大学物理学第8章作业题

8 －6 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为

5?2Φ?8.0?10sin100πt?Wb?，求在t?1.0?10s时，线圈中的感应电动势．

分析 由于线圈有N 匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数和，在此情况下，法拉第电磁感应定律通常写成ξ??N链．

解 线圈中总的感应电动势

ξ??NdΦdt??2.51?cos?100π?t

dΦdt??dψdt，其中ψ?NΦ称为磁

当t?1.0?10?2s 时，ξ?2.51V．

8 －7 有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以

dIdt的变化率增长．若有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所

示．求线圈中的感应电动势．

分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律ξ??通量就需用Φ?与B2 之和）．

为了积分的需要，建立如图所示的坐标系．由于B 仅与x 有关，即B?B(x)，故取一个平行于长直导线的宽为ｄx、长为d 的面元ｄS，如图中阴影部分所示，则dS?ddx，所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元dS?dxdy，则上述积分实际上为二重积分）．本题在工程技术中又称为互感现象，也可用公式EM??M解1 穿过面元ｄS 的磁通量为

dldtdΦdt来求解．由于回路处在非均匀磁场中，磁

?B?dS来计算（其中B 为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B1

S求解．

dΦ?B?dS?B1?dS?B2?dS?μ0I2π?x?d?ddx?μ0I2πxddx

因此穿过线圈的磁通量为

Φ??dΦ??2dμ0Idd2π?x?d?dx??2dμ0Id2πxddx?μ0Id2πln34

再由法拉第电磁感应定律，有

E??dΦ3?dI?μd ??0ln?dt4?dt?2π解2 当两长直导线有电流I 通过时，穿过线圈的磁通量为

Φ?μ0dI2πln34

线圈与两长直导线间的互感为

M?ΦI?μ0d2πln34

当电流以

dldt变化时，线圈中的互感电动势为

dI3?dI?μd ??0ln?dt?2π4?dtE??M试想：如线圈又以速率v 沿水平向右运动，如何用法拉第电磁感应定律求图示位置的电动势呢？此时线圈中既有动生电动势，又有感生电动势．设时刻t，线圈左端距右侧直导线的距离为ξ，则穿过回路的磁通量Φ?入E??dΦdt?B?dSS?f?1,ξ?，它表现为变量I和ξ的二元函数，将Φ代

dξdt?v，再令ξ＝d 即可

即可求解，求解时应按复合函数求导，注意，其中

求得图示位置处回路中的总电动势．最终结果为两项，其中一项为动生电动势，另一项为感生电动势．

8 －11 长为L的铜棒，以距端点r 处为支点，以角速率ω绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动.设磁感强度为B的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差．

分析 应该注意棒两端的电势差与棒上的动生电动势是两个不同的概念，如同电源的端电压与电源电动势的不同．在开路时，两者大小相等，方向相反（电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方向）．本题可直接用积分法求解棒上的电动势，亦可以将整个棒的电动势看作是OA 棒与OB 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．而EO A 和EO B 则可以直接利用第８ －2 节例1 给出的结果．

解1 如图（ａ）所示，在棒上距点O 为l 处取导体元ｄl，则

EAB??AB?v?B??dl??L-r-r?ωlBdl??12ωlB?L?2r?

因此棒两端的电势差为

UAB?EAB??12ωlB?L?2r?

当L ＞2r 时，端点A 处的电势较高

解2 将AB 棒上的电动势看作是OA 棒和OB 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．其中

EOA?12Bωr,EOB?212ωB?L?r?

2则

EAB?EOA?EOB??12ωBL?L?2r?

8 －12 如图所示，长为L 的导体棒OP，处于均匀磁场中，并绕OO′轴以角速度ω旋转，棒与转轴间夹角恒为θ，磁感强度B 与转轴平行．求OP 棒在图示位置处的电动势．

分析 如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律E??dΦdt 计算（此时必须构造一个

包含OP导体在内的闭合回路， 如直角三角形导体回路OPQO），也可用E???v?B??dl来

l计算．由于对称性，导体OP 旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的． 解1 由上分析，得

EOP?????v?B??dl

OPo?vBsin90cosαdl

lo???lsinθωBcos90?l2L?θdl

2??ωBsinθ?ldl?012ωB?Lsinθ?

由矢量v?B的方向可知端点P 的电势较高．

解2 设想导体OP 为直角三角形导体回路OPQO 中的一部分，任一时刻穿 过回路的磁通量Φ为零，则回路的总电动势

E??dΦdt?0?EOP?EPQ?EQO

显然，EQO ＝0，所以

EOP??EPQ?EQO?12ωB?PQ?2

由上可知，导体棒OP 旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP 等效．后者是垂直切割的情况．

8 －19 截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图（ａ）所示，共有N 匝（图中仅画出少量几匝），求该螺绕环的自感L．

分析 如同电容一样，自感和互感都是与回路系统自身性质（如形状、匝数、介质等）有关的量．求自感L 的方法有两种：1．设有电流I 通过线圈，计算磁场穿过自身回路的总磁通量，再用公式L?ΦI计算L．2．让回路中通以变化率已知的电流，测出回路中的感应电动

ELdI/dtdIdt势EL ，由公式L?计算L．式中EL 和

都较容易通过实验测定，所以此方法一般

适合于工程中．此外，还可通过计算能量的方法求解．

解 用方法1 求解，设有电流I 通过线圈，线圈回路呈长方形，如图（ｂ）所示，由安培环路定理可求得在R1 ＜r ＜R2 范围内的磁场分布为

B?μ0NI2πx

由于线圈由N 匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为

ψ?N?SB?dS?N?R2μ0NI2πxR1hdx?μ0NhI2π2lnR2R1

则

L?ψμ0NhI2π2lnR2R1

若管中充满均匀同种磁介质，其相对磁导率为μr ，则自感将增大μr倍．

8 －20 如图所示，螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为S1 和S2 ，磁导率分别为μ1 和μ2 ，管长为l，匝数为N，求螺线管的自感．（设管的截面很小）

分析 本题求解时应注意磁介质的存在对磁场的影响．在无介质时，通电螺线管内的磁场是均匀的，磁感强度为B0 ，由于磁介质的存在，在不同磁介质中磁感强度分别为μ1 B0 和μ2 B0 ．通过线圈横截面的总磁通量是截面积分别为S1 和S2 的两部分磁通量之和．由自感的定义可解得结果．

解 设有电流I 通过螺线管，则管中两介质中磁感强度分别为

B1?μ1nl?μ1NLI,B2?μ2nl?μ2NLI

通过N 匝回路的磁链为

Ψ?Ψ1?Ψ2?NB1S1?NB2S2

则自感

L?L1?L2?ψI?Nl2μ1S1?μ2S2

8 －23 如图所示，一面积为4.0 cm2 共50 匝的小圆形线圈A，放在半径为20 cm 共100 匝的大圆形线圈B 的正中央，此两线圈同心且同平面．设线圈A 内各点的磁感强度可看作是相同的．求：（1） 两线圈的互感；（2） 当线圈B 中电流的变化率为－50 A·ｓ－1 时，线圈A 中感应电动势的大小和方向．

分析 设回路Ⅰ中通有电流I1 ，穿过回路Ⅱ的磁通量为Φ21 ，则互感M ＝M21 ＝Φ21I1 ；也

可设回路Ⅱ通有电流I2 ，穿过回路Ⅰ的磁通量为Φ12 ，则M?M12?Φ12I2 ．

虽然两种途径所得结果相同，但在很多情况下，不同途径所涉及的计算难易程度会有很大的不同．以本题为例，如设线圈B 中有电流I 通过，则在线圈A 中心处的磁感强度很易求得，由于线圈A 很小，其所在处的磁场可视为均匀的，因而穿过线圈A 的磁通量Φ≈BS．反之，如设线圈A 通有电流I，其周围的磁场分布是变化的，且难以计算，因而穿过线圈B 的磁通量也就很难求得，由此可见，计算互感一定要善于选择方便的途径． 解 （1） 设线圈B 有电流I 通过，它在圆心处产生的磁感强度B0?NB的磁链近似为

ψA?NAB0SA?NANBμ0I2RSA

μ0I2R穿过小线圈A

则两线圈的互感为

M?ψAI?4?NANBV

μ0SA2R?6.28?10?6H

（2）EA??MdIdt?3.14?10互感电动势的方向和线圈B 中的电流方向相同．

8 －24 如图所示，两同轴单匝线圈A、C 的半径分别为R 和r，两线圈相距为d．若r很小，可认为线圈A 在线圈C 处所产生的磁场是均匀的．求两线圈的互感．若线圈C 的匝数为N 匝，则互感又为多少？

解 设线圈A 中有电流I 通过，它在线圈C 所包围的平面内各点产生的磁 感强度近似为

B?μ0IR2?R?d2223/2?

穿过线圈C 的磁通为

ψ?BSC?μ0IR2?R?d2223/2?πr

2则两线圈的互感为

M?ψI?μ0πrR2?R?d22223/2?

若线圈C 的匝数为N 匝，则互感为上述值的N 倍．

8 －26 一个直径为0.01 m，长为0.10 m 的长直密绕螺线管，共1 000 匝线圈，总电阻为7.76 Ω．求：（1） 如把线圈接到电动势E ＝2.0 V 的电池上，电流稳定后，线圈中所储存的磁能有多少？ 磁能密度是多少？*（2） 从接通电路时算起，要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半，需经过多少时间？

分析 单一载流回路所具有的磁能，通常可用两种方法计算：（1） 如回路自感为L（已知或很容易求得），则该回路通有电流I 时所储存的磁能Wm?12LI，通常称为自感磁能．（2）

2由于载流回路可在空间激发磁场，磁能实际是储存于磁场之中，因而载流回路所具有的能量又可看作磁场能量，即Wm?B2?VwmdV，式中wm为磁场能量密度，积分遍及磁场存在的空

间．由于wm?2μ，因而采用这种方法时应首先求载流回路在空间产生的磁感强度B 的分

布．上述两种方法还为我们提供了计算自感的另一种途径，即运用

NSl212LI2??V wmdV求解L．

解 （1） 密绕长直螺线管在忽略端部效应时，其自感L?流I?ER，电流稳定后，线圈中电

，则线圈中所储存的磁能为

12μ0NSE2lR222Wm?LI2??3.28?10?5J

在忽略端部效应时，该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存在于螺线管

中，并为均匀磁场，故磁能密度wm 处处相等，wm?WmSL?4.17J?m?3

（2） 自感为L，电阻为R 的线圈接到电动势为E 的电源上，其电流变化规律

R?t?EE??1?eL?，当电流稳定后，其最大值Im? I???RR??R?t?2EE?1?12?，将其代入I??1?eL?中，得 ??LIm?，则I??2RR?2?2???按题意1

12LI2?2?Lt??ln?1?ln2???R?2?RL?2?1.56?10??4s

8 －13 如图（ａ）所示，金属杆AB 以匀速v?2.0m?s?1平行于一长直导线移动，此导线通有电流I ＝40A．求杆中的感应电动势，杆的哪一端电势较高？

分析 本题可用两种方法求解．（1） 用公式E???v?B??dl求解，建立图（a）所示的

l坐标系，所取导体元dl?dx，该处的磁感强度B?μ0I2πx．（2） 用法拉第电磁感应定律求

解，需构造一个包含杆AB 在内的闭合回路．为此可设想杆AB在一个静止的形导轨上滑动，如图（ｂ）所示．设时刻t，杆AB 距导轨下端CD的距离为y，先用公式Φ?过该回路的磁通量，再代入公式E??势．

解1 根据分析，杆中的感应电动势为

EAB?dΦdt?B?dS求得穿

S，即可求得回路的电动势，亦即本题杆中的电动

?AB?v?B??dl?dxl???1.1mμ02πx0.1mvdx??μ0Iv2πln11??3.84?10?5V式中负号表示

电动势方向由B 指向A，故点A 电势较高．

解2 设顺时针方向为回路ABCD 的正向，根据分析，在距直导线x 处，取宽为ｄx、长为y 的面元ｄS，则穿过面元的磁通量为

dΦ?B?dS?μ0I2πxydx

穿过回路的磁通量为

Φ??SdΦ??1.1mμ0I2πx0.1mydx??μ0Iy2πln11

回路的电动势为

E??dΦdt??μ0I2πxln11dydt??μ0Iy2π??3.84?10?5V

由于静止的形导轨上电动势为零，所以

EAB?E??3.84?10?5V

式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB 导体来说，电动势方向应由B 指向A，故点A 电势较高．

8 －17 半径为R ＝2.0 cm 的无限长直载流密绕螺线管，管内磁场可视为均匀磁场，管外磁场可近似看作零．若通电电流均匀变化，使得磁感强度B 随时间的变化率为正值，试求：（1） 管内外由磁场变化激发的感生电场分布；（2） 如求距螺线管中心轴r ＝5．0 cm处感生电场的大小和方向．

dBdtdBdt为常量，且

?1?0.010T?s，

分析 变化磁场可以在空间激发感生电场，感生电场的空间分布与场源———变化的磁场（包括磁场的空间分布以及磁场的变化率

dBdt?B?t 等）密切相关，即?Ekdl???SS?dS.在

一般情况下，求解感生电场的分布是困难的．但对于本题这种特殊情况，则可以利用场的对称性进行求解．可以设想，无限长直螺线管内磁场具有柱对称性，其横截面的磁场分布如图所示．由其激发的感生电场也一定有相应的对称性，考虑到感生电场的电场线为闭合曲线，因而本题中感生电场的电场线一定是一系列以螺线管中心轴为圆心的同心圆．同一圆周上各点的电场强度Ek 的大小相等，方向沿圆周的切线方向．图中虚线表示r ＜R和r ＞R 两个区域的电场线．电场线绕向取决于磁场的变化情况，由楞次定律可知，当绕向与B 方向满足右螺旋关系；当

dBdtdBdt?0时，电场线

?0 时，电场线绕向与前者相反．

解 如图所示，分别在r ＜R 和r ＞R 的两个区域内任取一电场线为闭合回路l（半径为r 的圆），依照右手定则，不妨设顺时针方向为回路正向． （1） r ＜R， E??lEk?dl?Ek?2πr??rdB2dtddt?B?dS??πr2dBdt

Ek??

ddtr ＞R， E??lEk?dl?Ek?2πr???B?dS??πR2dBdt

Ek??由于

dBdtRdB2rdt2

?0，故电场线的绕向为逆时针．

（2） 由于r ＞R，所求点在螺线管外，因此

Ek??RdB2rdt2

将r、R、的．

dBdt的数值代入，可得Ek??4.0?10?5V?m?1，式中负号表示Ek的方向是逆时针

8 －21 有两根半径均为a 的平行长直导线，它们中心距离为d．试求长为l 的一对导线的自感（导线内部的磁通量可略去不计）．

分析 两平行长直导线可以看成无限长但宽为d 的矩形回路的一部分．设在矩形回路中通有逆时针方向电流I，然后计算图中阴影部分（宽为d、长为l）的磁通量．该区域内磁场可以看成两无限长直载流导线分别在该区域产生的磁场的叠加．

解 在如图所示的坐标中，当两导线中通有图示的电流I 时，两平行导线间的磁感强度为

B?μ0I2πr?μ0I2π?d?r?

穿过图中阴影部分的磁通量为

Φ??SB?dS??d?aaBldr?μ0lπlnd?aa

则长为l 的一对导线的自感为

L?ΦI?μ0lπlnd?aa

如导线内部磁通量不能忽略，则一对导线的自感为L?L1?2L2．L1 称为外自感，即本题已求出的L，L2 称为一根导线的内自感．长为l的导线的内自感L2?自行求解．

8 －25 如图所示，螺绕环A 中充满了铁磁质，管的截面积S 为2.0 cm2 ，沿环每厘米绕

μ0l8π，有兴趣的读者可

有100 匝线圈，通有电流I1 ＝4.0 ×10 A，在环上再绕一线圈C，共10 匝，其电阻为0.10 Ω，今将开关Ｓ 突然开启，测得线圈C 中的感应电荷为2.0 ×10 －3 C．求：当螺绕环中通有电流I1 时，铁磁质中的B 和铁磁质的相对磁导率μr．

－2

分析 本题与题８ －８ 相似，均是利用冲击电流计测量电磁感应现象中通过回路的电荷的方法来计算磁场的磁感强度．线圈C 的磁通变化是与环形螺线管中的电流变化相联系的． 解 当螺绕环中通以电流I1 时，在环内产生的磁感强度

B?μ0μrn1I1

则通过线圈C 的磁链为

ψc?N2BS?N2μ0μrn1I1S

设断开电源过程中，通过C 的感应电荷为qC ，则有

qc??1RΔψc??1R?0?ψc??N2μ0μrn1I1SR

由此得

B?μ0μrn1I1?RqcN2S?0.10T

相对磁导率

μr?RqcN2Sμ0n1I1?199

8 －31 设有半径R ＝0.20 m 的圆形平行板电容器，两板之间为真空，板间距离d ＝0.50

cm，以恒定电流I ＝2.0 A 对电容器充电．求位移电流密度（忽略平板电容器的边缘效应，设电场是均匀的）．

分析 尽管变化电场与传导电流二者形成的机理不同，但都能在空间激发磁场．从这个意义来说，变化电场可视为一种“广义电流”，即位移电流．在本题中，导线内存在着传导电流Ic，而在平行板电容器间存在着位移电流Id，它们使电路中的电流连续，即Id?Ic． 解 忽略电容器的边缘效应，电容器内电场的空间分布是均匀的，因此板间位移电流Id??Sjd?dS?jdπR，由此得位移电流密度的大小

jd?IdπR22?IcπR2?15.9A?m?2

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