2012年山西省中考数学试题及答案

山西省2012年高中阶段教育学校招生统一考试

数学试题

一、选择题（共12小题，每小题2分，满分24分）

2．如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF=140°，则∠A等于（ ）

4．（2分）（2012 山西）为了实现街巷硬化工程高质量"全覆盖"，我省今年1﹣4月公路建设累计投资92.7亿元，该

5．如图，一次函数y=（m﹣1）x﹣3

的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于A、B，则m的取值范围是（ ）

6．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放

7．如图所示的工件的主视图是（ ）

8．小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E、F分别是矩形ABCD的两边AD、BC上的点，EF∥AB，点M、N是EF上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（ ）

9．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）

10．已知直线y=ax（a≠0）与双曲线的一个交点坐标为（2，6），则它们的另一个交点坐标是（ ）

11．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD

的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）

12．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（ ）

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 13．不等式组

的解集是．

14．化简的结果是．

15．某市民政部门举行“即开式福利彩票”销售活动，发行彩票10万张（每张彩票2元），在这些彩票中，设置如下

16．如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个

数是 _________ ．

17．图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽

3

是高的2倍，则它的体积是 cm．

18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B的坐标是

．

三、解答题（共8小题，满分78分） 19．（1）计算：

．

2

（2）先化简，再求值．（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2），其中x=﹣

20．（7分）（2012 山西）解方程：

．

．

21．实践与操作：如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．

（1）请你仿照图1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在图3中重新设计一个不同的轴对称图形． （2）以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形．

22．今年太原市提出城市核心价值观：“包容、尚德、守法、诚信、卓越”．某校德育处为了了解学生对城市核心价值观中哪一项内容最感兴趣，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如图统计图．请你结合图中信息解答下列问题：

（1）填空：该校共调查了 名学生（2分）． （2）请你分别把条形统计图和扇形统计图补充完整．

(3)若该校共有3000名学生，请你估计全校对“诚信”最感兴趣的人数。

23．如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A、B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A、B的距离（结果精确到0.1米，参考数据：

）

24．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：

（1）每千克核桃应降价多少元？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

25．问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．

探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法： 解：OM=ON，证明如下：

连接CO，则CO是AB边上中线， ∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1） ∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2） 反思交流：

（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： _______ __ 依据2：

（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．

拓展延伸：

（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

26．综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；

（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

2

2012年山西省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题2分，满分24分）

1．A 2.B 3.D 4.D 5.B 6.A 7.B 8.C 9.B 10.C 11.D 12.C

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 13． ﹣1＜x≤3 ． 14．

15．

．

（或0.00025） ．

16． 4n﹣2（或2+4（n﹣1））个 ．

3

17． 1000 cm．

18． （2，） ．

三、解答题（共8小题，满分78分） 19．（1）解：（1）原式

=1+2

×

﹣3

=1+3﹣3=1；

（2）原式= 4x﹣9﹣4x+4x+x﹣4x+4

2

= x﹣5．

2

当x=﹣ 时，原式=

（﹣）﹣5=3﹣5=﹣2． 20．

解：方程两边同时乘以2（3x﹣1），得4﹣2（3x﹣1）=3， 化简，﹣6x=﹣3，解得x=．

检验：x=时，2（3x﹣1）=2×（3×﹣1）≠0 所以，x=是原方程的解．

21．解：（1）在图3中设计出符合题目要求的图形． （2）在图4中画出符合题目要求的图形．

评分说明：此题为开放性试题，答案不唯一，只要符合题目要求即可给分．

22．解：

（1）∵ 有条形统计图可知对包容一项感兴趣的人数为150人，有扇形统计图可知此项所占的比例为30%， ∴ 总人数=150÷30%=500；

（2）补全条形统计图（如图1），补全扇形统计图（如图2）．

2

2

2

23．解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F， ∵ AB∥ CD，

∴ ∠ AEF=∠ EFB=∠ ABF=90°， ∴ 四边形ABFE为矩形． ∴ AB=EF，AE=BF．

由题意可知：AE=BF=100米，CD=500米．…2分 在Rt△AEC中，∠ C=60°，AE=100米． ∴

CE=

在Rt△ BFD中，∠ BDF=45°，BF=100． ∴

DF=

=

=

=

（米）． …4分

=100（米）．…6分

≈ 600

﹣

×1.73≈600﹣57.67≈542.3（米）． …8分

∴ AB=EF=CD+DF﹣CE=500+100

﹣

答：岛屿两端A、B的距离为542.3米． …9分

24．（1）解：设每千克核桃应降价x元． …1分

根据题意，得 （60﹣x﹣40）（100+×20）=2240． …4分 化简，得 x﹣10x+24=0 解得x1=4，x2=6．…6分 答：每千克核桃应降价4元或6元． …7分

（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．

因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元． …8分 此时，售价为：60﹣6=54（元），

． …9分

2

答：该店应按原售价的九折出售． …10分

25．（1）解：依据一：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）， 依据二：角平分线上的点到角的两边距离相等． （2）证明：∵ CA=CB，

∴ ∠ A=∠ B，

∵ O是AB的中点， ∴ OA=OB．

∵ DF⊥ AC，DE⊥ BC， ∴ ∠ AMO=∠ BNO=90°， ∵ 在△ OMA和△ ONB中

，

∴ △ OMA≌ △ ONB（AAS）， ∴ OM=ON．

（3）解：OM=ON，OM⊥ ON．理由如下： 连接OC，

∵∠ ACB=∠ DNB，∠ B=∠ B， ∴ △ BCA∽ △ BND， ∴

∵ AC=BC， ∴ DN=NB．

∵ ∠ ACB=90°，

∴ ∠ NCM=90°=∠ DNC， ∴ MC∥ DN， 又∵ DF⊥ AC， ∴ ∠ DMC=90°，

即∠ DMC=∠ MCN=∠ DNC=90°， ∴ 四边形DMCN是矩形， ∴ DN=MC，

∵∠ B=45°，∠ DNB=90°， ∴ ∠ 3=∠ B=45°， ∴ DN=NB， ∴ MC=NB，

∵∠ ACB=90°，O为AB中点，AC=BC， ∴ ∠ 1=∠ 2=45°=∠ B， 在△ MOC和△ NOB中

，

∴△MOC≌△NOB（SAS）， ∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，

∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON， 即∠MON=∠BOC=90°， ∴OM⊥ON．

2

26．解：（1）当y=0时，﹣x+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3． ∵点A在点B的左侧，

∴A、B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）． 当x=0时，y=3．

∴C点的坐标为（0，3）

设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），

= ，

则，

解得，

∴直线AC的解析式为y=3x+3． ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4）．

（2）抛物线上有三个这样的点Q，

①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）； ②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+

，﹣3）；

，﹣3）；

③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+

，﹣3），Q3（1﹣

，﹣3）．

（3）过点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC于点M，则点M为所求，

过点B′作B′E⊥x轴于点E． ∵∠1和∠2都是∠3的余角， ∴∠1=∠2．

∴Rt△AOC∽Rt△AFB，

∴， 由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3， ∴AC=

，AB=4．

∴∴BF=

， ，

∴BB′=2BF=，

由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB， ∴

，

∴∴B′E=

，BE=

，即， ﹣3=

．

．

∴OE=BE﹣OB=

∴B′点的坐标为（﹣，）．

设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）．

∴，

解得，

∴直线B'D的解析式为：y=x+，

联立B'D与AC的直线解析式可得：，

解得，

∴ M点的坐标为（，）．

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