3.1.2复数的几何意义

新课导入实数的几何意义？在几何 上，我们用 什么来表示 实数?

实数可以用数轴 上的点来表示.

实数 一一对应 数轴上的点 (数 ) (形 )

类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？

回 忆

… 复数的 一般形 式？

Z=a+bi(a, b∈R)实部 虚部

一个复数 由什么确 定？

3.1.2y b y

z=a+bi Z(a,b)b

z=a+bi Z(a,b)

o

a

x

o

a

x

教学重难点重点 对复数几何意义的理解以及复数的向 量表示.

难点 由于理解复数是一对有序实数不习惯，对 于复数几何意义理解有一定困难.

对于复数向量表示的掌握有一定困难.

探究

复数的实质是什么？

任何一个复数z=a+bi,都可以由一个 有序实数对(a,b)唯一确定.由于有序实数 对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对 应，因此复数集与平面直角坐标系中的 点集之间可以建立一一对应.

可用下图表示出他们彼此的关系. 有序实数对(a,b)

复数z=a+bi

一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)

那么现在复数z=a+bi可以在平面直 角坐标系中表示出来，如图所示： y

z=a+bib

Z(a,b)

建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)x

o

a

x轴------实轴 y轴------虚轴

复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.

观察实轴上的点都表示实数；虚 轴上的点都表示纯虚数，除原点

外，因为原点表示实数0.复数z=a+bi用点Z(a,b)表示. 复平面内的点Z的坐标是(a,b),而 不是(a, bi),即复平面内的纵坐标

轴上的单位长度是1,而不是i.

练一练 复平面内的原点(0,0)表示( 实数0); 实轴上的点(2,0)表示(实数2); 虚轴上的点(0,-1)表示( 纯虚数-i ); 点(-2,3)表示( 复数-2+3i).

依照这种表示方法，每一个 复数，有复平面内唯一的一个点 和它对应；反过来，复平面内的 每一个点，有唯一的一个复数和 它对应.

由此可知，复数集C和复平面内所 有的点所成的集合是一一对应的. 复数的几何意义之一是： 记住！

复数 z=a+bi

一一对应

复平面内 的点Z(a,b)

在平面直角坐标系中，每一个 平面向量都可以用一个有序实数对 来表示，而有序实数对与复数是一 一对应的.这样，我们还可以用平面 向量来表示复数.

可用下图表示出他们彼此的关系. 直角坐标系中 复数z=a+bi 一一对应 的点Z(a,b) z=a+bi Z(a,b) 平面向量y b

OZa

o

x

由此可知，复数集C和复平面内 的向量所成的集合也是一一对应的. 复数的另一几何意义之一是：

复数z=a+bi

一一对应

平面向量OZ

注意为了方便起见，我们常把复数z=a+bi说

成点Z或说成向量 OZ 且规定相等的向量 表示同一个复数.向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模，记作 |z|或|a+bi|.如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a, 它的模等于|a|(就是a的绝对值).由

模的定义可 知： |z|= |a+bi|=r=

a +b 0, r ∈ R).2 2(r

同学们还应明确：任何一个复数z=a+bi与复平面内的一点 Z(a,b)对应，复平面内任意一点Z(a,b)又可

以与以原点为起点，点Z(a,b)为终点的量 OZ对应.这些对应都是一一对应，即

z=a+bi

Z(a,b)

一一对应

OZ

例题1

画一画

找出与下列复数对应的点的位置,且在复 平面内画出这些复数对应的向量： (1)i; (2)2-2i; (3)(2+i) ×i; (4)i-1;

解：(2+i) ×i4

y

(2+i) ×i 转化为 -1+2ii

i-1

2 1-2 -1 O 2 4

i = -1x

2

-2

2-2i

注意

解：4

y

Z3:(2+i) ×iZ4:i-1

2 1 -2

Z1:iO 2 4 x

-2 -1

Z2:2-2i

例题2已知某个平行四边形的三个顶 点所对应的复数分别为2,4+2i, -2+4i,求第四个顶点对应的复数.

自己动动手

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