球的质量为0.5kg，绳长0.3m，水平冲量I等于多大时才能把绳子拉断（设小球原来静止）。 分析：由动量定理及牛顿第二定律求解。 解：由动量定理有： mv?0?I

①

②

L v2由牛顿第二定律有：F?mg?m

l

由①②带入数据得：I?0.857kg?m/s

I 题图2－29

2—30. 质量为M的木块静止在光滑的水平面桌面上，质量为m，速度为v0的子弹水平地射入木块，并陷在木块内与木块一起运动。求（1）子弹相对木块静止后，木块的速度和动量；（2）子弹相对木块静止后，子弹的动量；（3）在这个过程中，子弹施于木块的冲量。

分析：由木块、子弹为系统水平方向动量守恒，可求解木块的速度和动量。由动量定理求解子弹施于木块的冲量。

解：（1）由于系统在水平方向上不受外力，则由动量守恒定律有：

mv0?(m?M)v

所以木块的速度：v?mv0mv0，动量：Mv?M

m?Mm?Mm2v0（2）子弹的动量： mv?

m?M（3）对木块由动量定理有： I?Mv?Mmv0

m?M2—31．一件行李的质量为m，垂直地轻放在水平传送带上，传送带的速率为v，它与行李间的摩擦系数为?，（1）行李在传送带上滑动多长时间？（2）行李在这段时间内运动多远？ 分析：由动量定理求滑动时间，由牛顿定律、运动方程求出距离。 解：（1）对行李由动量定理有： ?mg?t?mv?0

得：?t?v ?g12at，2（2）行李在这段时间内运动的距离，由：?mg?ma，a??g，s? 20

11v22 s??g?t?22?g2—32．体重为p的人拿着重为Q的物体跳远，起跳仰角为?，初速度为v0，到达最高点该人将手中物体以水平向后的相对速度u抛出，问跳远成绩因此增加多少？

分析：以人和物体为一个系统，系统在水平方向上不受外力作用，因此系统在水平方向上动量守恒。动量守恒中涉及的速度都要相对同一参考系统。 解：在最高点由系统动量守恒定律有：

(P?Q)v0cos??Pv?Q(v?u) ①

增加成绩?s?(v?v0cos?)由①②可得：?s?v0sin? g②

vsin?Qu0 P?Qg2—33. 质量为m的一只狗，站在质量为M的一条静止在湖面的船上，船头垂直指向岸边，狗与岸边的距离为S0．这只狗向着湖岸在船上走过l的距离停下来，求这时狗离湖岸的距离S（忽略船与水的摩擦阻力）．

分析：以船和狗为一个系统，水平方向动量守恒。注意：动量守恒中涉及的速度都要相对同一参考系统。

解：设V为船对岸的速度，u为狗对船的速度，由于忽略船所受水的阻力，狗与船组成的系统水平方向动量守恒：

MV?m(V?u)?0 即： V??mu

M?mttmmudt?l 船走过的路程为： L??Vdt??M?mM?m00狗离岸的距离为： S?S0?(l?L)?S0????2-34．设F?7i?6j(N)。

?????（1）当一质点从原点运动到r??3i?4j?16k(m)时，求F所作的功；

??（2）如果质点到r处时需0.6s，试求F的平均功率；

（3）如果质点的质量为1kg，试求动能的变化。

Ml

M?m分析：由功、平均功率的定义及动能定理求解，注意：外力作的功为F所作的功与重力作的功之和。 解：（1）A=?r?????? =?(7i?6j)?(dxi?dyj?dzk)

00?r??F?dr

=?-307dx??6dy

04 21

??45J，做负功

A45??75W t0.6???r（3）?Ek?A???mgj?dr

（2）P?0 = -45+ = -85J

?40?mgdy

2—35．一辆卡车能沿着斜坡以15km?h?1的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切

tan??0.02，所受的阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，则卡车的

速率是多少？

分析：求出卡车沿斜坡方向受的牵引力，再求瞬时功率。注意：F、V同方向。 解：sin??tg??0.02，且f?0.04G 上坡时，F?f?Gsin??0.06G 下坡时，F??f－Gsin??0.02G 由于上坡和下坡时功率相同，故

? 题图2—35

p?Fv?F?v?

所以v??45km/h?12.5m/s

2—36．某物块质量为P，用一与墙垂直的压力N使其压紧在墙上，墙与物块间的滑动摩擦系数为?，试计算物块沿题图所示的不同路径：弦AB，圆弧AB，折线AOB由A移动到B时，重力和摩擦力作的功。已知圆弧半径为r。

分析：保守力作功与路径无关，非保守力作功与路径有关。 解：重力是保守力，而摩擦力是非保守力，其大小为f??N。 （1）物块沿弦AB由A移动到B时， 重力的功?pgh?pgr 摩擦力的功?f?AB?2?Nr （2）物块沿圆弧AB由A移动到B时， 重力的功?pgh?pgr

题图2—36 A O N B r 1AB???Nr 摩擦力的功?f??2（3）物块沿折线AOB由A移动到B时，

重力的功?pgh?pgr。摩擦力的功?f?AOB?2?Nr

2-37．求把水从面积为50m的地下室中抽到街道上来所需作的功。已知水深为1.5m，水面至街道的竖直距离为5m。

分析：由功的定义求解，先求元功再积分。

解：如图以地下室的O为原点，取X坐标轴向上为正，建立如图坐标轴。 选一体元dV?Sdx，则其质量为dm?pdV?pSdx。 把dm从地下室中抽到街道上来所需作的功为

2 22

题图2-37

dA?g(6.5?x)dm

故A?

2-38．质量为m的物体置于桌面上并与轻弹簧相连，最初m处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v0向右运动，弹簧的劲度系数为k，物体与支承面间的滑动摩擦系数为?，求物体能达到的最远距离。 分析：由能量守恒求解。

解：设物体能达到的最远距离为x(x?0) 根据能量守恒，有

?1.50dA??pSg(6.5?x)dx?4.23?106J

01.5?v0 m 1212mv0?kx??mgx 222mv02?mgx??0 即：x?kk2题图2-38 2?kv0解得x?1?22?1?

?k??mg??2—39．一质量为m、总长为l的匀质铁链，开始时有一半放在光滑的桌面上，而另一半下垂。

?mg??试求铁链滑离桌面边缘时重力所作的功。

分析：分段分析，对OA段取线元积分求功，对OB段为整体重力在中心求功。 解：建立如图坐标轴

选一线元dx，则其质量为dm?mdx。 l铁链滑离桌面边缘过程中，OA的重力作的功为

11A1??dA??g(l?x)dm?mgl

28OB的重力的功为

1l201l20111mg?l?mgl

题图2—39 2243故总功A?A1?A2?mgl

8??2-40．一辆小汽车，以v?vi的速度运动，受到的空气阻力近似与速率的平方成正比，??2?2?1F??Av2i，A为常数，且A?0.6N?s?m。（1）如小汽车以80km?h的恒定速率行驶1km，A2?求空气阻力所作的功；（2）问保持该速率,必须提供多大的功率？ 分析：由功的定义及瞬时功率求解。

???2??23解：（1）v?80ikm/h??10im/s,?r?1?10im

9???2222F??Avi?0.6?(?10)i故

9 23

??则A?F??r??300kJ (2)P?Fv?Av3?6584W

2-41．一沿x轴正方向的力作用在一质量为3.0kg的质点上。已知质点的运动方程为

（1）力在最初4.0s内作的功；x?3t?4t2?t3，这里x以m为单位，时间t以s为单位。试求：

（2）在t=1s时，力的瞬时功率。

分析：由速度、加速度定义、功能原理、牛顿第二定律求解。 解：(1)v(t)?dx?3?8t?3t2 dt则 v(4)?19m/s,v(0)?3m/s 由功能原理，有

A??Ek?1m?v(4)2?v(0)2????528J 2dxdv?3?8t?3t2,a(t)??6t?8 dtdt（2）v(t)?t?1s时，F?ma??6N,v??2m/s

则瞬时功率p?Fv?12W

2—42.以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，若铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm，问击第二次时能击入多深？(假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同。)

分析：根据功能原理，因铁锤两次打击铁釘时速度相同，所以两次阻力的功相等。注意：阻力是变力。

解：设铁钉进入木板内xcm时，木板对铁钉的阻力为

f?kx(k?0)

由于铁锤两次打击铁钉时的速度相同，故

?10fdx??fdx

1x所以，x?2。第二次时能击入(2?1)cm深。

2—43．从地面上以一定角度发射地球卫星，发射速度v0应为多大才能使卫星在距地心半径为r的圆轨道上运转？

分析：地面附近万有引力即为重力，卫星圆周运动时，万有引力提供的向心力，能量守恒。 解：设卫星在距地心半径为r的圆轨道上运转速度为v, 地球质量为M, 半径为Re,卫星质量为m.

根据能量守恒，有

12GMm12GMm mv0??mv?2Re2r又由卫星圆周运动的向心力为

GMmmv2FN?2?

rr

24

卫星在地面附近的万有引力即其重力，故

GMm?mg 2Re联立以上三式，得v0??1Re?2gRe?1?? 2r??2—44．一轻弹簧的劲度系数为k?100N?m?1，用手推一质量m?0.1kg的物体A把弹簧压缩到离平衡位置为x1?0.02m处，如图2-44所示。放手后，物体沿水平面移动距离x2?0.1m而停止，求物体与水平面间的滑动摩擦系数。 分析：系统机械能守恒。

解：物体沿水平面移动过程中，由于摩擦力做负功，

致使系统（物体与弹簧）的弹性势能全部转化为内能（摩擦生热）。 根据能量关系，有

12kx1??mgx2所以，??0.2 2

2—45．一质量m?0.8kg的物体A，自h?2m处落到弹簧上。当弹簧从原长向下压缩x0?0.2m时，物体再被弹回，试求弹簧弹回至下压0.1m时物体的速度。 分析：系统机械能守恒。

解：设弹簧下压0.1m时物体的速度为v。把物体和弹簧看作一个系统，整体系统机械能守恒，选弹簧从原长向下压缩x0的位置为重力势能的零点。

当弹簧从原长向下压缩x0?0.2m时，重力势能完全转化为弹性势能，即

题图2—44

题图2—45

12kx0 2当弹簧下压x?0.1m时， mg(h?x0)?mg(h?x0)?121kx?mg(x0?x)?mv2 22所以，v?3.1gm/s

2—46．长度为l的轻绳一端固定，一端系一质量为m的小球，绳的悬挂点正下方距悬挂点的距离为d处有一钉子。小球从水平位置无初速释放，欲使球在以钉子为中心的圆周上绕一圈，试证d至少为0.6l。

25

分析：分别考虑两个研究对象：闸瓦和杆。对象闸瓦对飞轮的摩擦力f对O点的力矩使飞轮逐渐停止转动，对飞由轮转动定律列方程，因摩擦系数是定值，则飞轮做匀角加速度运动，由转速求角加速度。对象杆受的合力矩为零。

解：设闸瓦对飞轮的压力为N，摩擦力为f，力矩为M， 飞轮半径为R,则依题意得，

M?fR?J? ① f??N?0.4N ② F?(0.5?0.75)?N?0.5 ③

J?mR2?60?0.252 ④

1000?2? ⑤

60?5解：①②③④⑤式得F?314N

??题图3-4

3-5 一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如题图3-5所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S．试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示)．

分析：隔离物体，分别画出轮和物体的受力图，由转动定律和牛顿第二定律及运动学方程求解。 解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T， 则根据牛顿运动定律和转动定律得：

r O mg?T?ma ①

Tr?J?  ②

由运动学关系有： a?r? ③ 由①、②、③式解得：J?m(g-a)r又根据已知条件 v0?0 ?2m a ④

题图3-5

??12SS?at2， a?2 ⑤

t22 r T a gt2?1) 将⑤式代入④式得： J?mr(2S

T mg 题图3-5

3-6 一轴承光滑的定滑轮，质量为M?2.00kg,半径为R?0.100m,一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m?5.00kg,的物体，如题图3-6所示．已知定滑轮

1MR2，其初角速度 ?0?10.0rad/s,方向垂直纸面向里．求：(1) 定滑轮2的角加速度的大小和方向； (2) 定滑轮的角速度变化到??0时，物体上升的高度；(3) 当物

的转动惯量为J?体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向

分析：隔离体受力分析，对平动物体由牛顿第二定律列方程， 对定轴转动物体由转动定律列方程。 解：(1) ∵ mg?T?ma

31

TR?J? a?R? ∴ ?? R M ?0 mgRmgR2mg2 ???81.7rad/s21mR?JmR2?MR2?2m?M?R2方向垂直纸面向外

2 (2) ∵ ?2??0?2??

2?0当??0 时， ???0.612 rad

2?m 题图3-6 物体上升的高度h?R??6.12?10?2 m (3) ??2???10.0rad/s 方向垂直纸面向外.

3-7 如题图3-7所示，质量为m的物体与绕在质量为M的定滑轮上的轻绳相连，设定滑轮质量M=2m，半径R，转轴光滑，设t?0时v?0，求：（1）下落速度?与时间t的关系；（2）t?4s时,m下落的距离；（3）绳中的张力T。

分析：对质量为m物体应用牛顿第二定律、对滑轮应用刚体定轴转动定律列方程。 解：(1)设物体m与滑轮间的拉力大小为T，则

图3-6

T mg T a mg?T?ma ①

M?TR?J??1MR2? ② 2a?R? ③

v?at ④

解：①②③式得a?4.9m/s，并代入④式得v?4.9t （2）设物体下落的距离为s，则

2题图3-7

121at??4.9?42?39.2m 22（3）由（1）的②式得，T?mg?ma?4.9N s?3-8 如题图3-8所示，一个组合滑轮由两个匀质的圆盘固接而成，大盘质量M1?10kg，半径

R?0.10m，小盘质量M2?4kg，半径r?0.05m。两盘边缘上分别绕有细绳，细绳的下端

各悬质量m1?m2?2kg的物体，此物体由静止释放，求：两物体m1,m2的加速度大小及方向。 分析：分别对物体m1,m2应用牛顿第二定律，对滑轮应用刚体定轴转动定律 解：设物体m1,m2的加速度大小分别为a1,a2,与滑轮的拉力分别为T1,T2,

32

T1?m1g?m1a1 ①

m2g?T2?m2a2 ② a1?r? ③ a2?R?

④

M?T2R?T1r?J? ⑤

J?11M1R2?M2r2 22⑥

题图3-8

把数据代入，解上述各式得

a1?0.6125m/s2 方向向上

a2?1.225m/s2 方向向下

3-9 如题图3-9所示，一倾角为30°的光滑斜面固定在水平面上，其上装有一个定滑轮，若一根轻绳跨过它，两端分别与质量都为m的物体1和物体2相连。 （1）若不考虑滑轮的质量，求物体1的加速度。

2（2）若滑轮半径为r，其转动惯量可用m和r表示为J?kmr（k是已知常量），绳子与滑轮

之间无相对滑动，再求物体1的加速度。

分析：（1）对两物体分别应用牛顿第二定律列方程。

（2）两物体分别应用牛顿第二定律、对滑轮应用刚体定轴转动定律列方程。 解：设物体1、物体2与滑轮间的拉力分别为T1、T2它们对地的加速度为a。

（1）若不考虑滑轮的质量，则物体1、物体2与滑轮间的拉力T1、T2相等，记为T。则对1、2两物体分别应用牛顿第二定律得，

mg?T?maT?mgsin30?ma0

解上两式得：a?g/4m/s2，方向竖直向下。 （2）若考虑滑轮的质量，则物体1、物体2与滑轮间的 拉力T1、T2不相等。则对1、2两物体分别应用牛顿第 二定律，和对滑轮应用刚体定轴转动定律得

题图3-9

mg?T1?ma

a?r? ③

①

T2?mgsin300?ma ②

M?T1r?T2r?J? ④

J?kmr2 ⑤

解上述各式得：a?gm/s2，方向竖直向下。

2(2?k)3-10一飞轮直径为0.3m，质量为5.0kg，边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀地绕中心轴加速，经 0.5s转速达每秒10转，假定飞轮可看作实心圆柱体，求：（1）飞轮

33

的角加速度及在这段时间内转过的转数；（2）拉力及拉力所作的功；（3）从拉动后t?10s时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。

分析：利用转动定律，力矩作的功定义，线量与角量的关系求解。 解：（1）角加速度为：??转过的角度为：??转过的圈数为：N??t?10?2??1.26?102rad/s2 0.5121?t??1.26?102?0.52?15.7rad 22??2.5圈 2?（2）由转动定律M?fR?J?得

J?0.5?5?0.152?1.26?102f???47.1N

R0.15力矩做的功为：A???0Md??M??47.1?0.15?15.7?111J

（3）角速度为：???t?1.26?102?10?1.26?103rad/s 边缘一点的线速度为：v?R??0.15?1.26?103?1.88?102m/s 边缘一点的法向加速度为：an?R?2?0.15?1.262?106?2.37?105m/s2 边缘一点的切向加速度为：a??R??0.15?1.26?102?18.84m/s2

3-11 一质量为M，长为l的匀质细杆，一端固接一质量为m的小球，可绕杆的另一端O无摩擦地在竖直平面内转动，现将小球从水平位置A向下抛射，使球恰好通过最高点C，如题图3-11所示。求：（1）下抛初速度v0；（2）在最低点B时，细杆对球的作用力。 分析：由机械能守恒定律、牛顿第二定律、角线量关系求解。 解：（1）如图3-11，取向下抛点作势能零点，由机械能守恒定律得，

121lmv0?J?2?Mg?mgl ① 22212J=Ml ② 3

v0?l? ③

解①②③得，v0?(3M?6m)gl

3m?M题图3-11

（2）取最低点作势能零点，

由机械能守恒定律和牛顿第二定律得，

121mv?J?2?Mgl?2mgl 22 ①

v2N?mg?m ②

lv?l? ③

34

1J?Ml2 ④

315m?7Mmg

3m?M????????13-12 物体质量为3kg,t?0时位于r?4im,??i?6jm?s，如一恒力f?5jN作用在物

解：①②③④得，N?体上，求3s后，（1）物体动量的变化；（2）相对z轴角动量的变化。

??分析：写出r(t)的表达式及力f对Z轴的力矩M。由动量定理、角动量定理求解。

解：（1）由动量定理得，动量的增量为：

??t?3??P??f?dt??5j?dt?15jkg?m?s?1

00（2）由角动量定理得，角动量的增量为：

?t?3??L??M?dt??M?dt ①

t00???而M?r(t)?f ②

????12?52??r(t)?x(t)i?y(t)j?(x0?vx0t)i?(y0?vy0t?at)j?(4?t)i?(6t?t)j ③

26??f?5j ④

??把③④代入②解得：M?(20?5t)k ⑤

???3?32?1把⑤代入①解得：?L??M?dt??(20?5t)k?dt?82.5kkg?m?s

003-13 水平面内有一静止的长为L、质量为m的细棒，可绕通过棒一末端的固定点在水平面内转动。今有一质量为出时速率减为

1m、速率为v的子弹在水平面内沿棒的垂直方向射向棒的中点，子弹穿21v，当棒转动后，设棒上单位长度受到的阻力正比于该点的速率（比例系数为k）212试求：（1）子弹穿出时，棒的角速度?0为多少？（2）当棒以?转动时，受到的阻力矩Mf为多大？（3）棒从?0变为?0时，经历的时间为多少？

分析：把子弹与棒看作一个系统，子弹击穿棒的过程中，转轴处的作用力的力矩为零，所以击穿前后系统角动量守恒，可求待击穿瞬间棒的角速度。棒转动过程中，对棒划微元计算元阻力矩，积分可得总阻力矩，应用转动定律或角动量定理可求得所需时间。

解：（1）以子弹和棒组成的系统为研究对象。取子弹和棒碰撞中间的任一状态分析受力，子弹与棒之间的碰撞力f、f'是内力。一对相互作用力对同一转轴来说，其力矩之和为零。因此，可以认为棒和子弹组成的系统对转轴的合外力矩为零，则系统对转轴的角动量守恒。

mvLmvL?????J?022222

12J?mL3 35

3v 8L（2）设在离转轴距离为l得取一微元dl，则该微元所受的阻力为： df?kvdl?kl?dl

解上述两式得：?0?该微元所受的阻力对转轴的力矩为：

dMf?ldf?k?l2dl

则细棒所受到的总阻力矩为：

LL1Mf??dMf??k?l2dl?k?L3

003（3）由刚体定轴转动定律得，

d?1?k?L3 dt3d?13?kLdt 即上式可化为：?J?3Mf?J???J对上式两边分别积分得：?J解上式积分得：t?把J????020d????13kLdt 03t3Jln2 3kL12mln2mL代入上式得：t?

kL33-14两滑冰运动员，质量分别为MA?70kg，MB?80kg，它们的速率?A?7m?s?1,，

?B?8m?s?1在相距1.5m的两平行线上相向而行，当两人最接近时，便拉起手来，开始绕质心

作圆周运动并保持两人间的距离1.5m不变。求：（1）系统总的角动量；（2）系统一起绕质心旋转的角速度；（3）两人拉手前后的总动能，这一过程中机械能是否守恒，为什么？ 分析：利用系统质心公式，两人组成系统前后角动量守恒和动能公式求解。 解：（1）设两人相距最近时以运动员A作原点，由质心公式得，两运动员的质心为：

x?MAxA?MBxB70?0?80?1.5??0.8m

MA?MB70?80两人组成的系统对质心的总的角动量为：

L?MAvAx?MBvB(1.5?x)?70?7?0.8?80?8?(1.5?0.8)?840kg?m2?s?1

（2）两人拉手过程中，所受力对质心转轴的力矩之和为零，则两人组成系统前后角动量守恒。

22?L?J???Mx?M(1.5?x)AB???即:840=(70?0.8+80?0.7)?解上式得：??10rad/s （3）两人拉手前的动能为：

22

36

EK0?111122MAvA?MBvB??70?72??80?82?4275J 2222两人拉手后的动能为：

EK?11J?2??(70?0.82?80?0.72)?102?4200J 22因此，系统前后的机械能不守恒。我们可以把两人拉手的过程看作完全非弹性碰撞，因此系统前后机械能不守恒。

3-15 如题图3-15所示，一长为2l、质量为M的匀质细棒，可绕棒中点的水平轴O在竖直面内转动，开始时棒静止在水平位置，一质量为m的小球以速度u垂直下落在棒的端点，设小球与棒作弹性碰撞，求碰撞后小球的反弹速度v及棒转动的角速度?各为多少？

分析：以小球和棒组成的系统为研究对象。取小球和棒碰撞中间的任一状态分析受力，棒受的重力Mg和轴对棒的支撑力N对O轴的力矩均为零。小球虽受重力mg作用，但比起碰撞时小球与棒之间的碰撞力f、f'而言，可以忽略不计。又f、f'是内力，一对相互作用力对同一转轴来说，其力矩之和为零。因此，可以认为棒和小球组成的系统对O轴的合外力矩为零，则系统对O轴的角动量守恒。

解：取垂直纸面向里为角动量L正向，则系统初态角动量为mul，终态角动量为J?（小棒）和?mvl（小球），有角动量守恒定律得

mul?J??mvl ①

因为弹性碰撞，系统机械能守恒，可得

111mu2?mv2?J?2 ② 22211M(2l)2?Ml2 ③ 又J?123联立式①，②，③解得

题图3-15

M?3muM?3m

6mu??(M?3m)lv?3-16 一长为L、质量为m的匀质细棒，如题图3-16所示，可绕水平轴O在竖直面内旋转，若轴光滑，今使棒从水平位置自由下摆。求：（1）在水平位置和竖直位置棒的角加速度?；（2）棒转过?角时的角速度。

分析：由转动定律求角加速度，由在转动过程中机械能守恒求角速度。 解：（1）有刚体定轴转动定律M?J?得，

LM2?3g ?细棒在水平位置的角加速度为：??122LJmL3mg 37

题图3-16

细棒在竖直位置的角加速度为：??M0??0 12JmL3（2）细棒在转动的过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得，

L1sin??J?222

12又J?mL3mg解上述两式得：??3gsin? l3-17 弹簧、定滑轮和物体如题图3-17所示放置，弹簧劲度系数k为2.0N?m?1；物体的质量

m为6.0kg。滑轮和轻绳间无相对滑动，开始时用手托住物体，弹簧无伸长。求：

（1）若不考虑滑轮的转动惯量，手移开后，弹簧伸长多少时，物体处于受力平衡状态及此时弹簧的弹性势能；

（2）设定滑轮的转动惯量为0.5kg?m2，半径r为0.3m，手移开后，物体下落0.4m时，它的速度为多大？

分析：（1）不考虑滑轮的转动惯量，由物体受力平衡求伸长量x， 再求弹性势能。

（2）若考虑滑轮的转动惯量，则弹簧、滑轮、物体和地球 组成的系统机械能守恒

解：（1）若不考虑滑轮的转动惯量，设弹簧伸长了x距离 时物体处于受力平衡状态， 则：mg?kx

题图3-17

x?mg6?g??3g(m) k2121kx??2?(3g)2?9g2J 22此时弹簧的弹性势能为：Ep?（2）若考虑滑轮得转动惯量，设物体下落的距离为h时，它的速度为v，滑轮的角速度为?，则由机械能守恒定律得，

111mgh?mv2?J?2?kh2 222v?r?把数据代入上述两式得，

1116?10?0.4??6?v2??0.5??2??2?0.4 222v?0.3??解上述两式得：v?2.0m/s

3-18一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为?0．设它所受阻力矩与转动角速

38

度成正比，即M??k?(k为正的常数)，求圆盘的角速度从?0变为?0时所需的时间． 分析：由转动定律及角加速度的定义，对角速度积分可求解。 解：根据转动定律：

12M?J?

Jd???k? dtd????kdt J∴ 两边积分：

?得 t?(Jln2)k

0???021d????t0kdt J3-19 质量为m的子弹，以速度v0水平射入放在光滑水平面上质量为m0、半径为R的圆盘边缘，并留在该处，v0的方向与射入处的半径垂直，圆盘盘心有一竖直的光滑固定轴，如所示，试求子弹射入后圆盘的角速度?。

分析：在子弹射入圆盘的过程中，子弹和圆盘组成的系统对转轴的角动量和力矩为零，因此对转轴的角动量守恒。

解：设子弹射入后圆盘的角速度为?，则由角动量守恒定律得，

1mv0R?(mR2?m0R2)?

2解上式得：??

3-20一均质细杆，长L?1m，可绕通过一端的水平光滑轴O在铅垂面内自由转动，如题图3-20所示。开始时杆处于铅垂位置，今有一子弹沿水平方向以v?10m?s?1的速度射入细杆。设入射点离O点的距离为

题图3-19

2mv0

2mR?m0R13L ，子弹的质量为细杆质量的。试求：（1）子弹和细杆开始共同运动的

94角速度。（2）子弹和细杆共同摆动能到达的最大角度。

分析：子弹射入细杆过程中，子弹和细杆组成的系统角动量守恒；细杆摆动时，机械能守恒。 解（1）子弹打进杆的过程中子弹和杆组成的系统角动量守恒， 设子弹开始时的角速度为?0，弹和杆一起共同运动的角速度 为?，则由角动量守恒定律得:

39

J子?0?(J子?J杆)? ①

又J子?m3L2m2()?L ② 94163L4④

LO 1J杆＝mL2 ③

3?0?v1040 ??333L?144把②③④式代入①式并解得：??40rad/s ⑤ 19?v 题图3-20

（2）设子弹与杆共同摆动能达到最大角度为?角， 在摆动的过程中杆和子弹及地球组成的系统机械能守恒， 则由机械能守恒定律得，

1mg3311(J子?J杆)?2?(L?Lcos?)?mg(L?Lcos?) ⑥ 294422把②③⑤式及g?10，L=1代入⑥式解得：cos??0.8496

40

。即??0.56rad

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