高中数学复习精讲 空间几何体的三视图、表面积和体积

空间几何体的三视图、表面积和体积

1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算. 2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.

热点一 三视图与直观图 1．一个物体的三视图的排列规则

俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”． 2．由三视图还原几何体的步骤

一般先依据俯视图确定底面再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体．

例1 (1)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )

答案 D

解析 所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧(左)视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的体对角线，在侧(左)视图中体现为矩形的自左下至右上的一条对角线，因不可见，故用虚线表示，由以上分析可知，故选D.

(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________． 答案 2＋2 2

解析 如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，

则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝2

. 2

而四边形AECD为矩形，AD＝1， ∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝由此可还原原图形如图所示．

2＋1. 2

在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′， ∴这块菜地的面积为

1

S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′ 2122

＝×?1＋1＋?×2＝2＋. 2?22?

思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑．

2

＋1， 2

跟踪演练1 (1)(2017·河北省武邑中学模拟)已知某锥体的正(主)视图和侧(左)视图如图，则该锥体的俯视图不可能是( )

答案 D

解析 A项，该锥体是底面边长为2，高为3的正四棱锥． B项，该锥体为底面半径为1，高为3的圆锥．

C项，该锥体是底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥．

D项，由于该图形不满足三视图原则“宽相等”，所以不可能是该锥体的俯视图，故D项不符合题意． 故选D.

(2)(2017·衡阳联考)如图所示，三棱锥V－ABC的底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，侧面VAC与底面ABC垂直，若以垂直于平面VAC的方向作为正(主)视图的方向，垂直于平面ABC的方向为俯视图的方向，已知其正(主)视图的面积为23，则其侧(左)视图的面积是( ) A.

3

B.3 2

C．23 D．3 答案 B

123

解析 设三棱锥的高为h，AB＝BC＝2a，则AC＝2a，S正(主)视图＝×2a×h＝23?h＝，

2a1a23

S侧(左)视图＝ah＝×＝3.

22a故选B.

热点二 几何体的表面积与体积

空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．

例2 (1)下图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )

A．48－π B．96－π C．48－2π D．96－2π 答案 D

解析 由已知中的三视图可知，该几何体是一个长方体挖掉两个圆锥所得的组合体，所以几何体的体积为1

4×4×6－2××π×12×3＝96－2π，故选D.

3

1

(2)(2017·山东)由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．

4

π

答案 2＋ 2

1

解析 该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个半径为1，高为1的圆柱体构成，

41π

∴V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋. 42

思维升华 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和．

(2)求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

跟踪演练2 (1)(2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

12A.＋π 33

12B.＋π 33

122C.＋π D．1＋π 366答案 C

解析 由三视图知，半球的半径R＝

2，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，所以几何体的体积2

114122

V＝×1×1×1＋×π×??3＝＋π，故选C.

323?2?36

(2)(2017届云南省师范大学附属中学月考)如图，是某组合体的三视图，则外部几何体的表面积为( )

A．4π B．12π C．24π 答案 D

解析 组合体为轴截面为等边三角形的圆锥和它的内切球，球的半径为r＝2，圆锥的高为3r＝6，圆锥底1

面半径为3r＝23，圆锥母线长为23r＝43，所以S圆锥表＝π(23)2＋(2π·23)·43＝36π，故选D.

2热点三 多面体与球

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图．

D．36π

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