兰大08年09年数分考研试题及解答

兰州大学2008年数学分析考研试题及解答

一．计算. 1.求limlnn?1?n????1??2??n?1??1??????. n??n??n?解 limlnn??nn1??2??n?1?k??ln?1?? ??1???1????1???limn??n??n?n??k?1n?n?? ??10ln?1?x?dx

2 ??1lnxdx??xlnx?x?

12 ?2ln2?1. 2.设an?1?3?5??2n?1?2?4?6??2n?，?n?1,2,??，

求证（1）?an?单调递减； （2）an?12n?1；

（3）求liman.

n??证明 （1）因为

an?1an?2n?12n?2?1，

所以an?1?an，?n?1,2,??， 于是?an?是单调递减的； （2）由?2k?1??2k?1??1?3?5??2n?1?2?4?6??2n??2k?1???2k?1?2?2k，

得an??113?335?2n?12n?12n?1

?12n?112n?1，?n?1,2,??

（3）由（2）知0?an?，

所以liman?0.

n??11?3?233 求lim??x?3x???x?2x?2?.

x?????11?3?2解 lim??x?3x?3??x?2x?2?

x?????11??3232?????limx??x?2???1??? x?????x?x?????113?3?2?2?1??1????2?x?x????limx???1x

?lim?t?0?1?3t?213??1?2t?2t1

21??1?1?23?lim???1?3t??6t??1?2t?2??2?? t?02?3??1.

4. 求I?解 I????0xsinx1?cosxxsinx2dx

0?01?cosx2dx?????0???y?sin???y?21?cos???y???dy?

????0?x?sin???x?1?cosx2dx

???所以 I??sinx1?cosx2dx?I,

?22??0sinx1?cosx2dx

??21?111?tdt

??2arctant1?1???2?2??24.

x3y?x?y3?5. 求lim?cos?x??,x??y?ax3.

y?x?y3?解lim?cos?x??,x??y?a

31??yy??cos?1?lim??1?cos?1?x?x??,??x??y?a??y??x?cos?1?3x??x?y

?ey?ay?x?lim?cos?1?x??,?x?x?y33，

33yx??x?2y? lim?cos?1??lim?2sin??33x??,x??,xx?yxx?y????y?ay?a ??2limyx22x??,y?a?x33x?y

??2limy1?2x??,y?ay3??2a2，

xx32y?x?y3??2a?e故lim?cos?x??,x??y?a.

6. 求I???Lxdy?ydxx?y22，其中L是不过原点的简单闭曲线.

xx?y22解 记P??Q?x?P?y?yx?y22，Q?，

则

??0，?x,y???0,0?，

而由Green公式

若原点?0,0?在L所围区域的内部，则取??0充分小，使得B??0,0?,??包含在L所围区域的内部.

I?x?y?B??0,0?,??2?0?xdy?ydx22

? ???cos????cos????sin?????sin???d??2?.

2d?

?2?0二．设f?x?在x?0处可导，且f?0??0，f??0??1. 证明 存在??0，使得x??0,??时，有f?x??x. 证明 由题设条件，知

limf?x?x?limf?x??f?0?x?0?f??0??1，

x?0x?0于是存在??0，使得当0?x??时， 有

f?x?xf??0??12?1，

?从而当x??0,??时，有f?x??x.

三．试证明f?x??x?2在?0,1?上不一致连续，但是对任何0???1，f?x??x?2在

??,1?上一致连续.

证明（1）取xn?2n，yn?3421n，尽管lim?xn?yn??0，

n??但f?xn??f?yn??n???，?n????，

所有f?x??x?2在?0,1?上不一致连续； （2）f??x???2x?3，当x???,1?时，

?3f??x???2x?2??3，

即f??x?在??,1?上有界，故f??x?在??,1?上一致连续. 对任意x1,x2???,1?，

f?x1??f?x2??1x12?1x22

?x1?x2xx2122x1?x2?2?3x1?x2，

由此，即得f?x?在??,1?上一致连续.

四．设0????，?为实参数，记f??x??x??x???.

证明 存在A?0，使得对任何???0,A?都存在??0，a?0，满足f??a???. 证明 由于当x?1，x??x??0，f??x??0， 对x??0,1?，有x??1?x?????0，

存在0?a1?a2?1，使得当x??a1,a2?时，x??x??0，

x?x?min??x??a1,a2?x???x???b?0，

取A?b3，则对任何???0,A?,

当x??a1,a2?，

f??x??x?x???b???b3?23b，

取??23b，对x??a1,a2?，都有f??a???.

?五．设p?0，讨论级数?n?1xnnp的敛散性.

解 设u?x??xnnp，

当x?0时，显然级数收敛， 当x?0时，由于limun?1?x?un?x??n??lim??x?xn??n?1??,

n??所以当x?1时，原级数绝对收敛， 当x?1时，原级数发散，

?当x??1时，由???1?n?1p1np收敛，

当x??1，p?1时，原级数条件收敛，

当x??1，p?1时原级数绝对收敛， 当x?1，p?1，原级数发散， 当x?1，p?1原级数绝对收敛.

六．设f?x?在?a,b?上有界，记f??x??max?f?x?,0?，f??x??max??f?x?,0?， 证明 f?x?在?a,b?上可积的充分必要条件是f??x?，f??x?在?a,b?上均可积，并且?f?x?dx?ab?baf??x?dx??abf??x?dx.

证明 必要性 设f?x?在?a,b?上可积，我们知道f?x?上可积，由

f??x??f?x??f?x?2，f??x??f?x??f2?x?

得 f??x?，f??x?在?a,b?上均可积， 显然f?x??f??x??f??x?， 所以?f?x?dx?ab?baf??x?dx??abf??x?dx；

充分性 设f??x?，f??x?在?a,b?上均可积， 由f?x??f??x??f??x?， 知f?x?在?a,b?上可积， 且?f?x?dx?ab?baf??x?dx??abf??x?dx.

七．设二元函数f?x,y?对x连续，对y连续且关于其中一个变元单调， 证明 它关于两个变元是混合连续的. 证明 不妨设f?x,y?关于y单增，

对于任意固定的?x0,y0?，由于f?x0,y?关于y连续， 对任意??0，存在?1?0，使得当y?y0??1时， 有f?x0,y??f?x0,y0???4，（1）

由于f?x,y0??1?，f?x,y0?，f?x,y0??1?关于x连续，

对于上述??0，存在?2?0，使得当x?x0??2时， 有f?x,y0??f?x0,y0??ff?4，

???x,y0??1??f?x0,y0??1??x,y0??1??f?x0,y0??1??4， ，

?4现对任意的?x,y?满足

x?x0??2， y?y0??1，

当y0?y?y0??1时，

f?x,y??f?x0,y0??f

?f?x,y??f?x,y0??x,y??f?x0,y0?

?f?x,y0??1??f?x,y0??f?x,y??f?x0,y0??f?x,y0??1??f?x0,y0??1??f?x0,y0??1??f?x0,y0? ?f?x0,y0??f?x,y0??f?x,y0??f?x0,y0?

??，

同理当y0??1?y?y0时f?x,y??f?x0,y0???， 于是得f?x,y?在?x0,y0?处连续， 结论得证.

八．设连续函数f?x?满足f?1??1，记F?t??2???2f?x?y?z22222?dxdydz，

x?y?z?t证明 F??t??4?. 证明 F?t???2?0d??d??f?r00t0?t2?r2sin?dr

?4??r2f?r2?dr，

F??t??4?tf?t22?，

F??1??4?f?1??4?.

九．称f?x?是凸函数，如果对任意的???0,1?，x,y?I,均有

f??x??1???y???f?x???1???f?y?，

（1）试着给出凸函数的几何解释；

（2）若f?x?是区间I上的凸函数，试讨论f?x?在I上的连续性质；

（3）若f?x?有下界，即存在常数M,使得对任何x，都有f?x??M，问f?x?是否有最小值？证明你的结论.

解（1）联结f图像上两点直线段总在这两点间f图像的上方. （2）对任意x1,x2,x3?I,满足x1?x2?x3，记

??x3?x2x，

3?x1而x2??x1??1???x3，

f?x2??f??x1??1???x3?

??f?x1???1???f?x3? ?x3?x2xf?xx11??x2?3?x1xf?x3?，

3?x1x3?x2xf?xx2?x1?x?x2x2?x12??,

3?x1x2??x33?xf1xf?x1??xf?x3?3?x13?x1x3?x2x(f?x2??f?x1?)?x2?x1x(f?x3??f?x2?),

3?x13?x1由此可得，

f?x2??f?x1??f?x3??f?x2?x2?x1x，

3?x2进而

f?x2??f?x1?fx3??f?x2??f?x3??f?x1?x2?x??1x3?x2x3?x;

1（3）对任意固定x0?(a,b)，任取x1,x2,x4?(a,b),x4?x0?x1?x2 则有

f(x4)?f(x0)f(x1)?f(x0)f(x2)?f(x0)x4?x?0x1?x?0x2?x，

0则 F(x,x0)?f(x)?f(x0)x?x0,(x?x0)，关于x单调递增，且有下界，于是存在右极限，

即f?'(x0)存在，同理可证f?'(x0)存在，由极限的保不等式性，可得f??(x0)?f??(x0) 。

于是f(x)在(a,b)内右导数存在，f(x)在(a,b)内左导数存在，且f??(x)?f??(x) 。

(4)对任意a?????b , ??x3?x1?x2?x4??,

f(x3)?f??x3????f?x1??f?x3?x1?x3?f?x2??f?x1?x2?x1?f?x4??f?x2?x4?x2?f(?)?f?x4???x4，

从而有

f??(?)?f?x2??f?x1?x2?x1?f??(?)

于是有

|f?x2??f?x1?|?L|x2?x1|，

即得f?x?在[?,?]上是Lipschitz连续的,从而f?x?在[?,?]上是连续,

故可得知f?x?在I内连续.

当I有端点时，f?x?在断点处未必连续. (5)f?x?未必有最小值， 例1 设f?x????1,2x?0?x,0?x?1，显然此函数在?0,1?上是凸函数,

但是f?x?在?0,1?上无最小值，f?x?在x?0处不连续. 例2 设f?x??1x，x??0,???，

f?x?在x??0,???上是凸函数，且有下界，

但是f?x??

1x在x??0,???上无最小值.

兰州大学2009年数学分析考研试题及解答

一．计算题

1.求limx?0??sint?0x0x232dt?.

?t?t?sint?dt2x?sinx2解 原式?limx?0?32?x?x?sinx?2??x?3

?limx?0?x?sinx

?12xsinx ?limx?0x2?6x2?1?cosx32?lim?x?0??12

2注：limx?0??sint?0x0dt??t?t?sint?dt?12，lim?x?0??sint?0x0x32dt??12

?t?t?sint?dt2.求?arctanxdx. 解 原式?xarctanx??111?x21?1x?12?xdx

?xarctanx? ?xarctanx?dx ?21?xx21?21?yy2dy y??x?

?xarctanx?y?arctany?C ??x?1?arctanx?y?C. 3.计算?dx?12xx1yyyedy??x?42dx?2x1yedy.

?x解 原式? ??21221dy?1yedx

?x??y?1?e?y?ydy

?2 ???ye?21??2e?e.

?1

4.求抛物线y2?4x与它在?1,2?处的法线所围成的有限区域的面积. 解 在?1,2?处，

dydxx?1dydx?2y，

k??1，

法线的斜率为?1，

设法线方程为y?2???x?1?，x?3?y， 法线与抛物线交于?1,2?，?9,?6?， 于是所求的面积

S??2?6dy?y243?y2?y?dx???3?y??dy ?64??223?12y? ??3y?y??212??

?6?3?8?12???32??1?24?16?563??1264?224

3.

n?15.求幂级数???1?n?1x2n?1n2n?1的收敛域与和函数.

解 设un?x????1?xn，

un?1?x?un?x??n?22?lim?x?x?n???n?1?当x?0时，由于lim,

n??当x?1时，原幂级数绝对收敛，

?当x??1时，?n?1???1?nn为条件收敛，

当x?1时，?n?1??1?nn?1为条件收敛，

当x?1时，原幂级数发散，

?S?x?????1?n?1n?1x2n?1n??2x????1?n?1n?1x2n2n

??2x2x?x0x0??n2n?1??1t?????dt ?n?1???dt? ???n1??2????t?t?n?1

??2x?1x1xx01?dt 2t1?txt2 ?? ???2t1?t20dt

ln?1?t2?x0??ln?1?xx2?，?x?1?.

limln?1?xx2?2x?lim1?xx?01L2x?0?0.

6.计算曲线积分??exsiny?b?x?y??dx??excosy?ax?dy，其中L是从?2a,0?沿着曲线y?2ax?x2到点?0,0?的一段. 解 记P?exsiny?b?x?y?,Q?excosy?ax, 则

?P?y?ecosy?b，

x?Q?x?ecosy?ax，于是

?Q?x??P?y?b?a，

曲线y?2ax?x2，即

x?2ax?y?0，y?0，

22?x?a?D?2?y?a22，y?0，

2??x,y?:?x?a??y?a,y?0，

22?由Green公式 原曲线积分????b?a?dxdy?D???bx?dx

022a ??b?a???a2?b?2a?

2211 ????4?ab??a232n??.

二．证明：limsinn不存在. 证明 由于区间??2k????4,2k???3??，k?0,1,2,??长度为?1，而存在整数 ?4?2??3???； nk??2k??,2k???44??同理存在mk??2k??， ,2k???44??假若limsinn?a存在，

n???5?7??则有limsinnk?a，limsinmk?a，

k??k??由于

2222?sinnk?1，?1?sinmk??22，

从而?a?1，?1?a??22，

这是矛盾的， 所以limsinn不存在.

n??三．设函数f:?a,b???a,b?，满足f?x??f?y??Lx?y，任意x,y??a,b?其中

L?,?为正常数.

证明 （1）当??1时，f?x?恒为常数；

（2）当L?1,??1,存在唯一的???a,b?，使得f?????. 证明 （1）当??1时， 由0?f?y??f?x?y?x?Ly?x??1?0，?y?x?，

知f??x??0，?x??a,b?，于是f?x?恒为常数； （2）显然f?x?连续，又a?f?x??b，

存在???a,b?，使得f?????， 下证唯一性.

设???a,b?，也满足f?????， 则????f????f????L???, 由于0?L?1， 所以????0，???，

故存在唯一的???a,b?，使得f?????.

四．设f?x?是区间I上的有界函数，证明f?x?在区间I上一致连续的充分必要条件是对任给的??0，总存在正数

fM，使得当x,y?I，x?y，且

?y??f??xy?x?M时，就有f?y??f?x???.

证明 充分性 用反证法.

假若f?x?在区间I上不一致连续，则存在?0?0，存在?xn?,?yn??I， 使得xn?yn?即有

f?xn??fxn?yn1n，但f?xn??f?yn???0，

?n?0，

?0，只需要n充分大，

?yn??02由假设条件，对

就有f?xn??f?yn??矛盾

?02，

所以f?x?在区间I上一致连续； 必要性 设f?x?在区间I上一致连续， 用反证法若结论不成立，

则存在?0?0，对任意正整数n，存在?xn?,?yn??I， 使得

f?xn??fxn?yn?yn??n，

但f?xn??f?yn???0. 即有xn?yn?2Mn?，??M?supf?x??， ?x?I?这与f一致连续矛盾.

注：对函数f?x??C，或者f?x??x，显然在I上一致连续，不成立必要性的结论，反证法中的?xn?，?yn?不存在，所以此题应只有充分性，应无必要性. 五．设f:R2?R2是连续映射，若对R2中任何有界闭集K，f?1?K?均是有界的，证明f?R2?是闭集.

证明 设y是f?R2?的任意一个极限点， 则存在?xn??R2， 使得limf?xn??y，

n??而集合A??f?xn?:n?1,2,????y?，

作为R2中的有界闭集（有界是因为极限存在，而闭性是由于极限唯一） 其原像f?1?A?是有界的， 现因xn?f?1?A?， 所以?xn?是有界的，

由Weierstrass聚点定理，存在子列?xn?及x?R2，

k使得limxn?x，

k??k由f得连续性，limf?xnk??k??f?x??y，

所以y?f?x??f?R2?， 故f?R2?是闭集. 六．证明二元函数f?x,y??但在点?0,0?处不可微.

xy在点?0,0?处连续，fx?0,0?，fy?0,0?存在

证明（1）显然limf?x,y??0?f?0,0?，

x?0y?0所以f?x,y?在点?0,0?处连续， 由

f?x,0??f?0,0?x?0，

f?0,y??f?0,0?y?0，

知fx?0,0??0，fy?0,0??0，

?R??x,?y??f??x,?y????f?0,0??fx?0,0??x?fy?0,0??y?

?2?x?y，

2当??x????y??0时，

R??x,?y???x?y??x?2???y?2??x?2???y?2不存在极限，

所以f?x,y?在?0,0?处不可微.

?七．设f?x???n?112?xn，

证明（1）f?x?在?0,???上可导，且一致连续； （2）反常积分???0f?x?dx发散.

12?xn证明 （1）记un?x??对任意x??0,???，

0?un?x???，

12n，

所以?un?x?在?0,???一致收敛，

n?1?f?x???n?112?xn在?0,???上连续，

对x1,x2??0,???，

f?x1??f?x2???11???n?n?2?x2?x2?n?1?1?

? ??n?1?1?2nn?x1??2?x2?nx1?x2

??n?1122nx1?x2

?13x1?x2，

由此既得f?x?在?0,???一致连续；

??x???un1??x??,un122n?2n?x?2?14n,

?u??x?在?0,???上一致收敛，

nn?1???于是f?x?在?0,???连续可导，且f??x??（2）由于，f??x??0，

?n?1??x????unn?11?2n?x?2.

?22kk?1f?x?dx??2?k?12k?n12?x1dxkdx

n?1 ? ? ??22k?22kk?12?xkk

k?112?2k?214?2?

2k?1k2?2?，?k?1，

所以?k?1?k?1f?x?dx发散，

故???0f?x?dx发散.

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