中科院考博半导体物理固体物理知识点及习题总结

1、在晶体衍射中，为什么不能用可见光？

[解答]

晶体中原子间距的数量级为1010

-米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于1010-米. 但可见光的波长为7.6?4.0710-?米, 是晶体中原子

间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光.

2、为什么许多金属为密积结构?

[解答]

金属结合中, 受到最小能量原理的约束, 要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低(绝对值尽可能的大). 原子实越紧凑, 原子实与共有电子电子云靠得就越紧密, 库仑能就越低. 所以, 许多金属的结构为密积结构.

3、长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?

[解答]

长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波

4、电子的有效质量*

m 变为∞的物理意义是什么?

[解答]

从能量的角度讨论之. 电子能量的变化

m E m E m E 晶格对电子作的功外场力对电子作的功外场力对电子作的功)d ()(d )(d *+= []电子对晶格作的功外场力对电子作的功)d ()(d 1E E m -=.

从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量*m 变为∞. 此时电子的加速度

01*==F a m , 即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反.

5、一维简单晶格中一个能级包含几个电子?

[解答]

设晶格是由N 个格点组成, 则一个能带有N 个不同的波矢状态, 能容纳2N 个电子. 由于电子的能带是波矢的偶函数, 所以能级有(N /2)个. 可见一个能级上包含4个电子.

1、对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =a i +2a j +2a k 正交的倒格子晶面族的面

指数为( 122 ), 其面间距为( a 32π

)。

2、典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数目为(3

43R V ), 长光学波的( 纵 )波会引起离子晶体宏观上的极化。 3、金刚石晶体的结合类型是典型的(共价结合)晶体, 它有( 6 )支格波。

4、当电子遭受到某一晶面族的强烈反射时, 电子平行于晶面族的平均速度(不为 )零, 电子波矢的末端处在(布里渊区)边界上。

5、两种不同金属接触后, 费米能级高的带(正)电.对导电有贡献的是 (费米面附近)的电子.

2、共价结合, 两原子电子云交迭产生吸引, 而原子靠近时, 电子云交迭会产生巨大的排斥力, 如何解释?

[解答]

共价结合, 形成共价键的配对电子, 它们的自旋方向相反, 这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低, 结构稳定. 但当原子靠得很近时, 原子内部满壳层电子的电子云交迭, 量子态相同的电子产生巨大的排斥力, 使得系统的能量急剧增大.

3、什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？

[解答]

为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加.

简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N .

1、重空穴是指（价带顶附近曲率较小的等能面上的空穴）

2、硅的晶格结构和能带结构分别是（金刚石型和间接禁带型 ）

3、电子在晶体中的共有化运动指的是电子在晶体各元胞对应点出现的几率相同

4、简并半导体是指（ (E C -E F )或(E F -E V )≤0）的半导体。

6、当Au 掺入Si 中时，它引入的杂质能级是（ 施主）能级，在半导体中起的是（ 深 ）的作用；当B 掺入Si 中时，它引入的杂质能级是（ 受主 ）能级，在半导体中起的是（ 浅 ）的作用。

9、以长声学波为主要散射机构时，电子的迁移率μn 与温度的（3/2次方成反比）

12、欧姆接触是指（阻值较小并且有对称而线性的伏－安特性）的金属－半导体接触

13、在MIS 结构的金属栅极和半导体上加一变化的电压，在栅极电压由负值增加到足够大的正值的的过程中，如半导体为P 型，则在半导体的接触面上依次出现

的状态为（多数载流子堆积状态，多数载流子耗尽状态，少数载流子反型状态）。

二、证明题：（8分）

试用一维非均匀掺杂（掺杂浓度随x 的增加而下降），非简并p 型半导体模型导出爱因斯坦关系式：

p

o p D k T q

μ= 证明：由于掺杂浓度不均匀，电离后空穴浓度也不均匀，形成扩散电流：

0p p dp j qD dx

=- 空穴向右扩散的结果，使得左边带负电，右边带正电，形成反x 方向的自建电场E, 产生漂移电流：

0p j q p E μ=漂

稳定时两者之和为零，即：

000p p dp qD q p E dx

μ-+= 而dV E dx

=-，有电场存在时，在各处产生附加势能－qV(x)，使得能带发生倾斜。 在x 处的价带顶为：E V (x)=E V -qV(x)，则x 处的空穴浓度为：

00()()exp()F V V E E qV x p x N k T

-+=- 则：000()exp()()F V V dp E E qV x q dV N dx k T k T dx

-+=-- 00()

q dV p x k T dx =- 故：0000p p q dV dV qD p q p k T dx dx

μ-= 0p

p D k T q

μ= 1、试说明浅能级杂质和深能级杂质的物理意义及特点？（4分）

答：物理意义：在纯净的半导体中，掺入少量的其它元素杂质，对半导体的性能影响很大。由于杂质的存在，使得该处的周期性势场受到扰乱，因而杂质的电子不能处于正常的导带或价带中，而是在禁带中引入分裂能级，即杂质能级。根据杂质能级在禁带中的位置不同，分为深能级杂质和浅能级杂质。又根据杂质电离

后施放的电子还是空穴，分为施主和受主两类。（2分）

特点：对于浅能级杂质，施主或受主能级离导带底或价带顶很近，电离能很小，在常温下，杂质基本全部电离，使得导带或价带增加电子或空穴，它的重要作用是改变半导体的导电类型和调节半导体的导电能力。对于深能级杂质，能级较深，电离能很大，对半导体的载流子浓度和导电类型没有显著的影响，但能提供有效的复合中心，可用于高速开关器件。（2分）

2、什么样的金半接触具有整流效应（考虑在n型和p型的情况）？(5分)

答：能形成阻挡层的金半接触才具有整流效应。（1分）

即金属和n型半导体接触时，若金属的功函数大于半导体的功函数，在半导体表面形成一个正的空间电荷区能带向上弯，是电子的势垒区，电子浓度比体内小得多，是个高阻区；（2分）

或者金属和p半导体接触时，若金属的功函数小半导体的功函数，在半导体表面形成负的空间电荷区，能带向下弯，是空穴的势垒区，空穴浓度比体内小得多，也是个高阻区。这样的接触具有整流效应。（2分）

3、什么是扩散长度、牵引长度？它们各由哪些因素决定？（4分）

答：扩散长度指的是非平衡载流子在复合前所能扩散深入样品的平均距离，它由

扩散系数和材料的非平衡载流子的寿命决定，即L=（2分）

牵引长度是指非平衡载流子在电场E的作用下，在寿命τ时间内所漂移的距离，即()

=，由电场、迁移率和寿命决定。（2分）

L E Eμτ

4、什么是复合中心、陷阱中心和等电子复合中心？（6分）

答：半导体中的杂质和缺陷可以在禁带中形成一定的能级，对非平衡载流子的寿命有很大影响。杂质和缺陷越多，寿命越短，杂质和缺陷有促进复合的作用，把促进复合的杂质和缺陷称为复合中心。（2分）

半导体中的杂质和缺陷在禁带中形成一定的能级，这些能级具有收容部分非平衡载流子的作用，杂质能级的这种积累非平衡载流子的作用称为陷阱效应。把产生显著陷阱效应的杂质和缺陷称为陷阱中心。（2分）

等电子复合中心：在Ⅲ－Ⅴ族化合物半导体中掺入一定量的与主原子等价的某种杂质原子，取代格点上的原子。由于杂质原子和主原子之间电负性的差别，中性杂质原子可以束缚电子或空穴而成为带电中心，带电中心会吸引和被束缚载流子符号相反的载流子，形成一个激子束缚态。这种激子束缚态叫等电子复合中心。（2分）

5、在一维情况下，描写非平衡态半导体中载流子（空穴）运动规律的连续方程

为：22p p p p p

E p p p p D E p g t x x x μμτ?????=---+????，请说明上述等式两边各个单项所代表的物理意义。（5分） 答：p t

??――在x 处，t 时刻单位时间、单位体积中空穴的增加数；（1分） 22p p D x

??――由于扩散，单位时间、单位体积中空穴的积累数；（1分） p p E p E p x x

μμ??--??――由于漂移，单位时间、单位体积中空穴的积累数；（1分）

p p

τ?-――由于复合，单位时间、单位体积中空穴的消失数；（1分）

p g ――由于其他原因，单位时间、单位体积中空穴的产生数。（1分）

6．以中等掺杂n 型硅为例定性阐述电阻率ρ随温度T 变化的三个阶段的特点。

ρ

C

D

A

B

T

答：设半导体为n 型，有 n

nq μρ1= AB ：本征激发可忽略。温度升高，载流子浓度增加，杂质散射导致迁移率也升高，故电阻率ρ随温度T 升高下降；（1分）

BC ：杂质全电离，以晶格振动散射为主。温度升高，载流子浓度基本不变。晶

格振动散射导致迁移率下降，故电阻率ρ随温度T 升高上升；（1分）

CD ：本征激发为主。晶格振动散射导致迁移率下降，但载流子浓度升高很快，

故电阻率ρ随温度T 升高而下降；（1分）

四、计算题 （8分）

有一硅样品在温度为300k 时，施主与受主的浓度差N D -N A =1014cm -3,设杂质全部电离，已知该温度下导带底的有效状态密度N C =2.9×1019cm -3，硅的本征载流子浓度n i =1.5×1010cm -3,求样品的费米能级位于哪里？（8分）

解：由电中性条件可得:00()D A n N N p =-+ （1分）

由题意可知，n i =1.5×1010cm -3, N D -N A =1014cm -3

故有：0D A i N N n p - ，可忽略p 0,

所以143010D A n N N cm -=-= （1分） 导带电子浓度为：00exp()C F C E E n N k T

-=- （2分） 所以，19

014

0 2.910ln (0.026)ln 0.32710C F C C C N E E k T E eV E eV n ?=-=-=- （3分）

样品的费米能级位于导带底E c 下方0.327eV 。（1分）

五、分析判断题：（8分）

采用理想结构的C-V 特性曲线和给出的电荷块图,填写下表。对于表中命名的每一个偏置条件，采用字母（a-g ）标出相应的偏置点或理想MOS 电容C-V 特性曲线上的点，同样采用数字（1-5）标出与每个偏置条件相关的电荷块图。

1． Si 晶体是复式格子，由两个面心立方结构的子晶格沿体对角线位移1/4套构而成；其固体物理学原胞包含8个原子，其固体物理

学原胞基矢可表示)(2

1k j a a r r r +=，)(22k i a a +=, )(23j i a a +=。假设其结晶学原胞的体积为a 3，则其固体物理学原胞体积为341a 。

2． 由完全相同的一种原子构成的格子，每个格点周围环境相同称为布拉菲格子； 倒格子基矢与正格子基矢满足)(2)(0{2j i j i ij j i b a ==≠==?ππδr r ，由倒格子基矢332211b l b l b l K h r r r r ++=（l 1, l 2, l 3为整数）,构成的格子，是正格子的傅里叶变换，称为倒格子格子；由若干个布拉菲格子套构而成的格子称为复式格子。最常见的两种原胞是固体物理学原胞和结晶学原胞。

3．声子是格波的能量量子，其能量为?ω，动量为?q 。

2. 晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别? 答：自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量，或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量称为晶体的结合能；原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能；在0K 时，原子还存在零点振动能，但它与原子间的相互作用势能的绝对值相比小很多，所以，在0K 时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能。

3.什么是热缺陷？简述肖特基缺陷和弗仑克尔缺陷的特点。

答：在点缺陷中，有一类点缺陷，其产生和平衡浓度都与温度有关，这一类点缺陷称为热缺陷，热缺陷总是在不断地产生和复合，在一定地温度下热缺陷具有一定地平衡浓度。肖特基缺陷是晶体内部格点上的原子（或离子）通过接力运动到表面格点的位置后在晶体内留下空位；弗仑克尔缺陷是格点上的原子移到格点的间隙位置形成间隙原子，同时在原来的格点位置留下空位，二者成对出现。

4.简述空穴的概念及其性质.

答：对于状态K 空着的近满带，其总电流就如同一个具有正电荷e 的粒子，以空状态K 的电子速度所产生的，这个空的状态称为空穴；空穴具有正有效质量，位于满带顶附近，空穴是准粒子。

5.根据量子理论简述电子对比热的贡献，写出表达式，并说明为什么

在高温时可以不考虑电子对比热的贡献在低温时必须考虑？ 答：在量子理论中，大多数电子的能量远远低于费米能量E F ，由于受到泡利不相容原理的限制，不能参与热激发，只有在E F 附近约~K B T 范围内电子参与热激发，对金属的比热有贡献。C V e=γT

在高温时C V e 相对C V l 来说很小可忽略不计；在低温时，晶格振动的比热按温度三次方趋近于零，而电子的比热与温度一次方正比，随温度下降变化缓慢，此时电子的比热可以和晶格振动的比热相比较，不能忽略。

1.(10分)已知半导体InP 具有闪锌矿结构,In,P 两原子的距离为d=2?,试求：（1）晶格常数；(2)原胞基矢及倒格子基矢；（3）密勒指数为（1，1，0）晶面的面间距，以及In(1,1,0)晶面与P （1，1，1）晶面的距离。

解：（1）闪锌矿结构是两个面心立方结构的子晶格沿体对角线位移1/4套构而成，所以对角线长l=4d=8? 又

A l

a a l 383 3==∴= (2) 面心基矢：)(21k j a a +=，)(22k i a a +=, )(23j i a a += 倒格子基矢：

)(42 )(42 );(42)(223222321k j i a b k j i a b k j i a a a b -+?Ω=+-?Ω=++-?Ω=?Ω=ππππ

∴=??=Ω 4

)( 2321a a a a )(2 )(2 );(2321k j i a b k j i a b k j i a b -+?=+-?=++-?=πππ

（3）晶胞倒格矢：)(2)110(j i a b a K +=+=π

原胞倒格矢：比较原胞基矢和晶胞基矢，得

')112(321)110(21)2(21)(2K b b b j i a K =++=+= π

642238

22222321')112(===++==∴a b b b K d ππ

因为In 和P 的（111）晶面的法线方向即对角线方向，所以In 和P

在这个方向的面间距=a 43，也可以说是a a a 1234333=- 即

A 23843=?；或=A 323812

3=? 1.晶格常数为a 的体心立方、面心立方结构，分别表示出它们的基矢、原胞体积以及最近邻的格点数。（答案参考教材P7－8）

（1）体心立方基矢：123()

2

()2()2a

i j k a i j k a i j k ααα=+-=-++=-+，体积：312

a ，最近邻格点数：8 （2）面心立方基矢：123()

2

()2()2a

i j a j k a k i ααα=+=+=+，体积：314

a ，最近邻格点数：12 2.习题1.5、证明倒格子矢量112233G h

b h b h b =++ 垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。 证明： 因为33121323,a a a a CA CB h h h h =-=- ，112233G h b h b h b =++

利用2i j ij a b πδ?= ，容易证明12312300

h h h h h h G CA G CB ?=?= 所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++ 垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。

3.习题 1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足：22222()d a h k l =++，其中a 为立方边长； 解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥ ，123,,a ai a aj a ak === 由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π?=?? ，312123

2a a b a a a π?=?? ，1231232a a b a a a π?=?? 倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a a

πππ=== 倒格子矢量：123G hb kb lb =++ ，222G h i k j l k a a a

πππ=++ 晶面族()hkl 的面间距：2d G π

= 222

1()()()h k l a a a

=++ 2

2

222()a d h k l =++ 5.固体中基本结合类型有哪些？原子之间的排斥作用取决于什么原因？

（1）基本类型：离子性结合，共价结合，金属性结合和范德瓦尔结合四种基本形式

（2）相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠. （答案参考教材P49）

6.什么是声子？

声子就是指格波的量子，它的能量等于q ω 。在晶体中存在不同频率振动的模式，称为晶格振动。晶格振动能量可以用声子来描述，声子可以激发，也可以湮灭。（答案参考教材P92）

7.对于一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系W －K 示意图，并说明光学模式和声学模式所反映的物理意义。（答案参考教材P95－97）

解：（1）一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系W －K 示意图如下

上面线条表示光学波，下面线条表示声学波。

（2）当波矢q 很小时，w 与q 的关系类似于声波，此格波也可用超声波来激发，因此称为声学波，而离子晶体中的频率为w 的格波可以用光波来激发，而且晶体有的光学性质与这一支波有关，故称为光学波。

8.试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点。

导体：除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分的被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带;

绝缘体：电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各能带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电；

半导体：由于存在一定的杂质，使能带填充情况有所改变，使导带中有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性，即使半导体中不存在任何杂质，也会由于热激发使少数电子由满带热激发到导带底产生本征导电.(答案参考教材P250－254)

9.请问德拜模型的基本假设是什么？

基本假设：以连续介质的弹性波来代表格波，晶体就是弹性介质，徳拜也就是把晶格当做弹性介质来处理的。（答案参考教材P126－129）

10.晶体由N 个原子组成，试求出德拜模型下的态密度、德拜频率的表达式 态密度：2_233()2V

g C ωωπ=，频率表达式：_2

1/3[6()]m N C V ωπ= 11.简述Bloch 定理, 该定理必须采取什么边界条件？（答案参考教材P154－157）

（1）当势场具有晶格周期性时，波动方程的解ψ具有如下性质：

()()n

ik R r R e r ψψ?+=，其中k 为一矢量，此式就是布洛赫定理。它表明：当平移晶格矢量n R 时，波函数只增加了位相因子n ikR e 。

（2）边界条件： 11()()r r N ψψα=+

22()()r r N ψψα=+

33()()r r N ψψα=+

其中1N ，2N ，3N 为沿1α，2α，3α方向的原胞数，总的原胞N=1N ?2N ?3N 。

1.已知某晶体中相距为r 的相邻原子的相互作用势能可表示为：()m n U r r r αβ=-+，其中α、β、m>n 都是>0的常数，求：

a) 平衡时两原子间的距离；

b) 平衡时结合能；

思路参考教材P53－54

解：（1）求平衡间距r 0 由0)

(0

==r r dr r du ，有：

m n n m n m m n n m r r n r m --++??? ??=???

? ??=?=-1101.0100αββαβα 结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，

这个能量称为结合能（用w 表示）

（2）求结合能w （单个原子的） 题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。

显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即min U 即：000

11()()22m n W U r r r αβ=-=+- （可代入r 0值，也可不代入） 2.已知N 个质量为m ，间距为a 的相同原子组成的一维原子链，

(1)推导其色散关系

(2)试绘出整个布里渊区内的色散关系，并说明截止频率的意义。

(3)试求出它的格波态密度函数g(ω)，并作图表示。

解：（1）1111()()(2)n n n n n n n n m μβμμβμμβμμμ+-+-=---=+-

设方程的解[]i t naq n Ae ωμ-=,代回方程中得到：

22241[1cos ]sin ()2aq aq m m ββω=-=

，2aq ω=

（2

）

，截止频率范围以外的q 值并不能提供其他不同的波，q 的取值范围称为布里渊区。

（3）2_23

3()2V

g C ωωπ=，代入ω即可得出。

答案参考教材P82－87

习题4-3. 电子在周期场中的势能函数

()()[]()??

???-≤≤+-+≤≤---=b na x b a n b na x b na na x b m x V 1,0,21222当当ω 其中b a 4=，ω为常数，

(1)画出此势能曲线，并求其平均值；

(2)用近自由电子近似模型求出晶体的第一个以及第二个禁带的宽带。

解 ：(I)题设势能曲线如下图所示．

(2)势能的平均值：由图可见，()V x 是个以a 为周期的周期函数，所以

111()()()()a a b L b b

V x V x V x dx V x dx L a a --===??? 题设4a b =，故积分上限应为3a b b -=，但由于在[],3b b 区间内()0V x =，故只需在[],b b -区间内积分．这时，0n =，于是

2222

232

111()()223

6b b b

b b

b

b b m m V V x dx b x dx b x

x m b a a a ωωω----??==-=-=???

?

??。 （3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数

200021()cos ,()cos ()cos 2222b b m m m m m m V x V V x V V x xdx V x xdx b b b b b

πππ

∞

=-∞

'=+

==∑

?? 112

2210

2,1()cos

2b

g g m x

E V m E b x dx b

b

ωπ===

-?

第一个禁带宽度以代入上式,

利用积分公式()2232

cos sin 2cos sin u u mudu mu mu mu mu m m

=

+-?????

得 2

23

16m b ωπ

=

1g E 第二个禁带宽度222,2g E V m ==以代入上式,代入上式

22

22

()cos

b

g m x

E b x dx b

b

ωπ=

-?

再次利用积分公式有2

22

2m b ωπ=

2g E

4-3用紧束缚近似求出面心立方金属和体心立方金属中与s 态原子能级对应的能带的()εk 函数。

解：（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S 态电子的能量可表示成：

()

0()()s ik R s

s s Rs E k J J R e ε-?==--

∑

近邻

在面心立方中，有12个最近邻，若取0m R =

，则这12个最近邻的坐标是：

①

(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0)2222a a a a

②

(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1)2222

a a a a

③

(1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0,1)2222

a a a a

由于S 态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此()S J R

有相同的值，简单表示为J 1=()S J R

。又由于s 态波函数为偶宇称，即()()s s r r ??-=

∴在近邻重叠积分*

()()()()()s i s s i J R R U V R d ?ξξ?ξξ??-=--???

中，波函数的贡献为正

∴J 1＞0。

于是，把近邻格矢S R 代入()s

S E R 表达式得到：

01

()s

ik R s S Rs E k J J e

ε-?==--∑

近邻

=()()()()2

22201x y x y x y x y a a a a

i k k i k k i k k i k k S J J e e e e ε-+----+---?--+++??

()()()()2

2

2

2

y z y z y z y z a

a

a

a

i k k i k k i k k i k k e

e

e

e

-+----+---+++++

()()()()2

2

2

2

x z x z x z x z a

a

a

a

i k k i k k i k k i k k e

e

e

e

-+----+---?+++??

=

012cos ()cos ()cos ()cos ()22

22

S x y x y y z y z a

a a a J J k k k k k k k k ε??

?

??--++-+++-???????

?

?

?

cos ()cos()2z x z x a k k k k ???+++-??????

cos()cos()2cos cos αβαβαβ↓++-=

=014cos

cos cos cos cos cos 222222s x y y z z x a a a a a a J J k k k k k k ε??--++????

（2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：

(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)2222a a a a

(1,1,1),(1,1,1,),(1,1,1),(1,1,1)2222a a a a

01()8(cos cos cos )222

s

s x y z a a a E k J J k k k ε=--

习题5-1. 晶格常数为α的一维晶体电子能量

)2cos 81cos 8

7()(22ααk k ma h k E +-= 试求：

(1)能带宽度；

(2)波矢为k 的电子速度；

(3)能带底部和顶部的电子有效质量

解：（1）2271()(cos cos 2)88

E k ka ka ma =-+ =22ma [78

－coska +18(2cos 2ka －1)] ＝2

24ma

[(coska －2)2－1] 当ka ＝(2n+1)π时,n=0,±1,±2 (2)

max 22()E k ma = 当ka =2n π时, min ()0E k = 能带宽度＝2max min

22E E ma -= （2）1()1(sin sin 2)4

dE k ka ka dk ma υ==- (3) 22*

11(cos cos 2)2E k m m ka ka -????==-?????? 当0k =时,带底，*2m m =

当k a π=±

时,带顶，*23m m =-

1.1 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的?

在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性.

1.2六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子?

六角密积属六角晶系, 一个晶胞(平行六面体)包含两个原子.

3.3温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多?

频率为ω的格波的(平均) 声子数为

11)(/-=T k B e n ωω .

因为光学波的频率O ω比声学波的频率A ω高, (1/-T k B O e ω )大于(1/-T

k B A e ω ), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.

3.4长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化?

长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化.

3.5你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？ 实验已经证实, 离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单晶格中不存在光学波, 所以简单晶格不会吸收远红外光波.

3.6爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?

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