人教版初中数学八年级上等腰三角形与直角三角形专项检测题

等腰三角形与直角三角形检测题

一、选择题（下列每题所给的四个选项中只有一个正确答案）

1.如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为( )

A. 30° B. 36° C. 40° D. 45°

第1题图

2.如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为( )

A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°

第2题图

3.如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合，若

BC＝5，CD＝3，则BD的长为( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第3题图

4.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是( )

A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9

5.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长

1

线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC的度数为( )

A. 40° B. 45° C. 60° D. 70°

第5题图

6.已知a、b、c是△ABC三边的长，b>a＝c，且方程ax2－绝对值等于2，则△ABC中最大角的度数是( )

A. 150° B. 120° C. 90° D. 60°

7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是( )

A. 60° B. 45° C. 30° D. 75°

2bx＋c＝0两根的差的

第7题图

第8题图

8.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是( )

A. 2

3 B. 2 C. 43 D. 4

二、填空题

9.若(a－1)2＋b－2＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________． 10.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠

||

DBC＝________°.

2

第9题图

第10题图

11.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A(10，0)，C(0，4)，

D为OA的中点，P为BC边上一点，若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐

标为________．

12.在△ABC中，∠B＝30°，AB＝12，AC＝6，则BC＝________． 13.若直角三角形两直角边长分别为a、b，且满足三角形的斜边长为________．

14.已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为________.

参考答案

1. B 【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∵CD＝AD，∴∠C＝∠CAD，∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＋∠C＝180°，∵∠BDA＝∠C＋∠DAC＝2∠B，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°.

2. C 【解析】由等边△ABC得∠C＝60°，由三角形中位线的性质得DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∴∠DEC＝180°－∠AED＝180°－∠C＝180°－60°＝120°.

3. D 【解析】由翻折性质知BD⊥AC，∵BC＝5，CD＝3，∴BD＝

a2－6a＋9＋|b－4|＝0，则该直角

52－32＝4.

3

4. A 【解析】解方程x2－7x＋10＝0，得x＝2或5，分两种情况讨论：①当2为等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分别为2，2，5，∵2＋2<5，∴此时不能构成三角形，舍去；②当5为等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分别为5，5，2，此时三边能构成三角形，所以周长为：5＋5＋2＝12.

5. A 【解析】由AE∥BD可得∠DBC＝∠E＝35°，由BD平分∠ABC可得∠ABC＝2∠

DBC＝70°，由AB＝AC可得∠ABC＝∠C＝70°，由三角形内角和定理可得∠BAC＝180°－

70°－70°＝40°.

6.

第6题解图

B 【解析】如解图，过点B作BD⊥AC于点D.∵AB＝BC，BD⊥AC，∴AD＝AC，

2∠ABC＝2∠ABD.设方程

1

ax2－2bx＋c＝0两根分别为 x1、x2，由题意得x1＋x2＝

a2b，

x1·x2＝，∵a＝c，∴x1·x2＝1，|x1－x2|＝

a2b）2－4×1.∵|x1－x2|＝

c（x1－x2）2＝2b）2－4×1＝

（x1＋x2）2－4x1x2＝

（

a2，∴（

a2，解得＝±

ba3.∵a1

＞0，b＞0，∴＝ba3.∵a＝c，∴＝bcAD21b1

3，在Rt△ABD中，sin∠ABD＝＝＝·＝·ABc2c2

b3

＝

3

，∵∠ABD＜90°，∴∠ABD＝60°，∴∠ABC＝2×60°＝120°. 2

7. 5 【解析】∵(a－1)2＋|b－2|＝0且(a－1)2≥0，|b－2|≥0，∴(a－1)2＝0，|b－2|

＝0，∴a＝1，b＝2.当以a＝1为腰长时，由于1＋1＝2，∴以1，1，2为边不能构成三角形；当以a＝1为底边时，则b＝2为腰，此时以1，2，2为边能构成等腰三角形，其周长为5.

4

【易错警示】解答有关等腰三角形的周长计算时，易出现两种错误倾向：①对所给边不按是腰还是底进行分类计算，从而错误地得到一种答案；②注意分类计算，而又忽视三角形的构成条件，从而错误地得到两个答案．

8. 15° 【解析】∵DE垂直平分AB，∴∠AED＝90°，且AD＝BD.∵∠ADE＝40°，∴∠180°－50°

A＝90°－∠ADE＝50°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝65°.∵AD＝DB，∴∠DBA＝∠A＝

250°，∴∠DBC＝∠ABC－∠DBA＝15°.

9. (2，4)，(2.5，4)，(3，4)，(8，4)

第9题解图

【解析】∵点A的坐标为(10，0)，点D是AO的中点，∴DO＝5，∵点C的坐标为(0，4)，∴OC＝4，∵四边形ABCO是矩形，∴直线BC上的点的纵坐标均为4.如解图，过点D作DH⊥BC于点H，当点P在CH上时，要使△DOP是等腰三角形，则(1)当P1D＝OD时，

P1D＝5，在Rt△P1HD中，HD＝4，PD＝5，根据勾股定理得P1H＝3，∴CP1＝CH－P1H＝5－3＝2，即点P1的坐标为(2，4)；(2)当P2O＝P2D时，点P2在OD的垂直平分线上，∴点P2的坐标为(2.5，4)；(3)当P3O＝DO时，在Rt△P3CO中，P3O＝5，CO＝4，由勾股定理得CP3＝3，此时点P3的坐标为(3，4)；（4）当点P在HB上时，∠ODP＞90°，此时只能是OD＝P4D，在Rt△P4HD中，HD＝4，P4D＝5，由勾股定理得P4H＝3，∴CP4＝CH＋HP4＝8，∴此时点P4的坐标为(8，4)．综上所述，所有满足条件的点P的坐标为(2，4)，(2.5，4)，(3，4)，(8，4)．

第10题解图

10. C 【解析】如解图，连接CE，在Rt△ABC中，∠ACB＝90° ，E是AB的中点，

5

1

∴CE＝EB＝EA＝AB，根据点的对称性，得CE＝AC，∴CE＝AC＝EA，∴△ACE是等边三

2角形，∴∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.

11. A 【解析】∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD＝30°，∵∠ACB＝90°－∠A＝60°，∴∠BCD＝30°，∴BC＝＝tan30°

BD13

＝3

3

3，∴AC＝＝＝2

sinA1

2

BC3.

第11题解图

12. 63 【解析】根据题意画出草图如解图，过点A作AD⊥BC与BC交于点D，

1

由∠B＝30°且AB＝12，可得AD＝AB·sin30°＝12×＝6，由AC＝6，可以得AC与AD重

2合．即此三角形是直角三角形，所以BC＝AB2－AC2＝63.

13. 5 【解析】由算术平方根与绝对值的非负性得a2－6a＋9＝0，b－4＝0，∴a＝3，

b＝4，∴斜边为5.

14. 5或

7 【解析】由于本题没有告诉已知的边是直角边或斜边，所以要分两种情

32＋42＝5；(2)

7.

况进行讨论：(1)当两边都是直角边时，则第三边为斜边，由勾股定理得当已知边中的较长边为斜边时，第三边则为直角边，由勾股定理得

42－32＝

6

1

∴CE＝EB＝EA＝AB，根据点的对称性，得CE＝AC，∴CE＝AC＝EA，∴△ACE是等边三

2角形，∴∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.

11. A 【解析】∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD＝30°，∵∠ACB＝90°－∠A＝60°，∴∠BCD＝30°，∴BC＝＝tan30°

BD13

＝3

3

3，∴AC＝＝＝2

sinA1

2

BC3.

第11题解图

12. 63 【解析】根据题意画出草图如解图，过点A作AD⊥BC与BC交于点D，

1

由∠B＝30°且AB＝12，可得AD＝AB·sin30°＝12×＝6，由AC＝6，可以得AC与AD重

2合．即此三角形是直角三角形，所以BC＝AB2－AC2＝63.

13. 5 【解析】由算术平方根与绝对值的非负性得a2－6a＋9＝0，b－4＝0，∴a＝3，

b＝4，∴斜边为5.

14. 5或

7 【解析】由于本题没有告诉已知的边是直角边或斜边，所以要分两种情

32＋42＝5；(2)

7.

况进行讨论：(1)当两边都是直角边时，则第三边为斜边，由勾股定理得当已知边中的较长边为斜边时，第三边则为直角边，由勾股定理得

42－32＝

6

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