《线性代数》习题四答案

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1 习题四(A)

1.解:(1)?E?A???234???5??6?(??6)(??1)?0

2??3 得特征值?1?6,?2??1.

对于?1?6,解对应的齐次线性方程组?6E?A?X?0,

可得它的一个基础解系?1?(1,?1)T,所以,A的属于特征值6的全部特征向量为c1?1,(c1?0,为任意常数)

对于?2??1,解对应的齐次线性方程组??E?A?X?0,

T可得它的一个基础解系?2?(4,3),所以,A的属于特征值?1的全部特征

向量为c2?2,(c2?0,为任意常数)

??2(2)?E?A?00?1?10?(??2)(??1)?0

2??21??1得特征值?1??2?2,?3?1,

对于?1??2?2,解对应的齐次线性方程组?2E?A?X?0,

TT可得它的一个基础解系?1?(1,0,0),?2?(0,?1,1),所以,A的属于特

征值2的全部特征向量为c1?1?c2?2,(c1,c2为不全为零的任意常数) 对于?3?1,解对应的齐次线性方程组?E?A?X?0,

T可得它的一个基础解系?3?(?1,0,1),所以,A的属于特征值1的全部特

征向量为c3?3,(c3?0,为任意常数).

??1(3)?E?A??3?63?3?3?(??2)(??4)?0

2??56??4得特征值?1??2??2,?3?4

对于?1??2??2,解对应的齐次线性方程组??2E?A?X?0, 可得它的一个基础解系?1?(1,1,0)T,?2?(0,1,1)T,所以,A的属于特征值?2的全部特征向量为c1?1?c2?2,(c1,c2为不全为零的任意常数) 对于?3?4,解对应的齐次线性方程组?4E?A?X?0,

T可得它的一个基础解系?3?(1,1,2),所以,A的属于特征值4的全部特

征向量为c3?3,(c3?0,为任意常数).

?(4)0?10?(??1)(??1)?0

2?E?A?0?1??10?得特征值?1??2?1,?3??1

对于?1??2?1,解对应的齐次线性方程组?E?A?X?0,

TT可得它的一个基础解系?1?(0,1,0),?2?(1,0,1),所以,A的属于特征

值1的全部特征向量为c1?1?c2?2,(c1,c2为不全为零的任意常数) 对于?3??1,解对应的齐次线性方程组??E?A?X?0,

T可得它的一个基础解系?3?(?1,0,1).,所以,A的属于特征值?1的全部

特征向量为c3?3,(c3?0,为任意常数).

?2.解:(1)?A?0,??E?A?????0

n?得特征值??0(n重),解齐次线性方程组 (0E?0)X?0, 可知X可取任一向量,?特征向量为任一非零n维列向量.

??a(2)?A?aE,??E?aE???(??a)?0n

??a得特征值??a(n重),解齐次线性方程组 (aE?aE)X?0, 可知X可取任一向量,?特征向量为任一非零n维列向量. 3.解:detA??1?2?3?4,trA??1??2??3?2.

4.解:设?是A?1的对应于特征值?的特征向量,即A?1????,则

?3AA????A??,即??A?,从而???5?111??1?1?1???????, ?1??k???k?1?3?k????可得?,解之得,k??5或k?1.

?5?k?1k???5.证明: 设?是A的对应于特征值?0的特征向量 (1) ?A???0??(kA)??k(A?)?k(?0?)?(k?0)?. 即k?0是kA的一个特征值.

(2) 当m?2时,A??A?A???A???????A?????

22即?是A2的一个特征值.

2设?0m?1是矩阵Am?1的一个特征值,则Am?1???0m?1?,于是

A??A(Amm?1?)??0m?1mA???0?.即?0是矩阵A的一个特征值.

mm(3)?A可逆,故?0?0

又A???0?,?A?1A??A?1?0?,????0A?1?,?A?1??11?0?.

即

?0是矩阵A?1的一个特征值

(4) ?A*?AA,由(1),(3)可得A*???1detA?0?,

即

detA?0是矩阵A*的一个特征值,

(5) ?A???0??kE??A??k???0??(kE?A)??(k??0)?.

即k??0是矩阵kE?A的一个特征值. 6.证明: 设A????,则

?TAT???TT??TAA?????,????????0,2TT2TT2T?(1??)???0???0,????0?1??2

?0????1.7. 证明：（反证法）假设c1?1?c2?2是A的属于特征值?的特征向量，则A(c1?1?c2?2)??(c1?1?c2?2).

?A(c1?1?c2?2)?c1A?1?c2A?2?c1?1?1?c2?2?2，

?(c1?1?c2?2)?c1??1?c2??2，

c1?1?1?c2?2?2?c1??1?c2??2

?c1(???1)?1?c2(???2)?2?0.

??1??2，??1,?2线性无关.

于是，c1????1??c2????2??0.

?c1,c2?0，????1????2?0,??1??2，矛盾.▍

8.证明:?A?B??可逆P使得P?1AP?B (1)B?P?1AP?P?1AP?A

(2)r?B??r?P?1AP??r?AP??r?A? (3)BT??P?1AP??PTAT?P?1??PTAT?PT(4) B?1??P?1AP??1TT??1,从而AT?BT.

?P?1A?1?P?1??1,从而A?1?B?1.

9.证明: ?A?B??可逆P使得P?1AP?B,

?C?D??可逆Q使得QCQ?D,?1?P?1???00??A?1??Q??00??P??C??00??P?1AP???Q??0??B????1QCQ??000?? D?10.解:均可对角化

?1P?(1)取???14??3?P?1??1AP???00??. 6??1?(2)取P??0?0??1?(3)取P??1?0?0110?101??1?2??1??0??1???2??1PAP????2??.? 1????.? 4????2??1PAP?????2

?01?1??1?(4)取P???100?P?1AP?????1??. ?011?????1??11.解:

(1)?E?A???1?121??3?(??2)?0,得??2

对于??2,解对应的齐次线性方程组?2E?A?X?0, 可得它的一个基础解系?1?(1,1)T,从而不可对角化.

??4?2?3(2)?E?A??2??1?2?(??3)(??1)2?0

12?可得?1?3,?2??3?1, ?r(E?A)?2?1,从而不可对角化.

??11?1(3)?E?A??2??42?(??2)2(??6)?0

33??5可得?1??2?2,?3?6,

对于?1??2?2,解对应的齐次线性方程组?2E?A?X?0,

可得它的一个基础解系??(1,?1,0)T,?T12?(1,0,1),

对于?3?6,解对应的齐次线性方程组?6E?A?X?0,

可得它的一个基础解系?T3?(1,?2,3).

?111??2令

P????10?2???,可得P?1?A??P2?013???????.

6????3(4)?E?A??12?71000034?(??2)?0

??1?4?3??5?3??1可得??2(四重).?r(2E?A)?1?0,从而不可对角化.

12.解:矩阵D是对角矩阵,而各选项中的矩阵与D有相同的特征值 ?1??2?2,?3?3,故只需判断各矩阵能否对角化.

（1）显然，A1??,从而与D相似

（2）r?2E?A2??2?1,故矩阵A2不可对角化,从而不可能与D相似. (3) r?2E?A3??1,故矩阵A3可对角化,从而与D相似

(4) r?2E?A4??2?1,故矩阵A4不可对角化,从而不可能与D相似 13.解:(1) ?A?B?detA?detB,trA?trB

从而detA??2?detB??2y,trA?2?x?trB?2?y?1 解得x?0,y?1

(2) ?A?B,?A,B有相同的特征值,从而A的特征值为2,1,?1 当??2时,解对应的齐次线性方程组?2E?A?X?0,得基础解系

?1??1,0,0?.

当??1时,解对应的齐次线性方程组?E?A?X?0,得基础解系

T?2??0,1,?1

当???1时,解对应的齐次线性方程组??E?A?X?0,得基础解系

T?3??0,1,?1?

T?1?令P?0??0?0110??1,则P?1AP?B. ??1????214.解: ?E?A?00?1?10?(??2)(??1)?0,

2??21??1可得?1??2?2,?3?1

当?1??2?2时,解对应的齐次线性方程组?2E?A?X?0, 可得它的一个基础解系?1?(1,0,0)T,?2?(0,?1,1)T, 当?3?1时,解对应的齐次线性方程组?E?A?X?0,

T可得它的一个基础解系?3?(1,0,?1).

?1?令P??0?0?0?111??0,??1???2??1PAP????2?1????1,则P?0???0?1????2n??P???0?01???2?12nnn?1?1?1n?1??0 ??1???2n?则(P?1AP)n?P?1AnP?P?1???2n1?22?1??0?. 1?? 15.解:令P???1,?2,?3??1??1??1?1010??1???11,则PAP?????1??2???, 3??其中P?1?1??0???1?1?10?1??1 ?1???1??A?P????1?3A?P???2??1??1?P??2?????23????1??1?P??26??3???263???11?11??2?4???71?77??26. ?34??2316.证明: ?A?B,从而存在可逆矩阵P?1,使得P?1AP?B 所以B2?P?1APP?1AP?P?1A2P?P?1AP?B.

?17.解:(1)?E?A?0?10?10?????1????1?

?0?可得?1?0,?2?1,?3??1,

对于?1?0,解对应的齐次线性方程组?0E?A?X?0,得其基础解系 ?1?(0,1,0).

T对于?2?1,解对应的齐次线性方程组?E?A?X?0,得其基础解系 ?2?(1,0,1).

T对于?3??1,解对应的齐次线性方程组??E?A?X?0,得其基础解系 ?3?(1,0,?1).

?1?21?1??1,??,0,??3?? 2?2??2T将向量?2,?3单位化可得?2??,0,令Q???1,?2,?3???0???1??0??12012???02???10?,则QAQ????1????2?11?? ??1????1(2)?E?A??1?1?1?1?1??(??3)?0.

2??1?1??1可得?1??2?0,?3?3

对于?1??2?0,解对应的齐次线性方程组?0E?A?X?0,得其基础解系?1?(?1,1,0),?2???1,0,1?.

TT对于?2?3,解对应的齐次线性方程组?3E?A?X?0,得其基础解系 ?3?(1,1,1).

TT把向量?1,?2正交化,有?1???1,1,0?再将向量?1,?2,?3单位化,有

??121??,0?,?2???2?????????????12120??T1??1,?2???,?,1?

2??2T?1???,16161626,?12?11??1,,??,,3??? 66?33??3TT令Q???1,?2,?3?1??3??01???1?,则QAQ??3???1??3?0???. 3??

??1(3)?E?A?20202?(??1)(??2)(??5)?0.

??22??3

可得?1??1,?2?2,?3?5对于?1??1,解对应的齐次线性方程组??E?A?X?0,得其基础解系 ?1?(2,2,1).

T对于?2?2,解对应的齐次线性方程组?2E?A?X?0,得其基础解系 ?2?(2,?1,?2).

T对于?3?5,解对应的齐次线性方程组?5E?A?X?0,得其基础解系 ?3?(1,?2,2).

T将向量?1,?2,?3单位化可得 ?1?13(2,2,1)T,?2?13(2,?1,?2)T,?3?13(1,?2,2)T.

??1??1令Q?(?1,?2,?3),则QAQ????2???. 5????2(4)?E?A?11?111?1?111?(??1)(??5)?0.

3??2?11??21??2可得?1??2??3?1,?4?5

对于?1??2??3?1,解对应的齐次线性方程组?E?A?X?0,得其基础解系?1?(1,1,0,0),?2??1,0,1,0?,?3???1,0,0,1?

TTT对于?4?5,解对应的齐次线性方程组?5E?A?X?0,得其基础解系?4?(1,?1,?1,1)

T把向量?1,?2,?3正交化,有

T?1??1,1,0,0?1?1??111?,?2??,?,1,0?,?3???,,,1?

2?2??333?TT将向量?1,?2,?3,?4单位化可得

112?1??1??1??,,0,0?,?2??,?,,0?,266?2??6?T?3?????111???1,??,?,?,?4??222?23232323??2,,,121200?1616260?1231231233231??2??11????2?, 则Q?1AQ???1???2???1??2?T1113TT

?????令Q????????11???. ??5?18.解:(1)设与向量?1正交的向量为???x1,x2,x3?,则 ?x1?T?1???0,1,1?x2??x?3???x2?x3?0, ???TT解此线性方程组,可得其基础解系?2??1,0,0?,?3??0,?1,1? 从而A对应于特征值1的特征向量为?2??1,0,0?,?3??0,?1,1?.

TT(2)将?1,?2,?3单位化:

11?11?T???1??0,,,??1,0,0,??0,?,??23???

22?22?????0??1??2??1??2?0????11???,????2???1??2?TT100令Q???1,?2,?3?1?? ?1??则Q为正交矩阵,且Q?1AQ??,所以

?1??0??0?00?10???1. ?0??A?Q?Q?1?Q?QT19.解:由于A中各行元素之和小于1,由定理4.17, A的所有特征值的模小于1,再由定理4.15,可知limA?0.

n??n?Rt??1.120.解:(1)?????Ft??0.1?1.1?x(t)???0.1?0.15??Rt?1????0.85??Ft?1?

?0.15??1.1?x(t?1),令A??0.85??0.1t?0.15??. 0.85?(2)x(t)?Ax(t?1)???Ax(0),

?E?A?(??1)(??0.95)?0

可得?1?1,?2?0.95,

当?1?1时,解对应的齐次线性方程组?E?A?X?0,得基础解系 ?1?(3,2)

T当?2?0.95时,解对应的齐次线性方程组?0.95E?A?X?0,得基础解系 ?2?(1,1).

T令P?(?1,?2),?P?1?1AP???00?? 0.95?t?3?3?0.95?t??2?3?0.95??1A?P??0tt0??1?3?2?0.95t???Pt0.95??2?2?0.95t

?10??6?4?0.95?x(t)?A????t?8??4?4?0.95??.??6?(3)limx(t)???相互依存,使数量趋于稳定.