2011年安徽真题多解文数

2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

参考公式： 锥体体积V 1

3

Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高. 若

x1,y1 , x2.y2 , xn,yn

为样本点，

y b x

a为回归直线，则x 1n1n

n xi,y i 1n yi

i 1

n

n

xi x

b

i 1

yi xiyi nxy

n

i 1

，说明：若对数据适当的预处理，可避免对大

x2

n

a 2i

xi 2

i 1

i 1

数字进行运算.

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。 (1) 设

i是虚数单位，复数

ai

i

为纯虚数，则实数a为（ ）

（A）2 (B)

2

(C)

(D)

(2) 集合U , , , , , ，S , , ,T , , ,则SI(ðUT)等于（ ）

（A）

, , ,

(B)

,

(C)

(D)

, , , ,

(3) 双曲线 x

y 的实轴长是（ ）

（A）2

(B)

(C) 4

(4) 若直线 x

y a 过圆x y x y 的圆心,则a的值为（ ）

（A） 1 (B) 1

(C) 3

(D)

3

（5）若点 a,b 在

y lgx 图像上，a ,则下列点也在此图像上的是（ ）

（A）（

2

a

，b）

(B) (10a,1

b)

(C) (

a

,b+1) (D)

a,2b

x y 1,(6)设变量x,y满足

x y 1,则x y的最大值和最小值分别为

（ ）

x （A） 1， 1 (B) 2， 2

(C ) 1， 2 (D)2， 1

(7)若数列

an

的通项公式是a

n

( )g( n ),则a a La （ ）

（A） 15

(B) 12

(C )

(D)

(8)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

（A） 48

（C）

(D) 80

(9) 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为

顶点的四边形是矩形的概率等于（ ）

（A）

(B)

第8题图

（C）

(D)

(10) 函数

f(x) axng( x) 在区间 0,1 上的图像如图所示，则n可能是（ ）

（A）1 (B) 2

（C） 3

(D) 4

第II卷（非选择题 共100分）

第10题图

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

（11）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x2

x，则f(1) （12）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（13

）函数

y

的定义域是

（14）已知向量a，b满足 a 2b a b 6且a 1,b 2，

则a与b的夹角为（15）设

f(x)=asin2x bcos2x，其中a,b R,ab 0，

若

f(x) f(

第12题图

6

)

对一切则x R恒成立，则

①

f(11 12

) 0 ②

f(

7

10

)＜f(5)

③

f(x)既不是奇函数也不是偶函数

④

f(x)的单调递增区间是

k 6,k 2 3

(k Z)

⑤ 存在经过点 a,b 的直线与函数的图

f(x)像不相交

以上结论正确的是所有正确结论的编号）.

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定

区域内.

（16）(本小题满分13分)

在 ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C

所对的边长，a b 2cos B C 0，求边BC上的高.

（17）（本小题满分13分）

设直线l1:y k1x+1，l2:y=k2x 1，其中实数k1,k2满足k1k2+2 0，

（I）证明l1与l2相交；

（II）证明l2

1与l2的交点在椭圆2x+y2=1上.

（18）（本小题满分13分）

设f x ex

1 ax2

，其中a为正实数.

(Ⅰ)当a

4

3

时，求f(x)的极值点； (Ⅱ)若

f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.

（19）（本小题满分13分）

如图，

ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA 1，

OD 2， OAB, OAC, ODE, ODF都是正三角形。

(Ⅰ)证明直线BC∥EF；

(Ⅱ)求棱锥F

OBED的体积.

第19题图

（20）（本小题满分10分）

某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y bx a; （Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。

（21）（本小题满分13分）

在数1和100之间插入n个实数，使得这n 2个数构成递增的等比数列，将这n 2个数的乘积记作

Tn，再令an lgTn,n≥1.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn tanan tanan 1,求数列{bn}的前n项和Sn.

参考答案：安徽文数

（1） 答案：A 【命题意图】本题考查复数的运算与纯虚数的性质等.

解析：设

ai +ai i a a i a i=( i) i a

i， 而其为纯虚数，则有

a 且 a

解得a . （2） 答案：B 【命题意图】本题考查了集合运算中的交集和补集，题目较易，性低档题，主要考查学生的基

本知识和简单的运算能力.

解析：ðUT 1,5,6 ，那么S ðUT

1,5 .故选B. （3） 答案：C 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程与几何性质等.

22

解析：由于双曲线的标准方程为

x4 y8

1则a 2，故实轴长2a 4. （4） 答案：B 【命题意图】本题考查了圆的方程以及直线与圆的位置关系等，主要考查学生的基础知识和基

本运算求解能力.

解析：对圆x y x y 配方得(x ) (y ) ，则圆心为C 1,2 ，把C 1,2 代入直线

x y a 得a 1.

（5） 答案：D 【命题意图】本题考查对数函数的图象以及对数的运算等，关键是推理与分析能力的应用.

第一解析：由于点 a,b 在y lgx 图像上，则有b lga，结合各选项可知 b lga lga ，故点

a2

,2b 也在此图像上.

第二解析：（高考试题全解里的105页）对于A点 1

,b ，当x

11

a

a时，y lga

lga b b 不在图象上.对于B点 10a,1 b

当x 10a时，y lg 10a lg10 lga 1 b b，所以不在图象上.对于C点 10 a,b 1

，当x

10a时，y lg10

a

1 lga 1 b b 1，所以不在图象上.对于D点 a2,2b ， 当x a2时，y lga2 2lga 2b，所以该点在此图象上.

（6） 答案：B 【命题意图】本题考查了简单的线性规划问题以及目标函数的最值等.

第一解析：作出不等式组x y≤1,x y≤1,x≥0的可行域，如图中的阴影部分所示，根据图形结合目

标函数z x 2y可知，当取点A 0.1 时，z的最大值为0 2 1 2，当取点B 0, 1 时，z的最小值为0 2 1 2.

第二解析：（高考试题全解里的106页）作出可行域（如阴影部分所示），设z x 2y，作l0:x 2y 0，

把l0向左下方平移到点 0, 1 时，z有最小值，zmin 0 2 1 2，把l0向右上方平移到点 0,1 时，z有最大值，zmay

n 0 2 1 2.

1

A

x 2y

0

x y 1

-1 O 1 2

x

-1

x y 1

B

第6题答案图

7） 答案：A 【命题意图】本题考查了数列的通项公式与求和问题.

解析：由于an

n 1 3n 2 那么a1 a2 a10

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 15

8） 答案：C 【命题意图】本题考查了空间几何体的三视图以及几何体的表面积等.

解析：由三视图可知该空间几何体是一个台体，上底面是长与宽分别为4、2的矩形，下底面是边长为4

的正方形，台体的高为4，则其表面积为

S 4 2 4 4 1

2

2 4 4 24 2 48 9） 答案：D 【命题意图】本题考查了平面几何的性质以及古典概型的概率计算问题.

第一解析：从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点的基本事件即为从正六边形的6个顶点中随机选

择2个顶点的基本事件为AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共有15种情况；而以它们作为顶点的四形为矩形的基本事件AD,BE,CF,共有3种情况；那么由古典的概率计算公式可得所求的概率为P

315 1

5

. 第二解析：（高考试题全解里的106页）如图所示，从正六边形ABCDEF的

6个顶点中随机选4个顶点，共有C4

6

15（种）选法， 其中能够构成矩形的有FECB,AFDC,ABDE三种选法， 三季度春概率为

315 15

. （10） 答案：A 【命题意图】本题考查导数的运算法则，函数的图象与导函数的图象关系，关键是合理的推

理与分析能力.

第一解析：根据函数f x 在区间 0,1 上的图象知f x ≥0，可得a 0，

由于f x axn 1 x 2

axn 1 2x x2

那么f x naxn 1 1 2x x2

axn 2 2x axn 1 1 x n nx 2x 由函数f x 图象知当x

1

2

时函数f x 是减函数， 则有f 1 11

2

0,即n n 2 2

2

0,则n 2,结合各选项知n 1. 第二解析：（十年高考里的52页）f x a xn

1 x 2 axn 1 x 2

anxn 1 1 x 2

2axn 1 x ，

当n 1时，f x a 3x2 4x 1

，令f x 0得x 1或x

1

3

，可满足题意. (11) 答案：－3 【命题意图】本题考查函数的奇偶性及函数值的求解等.

解析：由于f x 是定义在R上的奇函数，则有f(1) f( 1) [2( 1)2 ( 1)] 3. (12) 答案：15 【命题意图】本题考查了算法的程序的识别与运算等.

解析：由程序框图可知，T为O到k的连接整数之和，即T 0 1 2 k k(k 1)2

，要满足条件，

（（（

即为T k(k 1)2

105，解得k 14（负值舍去），即当k 14时，T 105，不满足条件，接下来

k 15，此时T 105 15 105满足条件，输出对应的k 15.

(13) 答案：（－3,2） 【命题意图】本题考查函数的定义域以及二次不等式的解法.

解析：根据函数可知6 x x2 0可得 3 x 2. (14) 答案：

3

【命题意图】本题考查平面向量的数量积及其运算问题. 解析：设向量a与b的夹角为 ，而 a 2b a b a2 a b 2b2 12 1 2 cos 2 22 6，

可得cos

12则向量a与b的夹角为

3

. (15) 答案：①③ 【命题意图】本题考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换，以及推理与分析问题的

能力等.

解析：由于f(x) asin2x bcos2x x )，而f x ≤f

6

则有sin 2

6 1即sin

3

1

那么f 11 11 12

sin 2 12 11 6

3

2 3

3

0

故①是正确的；又f

7 10

sin 2 7 7 10 5

2 5 ,f 5 2 5 2

5

，

则有f 7 10 f 5 ，故②是错误的；由于sin 3

1， 则有 2k ,k Z，即

3223

2k ,k Z,那么f

x 2x

2x

2

3 2k

2x 2 3 既不是奇函数也不是偶函数，故③是正确的；由于f

x

2x 2 3

当f

x

3 2x

2x

2

6 时， k 6,k 2 3

k Z 为单调递减区间，故④是错误的；由于点 a,b 到原点的距离为

f

x

sin 2x a,b 在直线

y 之间，必与函数f x 的图象有交点，故⑤是错误的.

（16） 【命题意图】本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用正弦定理或余弦定理解三角

形，以及三角形的边与角之间的对应大小关系，考查综合运算求解能力和数形结合思维的应用.

解：由1 2cos(B C) 0和B+C A,得1 2cosA

0，cosA 12,sinA

再由正弦定理得sinB

bsinAa

由b a知B A，所以B不是最大角；B

2

，从而cosB 由上述结果知sinC sin

A B

1 2 .设边BC上的高为h

，则有h bsinC （17） 【命题意图】本题主要考查了两直线间的位置关系、两直线间相交的判断与证明、点在曲线上的判断与

证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力的应用等.

（Ⅰ）反证法：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1 k2,代入k1k2 2 0，得k21 2 0.此与k1为

实数的事实相矛盾，从而k1 k2,即l1与l2相交.

（Ⅱ）第一解析：由方程组

y k1x 1，解得交点

P x,y 坐标为 y k x 2,y k2 k1 2x 1

k ，

2 k1k2 k1 而2x2

y2

2 2 2

k k2

21 22

k k 1. 此即表明交点P x,y 在椭圆2x+y=1

2 k1 2 k

上.

y 1

第二解析：交点P x,y 的坐标满足 y k1x 1故知x k1 x y k2

x 10，从而

y 1代入

k1k2 2 0

k2 x

得

y 1y 1

2 0整理后，得2x2+y2=1.所以交点P在椭圆2x2+y2xx

=1上. （18） 【命题意图】本题考查导数的运算，导数的极值的判断，导数符号与函数单调性变化之间的关系，求解

二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.

解：对f x 求导得f x e

x

1 ax2 2ax

1 ax2

2

（Ⅰ）当a 4

时，若f x 0,则4x2 8x 3 0

解得x31

2,x1

2 2

. 结合①，可知 所以，x31

2是极小值点，x1

2 2

是极大值点. （Ⅱ）若f x 是R上的单调函数，则f x 在R上不变号，结合①与条件a 0，知a

x2

ax2 1≥0 在

R上恒成立，因此 4a2 4a 4a a 1 ≤0，由此并结合a 0，知0 a≤1.

（19） 【命题意图】本题主要考查了空间几何体点线面的位置关系中直线与直线、直线与平面、平面与平面的

位置关系，空间直线平行的证明，以及几何体的体积的计算等，关键是空间想象能力、运算能力和推理论证能力的考查等.

（Ⅰ）第一解析：证明：设G是线段DA与EB延长线的交点，

由于 OAB与

ODE都是正三角形， 第19题答案图

所以OB

1

2

DE ，

OG OD 2.同理，设G 是线段DA与FC延长

线的交战，有OG OD 2，又由于G和G 都在

线段DA的延长线上，所以G和G

重合.

在 GED

与

GFD中，由OB

12DE和OC 1

2

DF，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是 GEF的中位线，BC EF.

第二解析：（高考试题全解里的102页） 过点F作FQ AD,交AD于点Q，连接

QE，由平面

ABED 平面ADFC，

知FQ 平面ABED，从而FQ QE,FQ DQ，以Q为坐标原点，QE

为x轴正方向，

QD 为y轴正方向。

QF

为z轴下方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，由条件知

E

,F ,B3

3 2,0 ,C 0, 2,

则 BC

题答案图

,EF ,

第19 EF 2 BC

, BC EF

（

Ⅱ

）解：由OB 1,OE 2, EOB 60 ,知S EOB

OED是边长为2的正三角形， 故S OEDS四边形OBED S EOB S OED

. 过点F作FQ DG,交DG于点Q,由平面ABED 平面ACFD知，FQ就是四棱锥

F OBE的高，且D

FQV13

F OBED 3FQ S四边形OBED 2

. 20） 【命题意图】本题主要考查了回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义的求法，数据处理的

基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力.

解：（Ⅰ）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数

据预处理如下：

（

对预处理后的数据，容易算得 x 0, y 3.2,

b

4 21 2 11 2 19 4 29

260

42 22 22 42

40

6.5,a y bx 3.2. 由上述计算结果，知所求回归直线方程为 y 257 b x 2006 a 6.5 x 2006 3.2 即 y 6.5 x 2006 260.2 ①

（Ⅱ）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为

6.5 2012 2006 260.2 6.5 6 260.2 299.2 万吨 300 万吨 （未写近似值不扣

分）

（21） 【命题意图】本题主要考查了等比和等差数列的通项与求和，以及指数和对数函数的运算和性质、两角

差的正切公式等三角函数的性质，通过数列与函数的综合、数列与三角函数的交汇等来综合考查，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.

解：（Ⅰ）设t1,t2, tn 2构成等比数列，其中t1 1,tn 2 100,则Tn t1

t2 tn 1 tn 2,① Tn tn 2

tn 1 t2 t1,② ①×②并利用titn 3 i t1tn 2 102 1≤i≤n 2 ,

得T2 2 n t1tn 2 t2tn 1 tn 1t2 tn 2t1 102 n an lgTn n 2,n≥1.

（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知bn tan n 2

tan n 3 ,n≥1. 另一方面，利用 tan1 tan k 1 k tan 1

k tank1 tank 1 tank

，得

tan k 1 tank

tan k 1 tank

tan1

1

nn 2

n 2所以S tan k 1 tankn bk tan k 1 tank 1 tan n 3 tan3

n.

1

k 3

k

k 3

tan1

tan1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/49o1.html