2013年高考文科数学上海卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(上海卷)

一、填空题(本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

x1．不等式＜0的解为______．

2x?12．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝30，则a2＋a3＝______.

3．设m?R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝______.

x 2x y1 1＝0，1 1＝1，则y＝______.

4．已知

5．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2＋ab＋b2－c2＝0，则角C的大小是______． 6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为______．

7．设常数a?R.若(x?8．方程

2a5)的二项展开式中x7项的系数为－10，则a＝______. x9?1＝3x的实数解为______． x3?119．若cosxcosy＋sinxsiny＝，则cos(2x－2y)＝______.

310．已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小为

?l，则＝______.

r611．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数

的概率是______(结果用最简分数表示)．

12．设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA＝间的距离为______．

?.若AB＝4，BC＝2，则Γ的两个焦点之4a213．设常数a＞0.若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围为______．

x14．已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1、a2、a3；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为c1、c2、c3.若i，j，k，l?{1,2,3}且i≠j，k≠l，则(ai＋aj)2(ck＋cl)的最小值是______．

二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．函数f(x)＝x－1(x≥0)的反函数为f(x)，则f(2)的值是( )

A．3 B．?3 C．1+2 D．1?2 16．设常数a?R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}．若A∪B＝R，则a的取值范围为( )

A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)

17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的( )

A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

2

－1

－1

x2ny2?18．记椭圆＝1围成的区域(含边界)为Ωn(n＝1，2，?)，当点(x，y)分别在Ω1，Ω2，?上44n?1时，x＋y的最大值分别是M1，M2，?，则limMn＝( )

n??1A．0 B．4 ` C．2 D．22 三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．如图，正三棱锥O－ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．

2013 上海文科数学 第1页

20．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每一小时可获得的利润是

3100(5x?1?)元．

x(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5?13?)元； xx2(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

21．已知函数f(x)＝2sin(ωx)，其中常数ω＞0. (1)令ω＝1，判断函数F(x)＝f(x)＋f(x?(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图像向左平移

?2)的奇偶性，并说明理由；

?个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图像．对6任意a?R，求y＝g(x)在区间[a，a＋10π]上零点个数的所有可能值．

2013 上海文科数学 第2页

22．已知函数f(x)＝2－|x|，无穷数列{an}满足an＋1＝f(an)，n?N. (1)若a1＝0，求a2，a3，a4；

(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；

(3)是否存在a1，使得a1，a2，?，an，?成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．

*

x22

23．如图，已知双曲线C1：－y＝1，曲线C2：|y|＝|x|＋1.P是平面内一点，若存在过点P的直线与

2C1、C2都有公共点，则称P为“C1－C2型点”． (1)在正确证明C1的左焦点是“C1C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程

(不要求验证)；

(2)设直线y＝kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1－C2型点”； (3)求证：圆x＋y＝

2

2

1内的点都不是“C1－C2型点”． 22013 上海文科数学 第3页

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(上海卷)

一、填空题(本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

111．答案：0＜x＜ x(2x－1)＜0?x?(0，)．

222．答案：15 a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝30?a2＋a3＝15.

2?m?m?2?0?22

3．答案：－2 m＋m－2＋(m－1)i是纯虚数??2?m＝－2.

??m?1?0x 2x y4．答案：1 已知＝x－2＝0?x＝2，又＝x－y＝1 联立上式，解得x＝2，y＝1.

1 11 12?a2?b2?c2?12222

??C??. 5．答案： a＋ab＋b－c＝0?cosC＝

32ab234060?75??80＝78. 6．答案：78 平均成绩＝100100a572r25?yar7．答案：－2 (x?)?C5(x)()＝－10x?r＝1，C15a＝－10?5a＝－10，a＝－2

xx99xxxxx8．答案：log34 x＋1＝3?x＝3－1?3－1＝±3?3＝±3＋1＞0?3＝4?x＝log34.

3?13?17172

9．答案：? cosxcosy＋sinxsiny＝cos(x－y)＝?cos2(x－y)＝2cos(x－y)－1＝?.

939l?r310答案：3 由题知，tan????3. r6l3511．答案： 考查排列组合；概率计算策略：正难则反。从4个奇数和3个偶数共7个数中任取2个，

72共有C7＝21个，

2个数之积为奇数?2个数分别为奇数，共有C24＝6个．

65C24?. 所以2个数之积为偶数的概率P＝1－2＝1－

217C746 如下图所示．设D在AB上，且CD⊥AB，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝45°?CD＝1，DB3＝1，AD＝3?C(1,1)?2a＝4，把C(1,1)代入椭圆标准方程得1148422222

?6. ＝1，a＝b＋cb＝，c＝2c＝??22ab333113．答案：[，＋∞) 考查均值不等式的应用．

512．答案：a2a2由题知，当x＞0时，f(x)＝9x＋≥29x?＝6a≥a＋

xx11?a≥.

514．答案：－5 根据对称性，当向量(ai＋aj)与(ck＋cl)互为相反向量，且它们的模最大时，(ai＋aj)(ck????????????????2

＋cl)最小。这时ai＝AC，aj＝AD，ck＝CA，cl＝CB，(ai＋aj)(ck＋cl)＝－|ai＋aj|＝－5.

二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15

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答案：A 由反函数的定义可知，x≥0,2＝f(x)＝x－1?x＝3，选A. 16．

答案：B 方法一：代值排除法。当a＝1时，A＝R，符合题意；当a＝2时，∵B＝[1，＋∞)，A＝(－∞，1]∪[2，＋∞)∴A∪B＝R，符合题意． 综上，选B.

方法二： ∵B＝[a－1，＋∞)，A∪B＝R，∴A?(－∞，a－1)．

由(x－1)(x－a)≥0?当a＝1时，x?R，当a＝1时符合题意；当a＞1时x?(－∞，1]∪[a，＋∞)， ?1≥a－1，解得1＜a≤2；当a＜1时x?(－∞，a]∪[1，＋∞)?a≥a－1?a＜1.综上，a≤2，选B. 17．

答案：A 便宜没好货?便宜则不是好货?好货则不便宜，所以“好货”是“不便宜”的充分条件，选A. 18．

2

x2ny2x2y2x2y2??1?lim????1， 答案：D 椭圆方程为：

n??41444n?144?n?x2y2?1??联立?4?x2＋(u－x)2＝4?2x2－2ux＋u2－4＝0?Δ＝4u2－8(u2－4)≥0?u2－2(u2－4?n?x?y?4)≥0?8≤u?u?[?22，22]，所以x＋y的最大值为22，选D.

三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．解：由已知条件可知，正三棱锥O－ABC 的底面△ABC是边长为2的正三角形，

2

经计算得底面△ABC的面积为3. 所以该三棱锥的体积为?3?1?133. 3设O′是正三角形ABC的中心．

由正三棱锥的性质可知，OO′垂直于平面ABC.

3. 323又因为OO′＝1，所以正三棱锥的斜高OD＝. 3123故侧面积为363＝23. 23所以该三棱锥的表面积为3＋23＝33，

延长AO′交BC于D，得AD＝3，O?D＝因此，所求三棱锥的体积为20．

解：(1)生产a千克该产品，所用的时间是所获得的利润为100(5x?1?)?3，表面积为33. 3a小时， x3xa. x13?2)元． xx13(2)生产900千克该产品，获得的利润为90000(5??2)，1≤x≤10.

xx所以，生产a千克该产品所获得的利润为100a(5?2013 上海文科数学 第5页

31?＋5,1≤x≤10， x2x1121?5，当且仅当x＝6时取到最大值． 则f(x)＝?3(?)?x61261获得最大利润90 0003＝457 500元．

12记f(x)＝?因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457 500元． 21．

解：(1)f(x)＝2sinx，

F(x)＝f(x)＋f(x??)＝2sinx＋2sin(x?)＝2(sinx＋cosx)． 22?F()＝22，F(?)＝0，F(?)≠F()，F(?)≠－?F()．

444444所以，F(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2)f(x)＝2sin2x， 将y＝f(x)的图像向左平移＝2sin2(x?????????个单位，再向上平移1个单位后得到y＝2sin2(x?)＋1的图像，所以g(x)

66?6)＋1.

5?3?或x＝kπ＋(k?Z)． 124令g(x)＝0，得x＝kπ＋

因为[a，a＋10π]恰含10个周期，所以，

当a是零点时，在[a，a＋10π]上零点个数为21；

当a不是零点时，a＋kπ(k?Z)也都不是零点，区间[a＋kπ，a＋(k＋1)π]上恰有两个零点，故在[a，a＋10π]上有20个零点．

综上，y＝g(x)在[a，a＋10π]上零点个数的所有可能值为21或20.

22．

解：(1)a2＝2，a3＝0，a4＝2.

(2)a2＝2－|a1|＝2－a1，a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|.

①当0＜a1≤2时，a3＝2－(2－a1)＝a1，所以a12＝(2－a1)，得a1＝1.

2

②当a1＞2时，a3＝2－(a1－2)＝4－a1，所以a1(4－a1)＝(2－a1)， 得a1＝2?2(舍去)或a1＝2?2. 综合①②得a1＝1或a1＝2?2. (3)假设这样的等差数列存在，那么a2＝2－|a1|，a3＝2－|2－|a1||. 由2a2＝a1＋a3得2－a1＋|2－|a1||＝2|a1| (*)． 以下分情况讨论：

①当a1＞2时，由(*)得a1＝0，与a1＞2矛盾；

②当0＜a1≤2时，由(*)得a1＝1，从而an＝1(n＝1,2，?)， 所以{an}是一个等差数列；

③当a1≤0时，则公差d＝a2－a1＝(a1＋2)－a1＝2＞0，因此存在m≥2使得am＝a1＋2(m－1)＞2.此时d＝am＋1－am＝2－|am|－am＜0，矛盾．

综合①②③可知，当且仅当a1＝1时，a1，a2，a3，?构成等差数列． 23．

解：(1)C1的左焦点为(?3，0)，写出的直线方程可以是以下形式：

2

x＝?3或y＝k(k?3)，其中|k|≥(2)因为直线y＝kx与C2有公共点，

3. 32013 上海文科数学 第6页

?y?kx,所以方程组?有实数解，

|y|?|x|?1?|x|?1因此|kx|＝|x|＋1，得|k|＝?1.

|x|若原点是“C1－C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点． 考虑过原点与C2有公共点的直线x＝0或y＝kx(|k|＞1)． 显然直线x＝0与C1无公共点．

?y?kx,?如果直线为y＝kx(|k|＞1)，则由方程组?x2 2??y?1?222

得x＝＜0，矛盾．

1?2k2所以直线y＝kx(|k|＞1)与C1也无公共点． 因此原点不是“C1－C2型点”． (3)记圆O：x＋y＝

2

2

1，取圆O内的一点Q.设有经过Q的直线l与C1、C2都有公共点．显然l不垂直于x2轴，故可设l：y＝kx＋b.

若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y＝x±1与y＝－x±1之间，因此圆O也夹在直线y＝kx±1与y＝－kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1.

?y?kx?b,?因为l与C1有公共点，所以方程组?x2有实数解， 2??y?1?2得(1－2k)x－4kbx－2b－2＝0.

2

因为|k|＞1，所以1－2k≠0，

22222

因此Δ＝(4kb)－4(1－2k)(－2b－2)＝8(b＋1－2k)≥0，

22

即b≥2k－1.

因为圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d＝2

2

2

|b|1?k2，

1b21?k2222

所以＝d＜，从而＞b≥2k－1， 221?k2得k＜1，与|k|＞1矛盾． 因此，圆x＋y＝

2

2

2

1内的点都不是“C1－C2型点”． 22013 上海文科数学 第7页

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