广东省惠州市2016届高三第三次调研考试数学(文)试题资料

数学试题（文科） 第 1 页（共 12 页） 惠州市2016届高三第三次调研考试

数 学（文科）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数321

i z i i =+-（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） （A ）12i + （B ）1i - （C ）1i - （D ）12i -

（2）已知集合{}1,0=A ，{}

A y A x y x z z

B ∈∈+==,,，则B 的子集．．

个数为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）7 （D ）8

（3）已知2.12=a ，8.021-??? ??=b ，2log 25=c ，则c b a ,,的大小关系为（ ）

（A ）a b c << （B ）b a c << （C ） c a b << （D ）a c b <<

（4）已知向量()1,3a =，()3,b m =，若向量b 在a 方向上的投影为3，则实数m ＝（ ） （A ）3 （B ）3- （

C （D

）-

（5）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且65101=-+a a a ，则11S =（ ）

（A ）55 （B ）66 （C ）110 （D ）132

（6）已知34cos sin =+θθ)4

0(πθ<<，则θθcos sin -的值为（ ） （A ）32 （B ）3

2- （C ）31 （D ）31- （7）已知圆O ：224x y +=上到直线:l x y a +=的距离等于1的点恰有3个，则实数a 的值为（ ）

（

A ） （B

（

C ）

（

D ）-

或

数学试题（文科） 第 2 页（共 12 页）

（8）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）

（A ）1007 （B ）2015 （C ）2016 （D ）3024 （9）已知双曲线12

2

=-

m

y

x 与抛物线x y 82=的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5=PF ，则双曲线的渐近线方程为（ ）

（A ）03=±y x （B ）03=±y x （C ）02=±y x （D ） 02=±y x （10）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2

(1)4n n S a n

++

=，则n a =（ ） （A ）2n n （B ）12n n - （C ）2n

n （D ）12

n n -

（11）某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，

则该几何体的表面积为（ ） （A ）π42616++ （B ）π32616++ （C ）π42610++ （D ）π32610++

（12）如图，偶函数()x f 的图象如字母M ，奇函数()x g 的图象如字母N ，

若方程()()0=x g f ，()()0=x f g 的实根个数分别为m 、n ，则m n +=（ ）

（A ）18 （B ）16 （C ）14 （D ）12

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。 （13）若点(),27a 在函数3

x y =的图象上，则a

π

tan

的值为 ．

（14）已知0,0,236a b a b >>+=，则

32

a b

+的最小值为 ． （15）某校有,A B 两个文学社团，若,,a b c 三名学生各自随机选择参加其中的一个社团，则三人不在同一个社

团的概率为 ．

（16）已知三棱锥S ABC -所在顶点都在球O 的球面上，且SC ⊥平面ABC ，若1SC AB AC ===，

120BAC ∠=?，则球O 的表面积为 ．

俯视图

数学试题（文科） 第 3 页（共 12 页）

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）如图所示，在四边形ABCD 中， D ∠=2B ∠，且1AD =，3CD =

，cos B =

． （Ⅰ）求△ACD 的面积；

AB 的长．

（18）（本小题满分12分）

微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性使用微信的时间分成5组：(]2,0，

(]4,2，(]6,4，(]8,6，(]10,8分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）根据女性频率直方图估计女性使用微信的平均时间；

（Ⅱ）若每天玩微信超过4小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，

请你根据已知条件完成22?的列联表，并判断是否有90﹪的把握认为“微信控”与“性别”有关？

，其中n a b c d =+++．

参考数据：

A

B

C

D

数学试题（文科） 第 4 页（共 12 页） （19）（本小题满分12分）

如图，已知等腰梯形ABCD 中，1//,2,2AD BC AB AD BC E ==

=是BC 的中点，AE BD M =,将BAE ?沿着AE 翻折成1B AE ?．

（Ⅰ）求证：CD ⊥平面1B DM ； （Ⅱ）若101=C B ，求棱锥1B CDE -的体积．

（20）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

的离心率为3

，以原点O 为圆心，椭圆C 的

长半轴为半径的圆与直线260x +=相切．

（Ⅰ）求椭圆C 标准方程；

（Ⅱ）已知点,A B 为动直线(2)(0)y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使

?为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．

（21）（本小题满分12分）

函数()()()0ln 12

12≥++-=a x x a ax x f . （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；

（Ⅱ）当0=a 时，方程()mx x f =在区间21,e ????内有唯一实数解， 求实数m 的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，正方形ABCD 的边长为2，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧

与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连结CF 并延长交AB 于点E ．

（Ⅰ）求证：AE EB =；（Ⅱ）求EF FC ?的值．

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C 的参数方程是???+=+=θ

θsin 2cos 1y x （θ为参数），直线l 的极坐标方程为24sin =??? ??+πθρ．（其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合，极轴与直角坐标系x 轴正半轴重合，单位长度相同。）

（Ⅰ）将曲线C 的参数方程化为普通方程，把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设M 是直线l 与x 轴的交点，N 是曲线C 上一动点，求||MN 的最大值.

A

B D

C E M A M 1B

D

E C

24．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数122)(--+=x x x f ． （Ⅰ）求不等式2)(-≥x f 的解集；

（Ⅱ）对任意[)+∞∈,a x ，都有)(x f a x -≤成立，求实数a 的取值范围。

数学试题（文科） 第 6 页（共 12 页）

惠州市2016届第三次调研考试文数命题细目表

惠州市2016届高三第三次调研考试 文科数学参考答案：

一、选择题（每小题5分，满分60分）

1.【解析】322(1)1121(1)(1)

i i i z i i i i i i i i +=

+=-=-+-=---+，其共轭复数为12i +，选A . 2.

【解析】由题意可知，集合{}

{}2,1,0,,=∈∈+==A y A x y x z z B ，故选D.

3. 【解析】2x

y =在R 上是增函数，021a b ∴>>=，再由5552log 2log 4log 51,c ==<=a b c ∴>>，故选A.

4. 【解析】由

333,||a b m

a +==解得m = C. 5. 【解析】由65101=-+a a a 得：66=a ，()662

1111111=+=a a S ，选B ．

6.【解析】34cos sin =

+θθ)40(πθ<<，所以两边平方可得：1612sin cos 9θθ+?=，即7sin cos 18

θθ?=，所以2

72(sin cos =12sin cos =1=99

θθθθ---），又因为04πθ<<，所以sin cos θθ<，所以sin cos 0θθ-<，

数学试题（文科） 第 7 页（共 12 页）

所以sin cos 3

θθ-=，故应选B ． 7.【解析】由圆的方程可知圆心为()0,0，半径为2，由题意知圆心到直线l 的距离=1d ，

即d ==

，解得=a ±C 正确．

8.【解析】S=3024，故选D ．

9. 【解析】设()00,y x P ，根据抛物线的焦半径公式：522

00=+=+=x p x PF ，所以30=x ，2420=y ，代入双曲线的方程，2491m -=，解得：3=m ，所以，双曲线方程是13

2

2=-y x ，渐近线方程是x y 3±=, 选B.

10.【解析】(2)4n n n a S n

++= ①，当2n ≥时11(1)41n n n a S n --++=- ② ①-② 并整理得：12(1)n n a n a n -=-，所以有1212(2)n n a n a n ---=-，…，21221

a a =?， 所以121112

11212(1)2(2)212n n n n n n a a a n n n a a a a a n n -----=

????=????=--?，当1n =时，适合此式，所以12

n n n a -

=，选D. 11.【解析】根据三视图可知，该几何体由两部分构成，底部为圆柱的一半，底面半径为1，高为3，上部为三棱柱，底面是直角边为2的等腰直角三角形，高为3，所以上部分几何体的表面积为1=222+232+

22

S ?????上（）（）（3），下部分几何体的表面积为21=1+=42

S πππ????下（）（213），所以该几何体的表面积为104π+,选C ． 12. 【解析】由图象知，()0=x f 有3个根0，,,(2,1),(1,2)a b a b ∈--∈，()0=x g 有3个根0，,,(1,0),(0,1)c d c d ∈-∈，由()()0=x g f ，得()0=x g 或,a b ，由图象可知()x g 所对每一个值都能有3个根，因而m=9；由()()0=x f g ，知()0=x f 或,c d ，由图象可以看出0时对应有3个根，d 时有4个，c 时只有2个，加在一起也是9个，即n=9，∴m+n=9+9=18，故选A ．

13. 【答案】3

【解析】把点（a ，27）代入3x y =得，a=3，所以33tan tan

==ππa

14. 【答案】4 【解析】32a b +232332242323a b a b b a a b a b ++=+=++≥，当且仅当b

a a

b 3223=即a=1.5，b=1时取等号．

数学试题（文科） 第 8 页（共 12 页）

15. 【答案】34

【解析】,,a b c 三名学生选择社团的结果有：(A,A,A),(A,A,B),(A,B,A),(B,A,A),(A,B,B),

(B,A,B),(B,B,A),(B,B,B)，共8个等可能性的基本事件，三人在同一个社团的结果有：(A,A,A),(B,B,B)，共两个，所以“三人在同一个社团”的概率为2184=，而“三人不在同一个社团”与“三人在同一个社团”是对

立事件，所以“三人不在同一个社团”的概率为13144-=；

16.【答案】5π

【解析】记底面三角形ABC 的外接圆为⊙O ′，半径为r,则22sin120BC

r =

=?

，所以记球的半径为R ，因为SC ⊥

平面ABC ，则

2R ===

O 的表面积为2

24452S R πππ?==??= ??

．

三、解答题

17. 【解析】（Ⅰ）因为∠D=2∠B

所以3

1

1cos 22cos cos 2

-=-==B B D （2分） 因为()0,D π∠∈，所以 （4分） 所以△ACD

（6分） （Ⅱ）在△ACD 中，12cos 22

2

2

=??-+=D DC AD DC AD AC ，

（8分）

在△ABC 中，12cos 22

2

2

=??-+=B BC AB BC AB AC （10分）

把已知条件代入并化简得：042

=-AB AB 因为AB ≠0，所以AB = 4 （12分）

18. 【解析】（Ⅰ）女性平均使用微信的时间为：

76.4912.072.0528.0324.0116.0=?+?+?+?+? (小时) （4分）

（Ⅱ） ()112.0214.004.02=?+++a 解得08.0=a （6分） 由列联表可得由列联表可得

(8分)

A

B

C

D

数学试题（文科） 第 9 页（共 12 页） ()()()()()d b c a d c b a bc ad n k ++++-=22

()706.2941.232685050123020381002

>≈????-?= （11分） 所以有90﹪的把握认为 “微信控”与“性别”有关． （12分）

19. 【解析】（I ） 连接DE ，由题意可知四边形ABED 和AECD 是平行四边形， 又AB=AD ，所以ABED 是菱形 （2分）

故BM AE ⊥，.DM AE ⊥ 即AE M B ⊥1，.DM AE ⊥ （4分） 又因为M M B DM =?1，MD 、?M B 1平面MD B 1，所以⊥AE 平面MD B 1．（5分） 由题可得AE ∥CD ，所以1CD B DM ⊥平面 （6分）

（Ⅱ） 连接CM ，由（Ⅰ）得AB=AE=BE=2 ，所以1B AE ?为等边三角形 ， 31=∴M B （7分） 又722=+=CD DM CM ，101=C B

21221C B CM M B =+∴，即1B M MC ⊥ （9分）

又AE M B ⊥1，

MC AE M ?=，⊥∴M B 1平面CDE （10分） 3322

121=??=?=

?DM AE S CDE （11分）

1111133B CDE CDE V S B M -?∴=?=?= （12分） 20. 【解析】（I ）由36=e ，得36=a c ，即a c 3

6=，① （1分） 以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为222x y a +=， （2分）

此圆与直线260x +=

相切，所以a ==c=2, （4分）

所以222

2b a c =-=,所以椭圆的方程为1262

2=+y x ． （5分） （Ⅱ）由??

???-==+)2(1262

2x k y y x 得061212)31(2222=-+-+k x k x k ， （6分） 设1122(,),(,)A x y B x y ,所以22213112k k x x +=+，2

22131612k k x x +-=?，（7分）

数学试题（文科） 第 10 页（共 12 页） 根据题意,假设x 轴上存在定点)0,(m E ,使得?为定值， 则有?11221212(,)(,)()()x m y x m y x m x m y y =-?-=-?-+

)2)(2())((21221--+--=x x k m x m x )4())(2()1(22212212m k x x m k x x k ++++-+=

)4(3112)2(31612)1(2222

2222

m k k k m k k k k +++?+-+-?+= 1

3)6()10123(2222+-++-=k m k m m （9分） 要使上式为定值，即与k 无关，则应有)6(31012322-=+-m m m ， （10分） 即3

7=

m ， （11分） 此时?9562-=-=m 为定值，定点为)0,37(． （12分） 21.【解析】（I ）()()()()1111,0ax x f x ax a x x x --'=-++

=>， （1分） （i ）当0=a 时，()x

x x f -='1，令()0>'x f ,得10<x ， 函数f(x)在()1,0上单调递增，()+∞,1上单调递减； （2分）

（ii ）当10<=

a

x （3分） 令()0>'x f ,得a x x 1,10><<，令()0<'x f ,得a x 11<<， 函数f(x)在()1,0和??? ??+∞,1a 上单调递增，??

? ??a 1,1上单调递减； （4分） （iii ）当1=a 时，()0≥'x f ，函数f(x)在()+∞,0上单调递增；（5分）

（iv ）当1>a 时，110<<

a

（6分） 令()0>'x f ,得1,10><

综上所述：当0=a 时，函数f(x)的单调递增区间为()1,0，单调递减区间为()+∞,1；

当10<

数学试题（文科） 第 11 页（共 12 页） 当1=a 时，函数f(x)的单调递增区间为()+∞,0；

当1>a 时，函数f(x)的单调递增区间为??? ??a 1,0和()+∞,1，单调递减区间为??? ??1,1a （9分） （II ）当0=a 时，()x x x f ln +-=，由()mx x f =，得mx x x =+-ln ，又0>x ，所以1ln -=

x

x m ，要使方程()mx x f =在区间21,e ????上有唯一实数解， 只需1ln -=

x

x m 有唯一实数解， （10分） 令()()01ln >-=x x x x g ，∴()2ln 1x x x g -='， 由()0>'x g 得e x <<0；()0<'x g 得e x >， ∴()g x 在区间[]e ,1上是增函数，在区间[]

2,e e 上是减函数. （11分） ()11-=g ，()11-=e e g ，()

1222-=e e g ，故 2211m e -≤<-或11m e =- （12分） 22．【解析】（Ⅰ）以D 为圆心DA 为半径作圆，又ABCD 为正方形，∴EA 为圆D 的切线

（1分）

依据切割线定理得2EA EF EC =? （2分）

另外圆O 以BC 为直径，∴EB 是圆O 的切线， （3分）

同样依据切割线定理得2EB EF EC =? （4分）

故AE EB = （5分）

（Ⅱ）连结BF ，∵BC 为圆O 直径，∴BF EC ⊥ （6分） 由BF CE BE BC S BCE ?=?=?2121，得5525

21=?=BF （8分） 又在Rt BCE ?中，由射影定理得5

42==?BF FC EF （10分）

23.【解析】（Ⅰ）曲线C 的参数方程可化为 ()()12122=-+-y x （2分）

直线l 的方程为24sin =??

? ??

+πθρ．可化为 2sin cos =+θρθρ （4分） 直线l 的直角坐标方程为 02=-+y x （6分）

数学试题（文科） 第 12 页（共 12 页）

0y =，得2x =，即M 点的坐标为（2，0） （7分） 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为()2,1，半径1r =，则MC =（8分） 所以1MN MC r +≤，MN ∴1． （10分）

24.【解析】（Ⅰ）()f x ≥-2

当2-≤x 时，24-≥-x , 即2≥x ，∴φ∈x ； （1分） 当12<<-x 时，23-≥x ,即32-≥x ,∴2

13x -≤< （2分）

当1≥x 时，24-≥+-x , 即6≤x , ∴1≤x ≤6 （3分） 综上，{x |2

3-≤x ≤6} （4分）

（Ⅱ）?????≥+-<<--

≤-=1

,412,32

,4)(x x x x x x x f 函数()f x 的图像如图所示：

（6分） 令a x y -=，a -表示直线的纵截距，当直线过(1,3)点时，2=-a ； ∴当-a ≥2，即a ≤-2时成立； （7分）

当2<-a ，即2->a 时，令a x x -=+-4， 得22a

x +=,

∴a ≥2+2a

,即a ≥4时成立， （9分）

综上a ≤-2或a ≥4 （10分）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4a1e.html