北师大版九年级数学上册 第1章 1.2 《矩形的判定》 同步测试(含答案)
更新时间:2023-05-30 10:54:01 阅读量: 实用文档 文档下载
北师版九年级数学上册第一章特殊平行四边形
1.2矩形的判定
同步测试
题号一二三总分
得分
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(共10小题,3*10=30)
1.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )
A.AB=CD B.AD=BC
C.AC=BD D.AB=BC
2.如图所示,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是其边AB,BC,CD,DA的中点,若四边形EFGH是矩形,则下列说法正确的是( )
A.四边形ABCD是矩形
B.四边形ABCD一定是平行四边形
C.AC⊥BD
D.AC=BD
3.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A.AB=BE
B.DE⊥DC
C.∠ADB=90°
D.CE⊥DE
4.下列四边形不是矩形的是( )
A.有三个角都是直角的四边形
B.四个角都相等的四边形
C.一组对边平行,且对角相等的四边形
D.对角线相等且互相平分的四边形
5. 如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,要使它成为矩形,需再添加的条件是()
A.AO=OC B.AC=BD
C.AC⊥BD D.BD平分∠ABC
6.如图,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=3,要使?ABCD为矩形,则OB的长为()
A.4 B.3 C.2 D.1
7.对于四边形ABCD,给出下列4组条件:①∠A=∠B=∠C=∠D;②∠B=∠C=∠D;③∠A=∠B,∠C=∠D;④∠A=∠B=∠C=90°,其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有() A.1组B.2组C.3组D.4组
8. 如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点.添加下列条件后,不能得到四边形ADEF是矩形的是()
A.∠BAC=90° B.BC=2AE
C.ED平分∠AEB D.AE⊥BC
9.如图1-2-26,已知四边形ABCD,E,F,G,H分别是四边的中点,若使四边形EFGH是矩形.则需要再满足的条件是()
A.AC=BD B.BC∥AD
C.AB=BC D.AC⊥BD
10. 四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,△OAB为等边三角形,BC= 3.则四边形ABCD的周长是()
A.3-1
B.1+3
C.2(3-1)
D.2(1+3)
第Ⅰ卷(非选择题)
二.填空题(共8小题,3*8=24)
11. 如图,将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA,添加一个条件:______________________________________,使四边形ABCD为矩形.
12. 在平面直角坐标系中,A点坐标为(2,0),B点坐标为(0,1),要使四边形BOAC为矩形,则C 点的坐标为____________.
13.在四边形ABCD中,如果∠A=90°,那么还不能判定四边形ABCD是矩形,现再给出如下说法:①对角线AC,BD互相平分,那么四边形ABCD是矩形;②∠B=∠C=90°,那么四边形ABCD是矩形;③对角线AC=BD,那么四边形ABCD是矩形.其中正确的说法有____.(填序号)
14. 如图,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是_________.
15.如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点,若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为.
16.如图,工人师傅砌门时,要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是不是矩形),在确保两组对边分别平行的前提下,只要测量出对角线AC,BD的长度,当AC________(填“等于”或“不等于”)BD时,门框符合要求;
17.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,当△ABC 满足条件__________时,四边形AEDF是矩形.
18. 如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB请你添加一个条件,使四边形DBCE是矩形.
三.解答题(共7小题,46分)
19.(6分)如图,在?ABCD中,M是边AB的中点,且∠AMD=∠BMC,求证:四边形ABCD是矩形.
20. (6分) 如图,在?ABCD中,AF,BH,CH,DF分别是∠BAD,∠ABC,∠BCD,∠ADC的平分线.
求证:四边形EFGH为矩形.
21. (6分)如图,已知MN∥PQ,同旁内角的平分线AB,CB和AD,CD分别相交于点B,D,连接BD,试写出线段AC和BD之间的数量关系,并说明理由.
22.(6分) 如图,DB ∥AC ,且DB =12
AC ,E 是AC 的中点. (1)求证:BC =DE ;
(2)连接AD ,BE ,若要使四边形DBEA 是矩形,则需给△ABC 添加什么条件,为什么?
23.(6分) 如图,在△ABC 中,AB=AC,若将△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC.
(1)试猜想AE 与BF 有何关系,说明理由;
(2)当∠ACB 为多少度时,四边形ABFE 为矩形?说明理由.
24.(8分) 如图,在△ABC 中,点O 是边AC 上一个动点,过点O 作直线EF ∥BC 分别交∠ACB ,外角∠ACD 的平分线于点E ,F.
(1)若CE =8,CF =6,求OC 的长;
(2)连接AE ,AF ,问:当点O 在边AC 上运动到什么位置时,四边形AECF 是矩形?并说明理由.
25.(8分) 如图,在?ABCD中,点O是边BC的中点,连接DO并延长,交AB延长线于点E,连接BD,EC.
(1)求证:四边形BECD是平行四边形;
(2)若∠A=50°,则当∠BOD=_________时,四边形BECD是矩形.
参考答案
1-5 CCBCB
6-10 BBDDD
11. B =90°或∠BAC +∠BCA =90°
12. (2,1)
13. ①② 14. 23
15. 12
16. 等于
17. 答案不唯一,如∠BAC =90°
18. EB=DC
19. 证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD =CB ,AD ∥CB ,AB ∥CD ,
∴∠A +∠B =180°,∠AMD =∠CDM ,∠BMC =∠DCM.
又∵∠AMD =∠BMC ,∴∠CDM =∠DCM ,∴MD =MC.
又∵M 是AB 的中点,∴MA =MB ,∴△AMD ≌△BMC(SAS),∴∠A =∠B ,∴∠A =∠B =90°,∴?ABCD 是矩形
20. 证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴∠DAB +∠ADC =180°.
∵AF ,DF 分别平分∠DAB ,∠ADC ,
∴∠FAD =12∠DAB ,∠ADF =12
∠ADC. ∴∠FAD +∠ADF =12
(∠DAB +∠ADC)=90°. ∴∠AFD =90°.
同理可得∠BHC =∠HEF =90°.
∴四边形EFGH 是矩形
21. 解:AC =BD ,理由如下:
∵AB 平分∠MAC ,CB 平分∠PCA ,∴∠BAC =12∠MAC ,∠ACB =12
∠ACP. 又∵MN ∥PQ ,∴∠MAC +∠ACP =180°,
∴∠BAC +∠ACB =12(∠MAC +∠ACP)=12
×180°=90°,∴∠ABC =90°. 同理可得∠ADC =90°.∵AB 平分∠MAC ,AD 平分∠NAC ,
∴∠BAD =12
(∠MAC +∠NAC)=90°,∴四边形ABCD 是矩形,∴AC =BD 22. 证明:(1)连接AD ,BE ,∵E 是AC 中点,∴EC =12AC.∵DB =12
AC ,∴DB =EC. 又∵DB ∥EC ,∴四边形DBCE 是平行四边形.∴BC =DE
(2)添加AB =BC.理由:∵DB AE ,∴四边形DBEA 是平行四边形.∵BC =DE ,AB =BC ,∴AB =DE.∴平行四边形DBEA 是矩形
23. 解: (1)AE ∥BF,AE=BF.
理由:∵△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC,
∴△ABC ≌△FEC,
∴AB=FE
∠ABC=∠FEC
∴AB ∥FE
∴四边形ABFE 为平行四边形
∴AE ∥BF,AE=BF
(2)当∠ACB=60°时,四边形ABFE 为矩形.
理由:∵∠ACB=60°,AB=AC,
∴△ABC 是等边三角形,∴AC=BC,
结合旋转的性质,可得AC=BC=CE=CF,
∴AF=BE,∴四边形ABFE 是矩形.
24. 解:(1)证明:∵EF 交∠ACB 的平分线于点E ,交∠ACB 的外角平分线于点F ,
∴∠OCE =∠BCE ,∠OCF =∠DCF.
又∵EF ∥BC ,∴∠OEC =∠BCE ,∠OFC =∠DCF ,∴∠OEC =∠OCE ,∠OFC =∠OCF , ∴OE =OC ,OF =OC ,∴OE =OF.
∵∠OCE +∠BCE +∠OCF +∠DCF =180°,∴∠ECF =90°,
∴EF =CE 2+CF 2=10,∴OC =OE =12
EF =5 (2)当点O 在边AC 上运动到AC 的中点时,四边形AECF 是矩形.
理由:连接AE ,AF ,当O 为AC 的中点时,AO =CO ,
∵EO =FO ,∴四边形AECF 是平行四边形.
又∵∠ECF =90°,∴平行四边形AECF 是矩形
25. (1)证明:∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AB ∥DC ,AB =CD ,∴∠OEB =∠ODC ,又∵O 为BC 的中点,∴BO =CO ,在△BOE 和△COD 中,
?????∠OEB =∠ODC ,∠BOE =∠COD ,BO =CO ,
∴△BOE ≌△COD(AAS),∴OE =OD ,∴四边形BECD 是平行四边形
(2)解:若∠A =50°,则当∠BOD =100°时,四边形BECD 是矩形.理由如下:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠BCD =∠A =50°,∵∠BOD =∠BCD +∠ODC ,∴∠ODC =100°-50°=50°=∠BCD ,∴OC =OD ,∵BO =CO ,OD =OE ,∴DE =BC ,∵四边形BECD 是平行四边形,∴四边形BECD 是矩形
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