四川省成都市石室中学2014届高三上学期“一诊模拟”考试（二）试题 数学（理）

石室中学高2014届2013-2014学年度上期“一诊”模拟考试（二）

数学（理科）试题

一．选择题：本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1. 已知全集U?{0,1,2,3,4,5,6},集合A?{1,2},B?{0,2,5},则集合(CUA)?B?（ ） A．?3,4,6? B．?3,5? C．?0,5? D．?0,2,4? 2. 复数

3i?1（i为虚数单位）的模是（ ） 1?i B.22 2A.5

C.5 D.8

3. 下列命题的否定为假命题的是（ ）

A.?x?R,x?2x?2?0 B.

?x?R，lgx?1

22C.所有能被3整除的整数都是奇数 D.?x?R,sinx?cosx?1

4. 已知?ABC的面积为2，在?ABC所在的平面内有两点P、Q，满足PA?PC?0,QA?2BQ,则

?APQ的面积为（ ）

A.

112 B. C. D.1 3235. 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法 的种数为 （ ）

A．10 B．20 C．30 D．40

6. 右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

1 313C． D．

22A． 1 B．

7. 执行右图所示的程序框图（其中[x]表示不超过x的最大整数）， 则输出的S值为（ ）

A.7 B.6 C.5 D.4

8. 将函数f(x)?sin(2x??)(?)的图象向右平移?(??0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若23f(x)、g(x)的图象都经过点P(0,)，则?的值可以是（ ）

2?5?5?? A． B． C． D．

23662?????????9. 已知a,b?R，若向量m?(2,12?2a)与向量n?(1,2b)共线，则2a?b?a?5b的最大值为（ ）

A．6 B．4 C．3 D．3

?x2?x,x??0,1?,??3x?10. 定义域为R的函数f?x?满足f?x?2??2f?x?,当x??0,2?时，f?x???若?1?2????,x??1,2?,???2?x???4,?2?时，f?x??A.??2,0???0,1?

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知??(t1?恒成立，则实数t的取值范围是（ ） 42t

C.??2,1?

D.???,?2???0,1?

B.??2,0???1,???

?3,?),sin??,则tan?= 2512. 在区间??1,2?上随机取一个实数x，则事件“1?2x?2”发生的概率为______

1??13. 若等比数列{an}的第5项是二项式?x??展开式的常数项，则a3a7?

3x??14. 已知函数f?x??ln61?x?sinx，则关于a的不等式f?a?2??f?a2?4??0的解集是_______ 1?x11|?|x?|恰有四个公共点，则k的取值集合是______ xx15. 若直线y?kx?1与曲线y?|x?

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）设函数f(x)?2cosx?23sinx?cosx?m.其中m,x?R （1）求f(x)的最小正周期； （2）当x?[0,2?17]时，求实数m的值，使函数f(x)的值域恰为[,],并求此时f(x)在R上的对称222中心.

17．（本小题满分12分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2， 侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，

1且AF?AB．

4（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；

（Ⅱ）求二面角E－BC1－D的余弦值．

18．（本小题满分12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3?6，S10?110．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{bn}前n项和为Tn，且Tn?1?(

2an?)，令cn?anbn(n?N)．求数列{cn}的前n项和Rn. 2

19．（本小题满分12分）某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：

[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90)后得到如图4的频率分布直方图．问：（1）求这40

辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.（2）若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在[65,70)的车辆数?的分布列及其均值（即数学期望）．

20．（本小题满分13分）已知函数f(x)?x?4x?a?3,g(x)?mx?5?2m. ⑴当x???2???,??时，若函数y?f(sinx)存在零点，求实数a的取值范围并讨论零点个数； ?2?⑵当a?0时，若对任意的x1??1,4?，总存在x2??1,4?，使f(x1)?g(x2)成立，求实数m的取值范围.

21．（本小题满分14分）已知函数f(x)?alnx?x2. （1）当a?2时，求函数y?f(x)在[,2]上的最大值；

（2）令g(x)?f(x)?ax，若y?g(x)在区间(0,3)上不单调，求a的取值范围；

（3）当a?2时，函数h(x)?f(x)?mx的图象与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)，且0?x1?x2，又h?(x)是h(x)的导函数.若正常数?,?满足条件????1,???.证明：h?(?x1??x2)?0.

12石室中学高2014届一诊模拟考试(二)数学理科答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1 2 3 4 5 6 题号 C A D C B B 答案 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. ?7 A 8 B 9 A 10 D 312511 ； 12. ；13. ；14. (3,2) ； 15. {0,?,} .

88439三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16. (本小题满分12分)

解：f(x)?2cosx?23sinxcosx?m?1?cos2x?3sin2x?m

2?2sin(2x??6)?m?1?????????4分

∴函数f(x)的最小正周期T=?。?????5分

7?1????sin(2x?)?1

266626171?m?f(x)?m?3又?f(x)?故m?，????8分

222?k??k??3令2x??k?,k?Z，解得x??,k?Z，对称中心为(?,)。………..12分

62122122（2）?0?x?????2x???17. (本小题满分12分) 1解：（Ⅰ）证明：取AB的中点M，?AF?AB，

4

?F为AM的中点，又?E为AA1的中点，∴EF//A1M，

在三棱柱ABC?A1B1C1中，D,M分别为A1B1,AB的中点， ?A1D//BM，且A1D?BM，

则四边形A1DBM为平行四边形，?A1M//BD，

?EF//BD，又?BD?平面BC1D，EF?平面BC1D，

?EF//平面BC1D． ························· 5分

??????????????（Ⅱ）连接DM，分别以MB、MC、MD所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，则B(1,0,0)，E(?1,0,1)，D(0,0,2)，C1(0,3,2)，

?????????????∴BD?(?1,0,2)，BE?(?2,0,1)，BC1?(?1,3,2)．

设面BC1D的一个法向量为m?(x1,y1,z1)，面BC1E的一个法向量为n?(x2,y2,z2)，

??????m?BD?0,???x1?2z1?0,则由?????得?取m?(2,0,1)， ????x1?3y1?2z1?0,?m?BC1?0,???????n?BE?0,???2x2?z2?0,又由?????得?取n?(1,?3,2)， ??x?3y?2z?0,??222?n?BC1?0,?A1DC1B1ECAFMB则cos?m,n??

m?n410??，?????11分

|m||n|55?8

故二面角E－BC1－D的余弦值为10．?????12分 518. (本小题满分12分)

解（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，

∵a1?2d?6，2a1?9d?22， ∴a1?2,d?2，

··················································· ···· 5分 所以数列{an}的通项公式an?2??n?1??2?2n； ·

（Ⅱ）因为Tn?1?(2an21)?1?()2n?1?()n， 22221当n?1时，a1?T1?1?()2?，

22111当n≥2时，an?Tn?Tn?1?1?()n?1?()n?1?()n，

2221且n?1时满足an?()n， ·························································································· ···· 8分

2所以数列{an}的通项公式为an?2n；

2nn123n，所以， ?R??????n2n2n?12021222n?1n?2··································································································· ·· 12分 所以Rn?4?n?1． ·

219. (本小题满分12分)

所以cn?解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5（2分）

设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：

0.01?5?0.02?5?0.04?5?0.06?(x?75)?0.5，解得x?77.5

即中位数的估计值为77.5 (5分) （2）从图中可知，车速在[60,65)的车辆数为：m1?0.01?5?40?2（辆），

车速在[65,70)的车辆数为：m2?0.02?5?40?4（辆） (7分) ∴??0,1,2，

201102C2C4C2C48C2C416P(??0)??P(??1)??P(??2)??，，，

C6215C6215C6215?的分布列为

? 0 1 2

P 1 158 156 15 (10分) 均值E(?)?0?1?864?2??. (12分 1515320. (本小题满分13分)

22解: ⑴令t?sinx???1,1?，?f(t)?t?4t?a?3?(t?2)?a?1,

?函数f(x)图象的对称轴为直线x?2，要使f(t)在??1,1?上有零点，

?f(?1)?0,?a?8?0,则?即???8?a?0.

f(1)?0,a?0,??所以所求实数a的取值范围是??8,0?. ??3分

当?3?a?0时，2个零点；当a?0或?8?a??3，1个零点?????7分 ⑵当a?0时，f(x)?x?4x?3?(x?2)?1. 所以当x??1,4?时，f(x)???1,3?，记A???1,3?.

由题意，知m?0，当m?0时，g(x)?mx?5?2m在?1,4?上是增函数，

22?g(x)??5?m,5?2m?，记B??5?m,5?2m?.

由题意，知A?B

??1?5?m,???3?5?2m,解得m?6 ??9分 ?m?0,?当m?0时，g(x)?mx?5?2m在?1,4?上是减函数，

?g(x)??5?2m,5?m?，记C??5?2m,5?m,?.

由题意，知A?C

??1?5?2m,???3?5?m,解得m??3 ??11分 ?m?0,?综上所述，实数m的取值范围是???,?3???6,???.……..12分 21. (本小题满分14分)

'22?2x2解（1） ?f(x)??2x?,

xx

函数y?f(x)在[

1,1]是增函数，在[1,2]是减函数，……………3分 2所以f(x)max?f(1)?2ln1?12??1． ??4分 （2）因为g(x)?alnx?x2?ax，所以g?(x)?a?2x?a， ??5分 x因为g(x)在区间(0,3)上不单调，所以g?(x)?0在（0，3）上有实数解，且无重根，

2192x?=2(x?1?)?4?(0,)，由g(x)?0，有a?（x?(0,3)） ??6分 x?12x?1又当a??8时，g?(x)?0有重根x??2， ??7分

9综上a?(0,) ??8分

22（3）∵h'(x)??2x?m，又f(x)?mx?0有两个实根x1,x2，

x?2lnx1?x12?mx1?022∴?，两式相减，得2(lnx1?lnx2)?(x1?x2)?m(x1?x2)， 22lnx?x?mx?0222?∴m?2(lnx1?lnx2)?(x1?x2), ??10分

x1?x22(lnx1?lnx2)2?2(?x1??x2)??(x1?x2)

?x1??x2x1?x2'于是h(?x1??x2)??2(lnx1?lnx2)2??(2??1)(x2?x1)． ??11分

?x1??x2x1?x2????,?2??1,?(2??1)(x2?x1)?0．

要证：h'(?x1??x2)?0，只需证：

2(lnx1?lnx2)2??0

?x1??x2x1?x2只需证：

x1?x2x?ln1?0．(*) ??12分

?x1??x2x2x11?t1?t?t?(0,1)?lnt?0，只证u(t)?lnt??0即可． ?u(t)在（0，1）上单令，∴(*)化为 x2?t???t??调递增，u(t)?u(1)?0,?lnt?

x?x2x1?t?ln1?0．∴h'(?x1??x2)?0．??14分?0，即1 ?t??x2?t??

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