4.1逻辑联结词“且” 4.2逻辑联结词“或”

4．1 逻辑联结词“且” 4．2 逻辑联结词“或”

明目标、知重点 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假．

1．“p且q”就是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题． 2．“p或q”就是用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题． 3．真值表

p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p且q 真 假 假 假 p或q 真 真 真 假

探究点一 p且q命题

思考1 观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？

答 命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，叫逻辑联结词，表示“并且”，“同时”的意思．

小结 一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p且q”．

思考2 分析思考1中三个命题的真假，并归纳p且q型命题的真假和命题p，q真假的关系．

答 命题①②③均为真；

当p、q都是真命题时，p且q是真命题． 思考3 对逻辑联结词“且”含义的理解？

答 联结词“且”与日常用语中的“且”含义一致，表示“并且”“同时”的意思． 例1 将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真假： (1)p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等； (2)p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分； (3)p：35是15的倍数，q：35是7的倍数．

解 (1)p且q：平行四边形的对角线互相平分且相等．由于p是真命题，q是假命题，所以p且q是假命题．

(2)p且q：菱形的对角线互相垂直且平分．由于p是真命题，q是真命题，所以p且q是真命题．

(3)p且q：35是15的倍数且是7的倍数．由于p是假命题，q是真命题，所以p且q是假命题．

反思与感悟 判断p且q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断．

跟踪训练1 指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q，并判断它们的真假． (1)(n－1)·n·(n＋1) (n∈N＋)既能被2整除，也能被3整除；

(2)函数y＝x2＋x＋2的图像与x轴没有公共点，并且不等式x2＋x＋2<0无解． 解 (1)此命题为“p且q”形式的命题，其中， p：(n－1)·n·(n＋1) (n∈N＋)能被2整除； q：(n－1)·n·(n＋1) (n∈N＋)能被3整除． 因为p为真命题，q也为真命题， 所以“p且q”为真命题．

(2)此命题为“p且q”形式的命题，其中，

p：函数y＝x2＋x＋2的图像与x轴没有公共点；q：不等式x2＋x＋2<0无解． 因为p为真命题，q也为真命题，所以“p且q”为真命题． 探究点二 p或q命题

思考1 观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2. 它们之间有什么关系？

答 命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题． 思考2 对逻辑联结词“或”含义的理解？

答 联结词“或”与集合运算中并集的定义A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中“或”的意义相同，是逻辑联结词．“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思，如“学习或休息”，而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思．

小结 一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p或q”．

思考3 分析思考1中三个命题的真假，并归纳p或q型命题的真假与p、q真假的关系． 答 ①真；②假；③真．

当p、q两个命题有一个命题是真命题时，p或q是真命题．

例2 对下列各组命题，利用逻辑联结词“或”构造新命题，并判断新命题的真假： (1)p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0； (2)p：3＞4，q：3＜4； (3)p：π是整数，q：π是分数．

解 (1)新命题：“正数或负数的平方大于0”，即“非零实数的平方大于0”，是真命题； (2)新命题：“3＞4或3＜4”，即“3≠4”，是真命题； (3)新命题：“π是整数或分数”，即“π是有理数”，是假命题．

反思与感悟 判断p或q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定p或q形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题p或q为假命题，可简记为：有真则真，全假为假．

跟踪训练2 分别指出下列命题的构成形式及命题的真假： (1)相似三角形的面积相等或对应角相等； (2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；

(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．

解 (1)这个命题是“p或q”的形式，其中p：相似三角形的面积相等；q：相似三角形的对应角相等．

因为p假、q真，所以p或q为真命题．

(2)命题“集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集”是由命题： p：集合A是A∩B的子集； q：集合A是A∪B的子集

用“或”联结后构成的新命题，即p或q. 因为命题q是真命题，所以命题p或q是真命题．

(3)命题“周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等”是由命题： p：周长相等的两个三角形全等； q：面积相等的两个三角形全等

用“或”联结后构成的新命题，即p或q.

因为命题p，q都是假命题，所以命题p或q是假命题． 探究点三 “p或q”与“p且q”的应用

思考 如果“p且q”为真命题，那么“p或q”一定是真命题吗？反之，如果“p或q”为真命题，那么“p且q”一定是真命题吗？ 答 p且q为真，则p、q均真，所以p或q为真．

当p或q为真时，则p、q至少一个为真，p且q不一定为真．

例3 设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．

解 对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?，所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0. 解这个不等式得：－3

对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数， 则有a＋1>1，所以a>0.

又p且q为假命题，p或q为真命题， 所以p、q必是一真一假．

当p真q假时有－3

反思与感悟 由p或q为真知p、q至少一真；由p且q为假知p、q中至少一假．因此，p与q一真一假，分p真q假与p假q真两种情况进行讨论．

跟踪训练3 例3中其他条件不变，把“p且q为假命题，p或q为真命题”改为“p或q为真命题”，求a的取值范围．

解 对于p：x2－(a＋1)x＋1≤0的解集为?， Δ＝[－(a＋1)]2－4<0，解得－31，即a>0.

∵p或q为真，∴p、q至少有一个为真，求两解集的并集即可，∴{a|－30}＝{a|a>－3}，

综上可得a的取值范围是(－3，＋∞)．

1．“p且q是真命题”是“p或q是真命题”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A

解析 p且q是真命题?p是真命题，且q是真命题?p或q是真命题；p或q是真命题D?/p且q是真命题． 2．给出下列命题： ①2>1或1>3；

②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0； ③25是6或5的倍数；

④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集． 其中真命题的个数为( ) A．1 C．3

B．2 D．4

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

答案 D

解析 由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；

由于方程x2－2x－4＝0的判别式大于0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；

由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；

由于A∩B?A，A∩B?A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．

ππ3．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图像关于直线x＝

22对称．则下列判断正确的是( ) A．p为真 C．p且q为假 答案 C

解析 p是假命题，q是假命题，因此只有C正确． 4．p：

1

<0，q：x2－4x－5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是______________． x－3

B．q为真 D．p或q为真

答案 (－∞，－1]∪[3，＋∞) 解析 p：x<3；q：－1

∵p且q为假命题，∴p，q中至少有一个为假， ∴x≥3或x≤－1. [呈重点、现规律]

1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”两个中至少选一个． 2．判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤： (1)逐一判断命题p，q的真假．

(2)根据“且”“或”的含义判断“p且q”，“p或q”的真假． p且q为真?p和q同时为真， p或q为真?p和q中至少一个为真．

一、基础过关

1．“p是真命题”是“p且q为真命题”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 B

2．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则( ) A．p真q假 C．p或q为假 答案 D

解析 命题p假，命题q真． 3．命题“ab≠0”是指( ) A．a≠0且b≠0 B．a≠0或b≠0

C．a、b中至少有一个不为0 D．a、b不都为0 答案 A

4．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是________． ①“p或q”为假 ②“p或q”为真 ③“p且q”为假 ④“p且q”为真 答案 ②③

解析 显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假．

5．命题：“方程x2－1＝0的解是x＝±1”，其使用逻辑联结词的情况是________． ①使用了逻辑联结词“且” ②使用了逻辑联结词“或” ③使用了逻辑联结词“非” ④没有使用逻辑联结词 答案 ②

B．p且q为真 D．p假q真 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析 “x＝±1”可以写成“x＝1或x＝－1”，故②正确． 6．“1不大于2”可用逻辑联结词表示为____________． 答案 1<2或1＝2

7．(1)用逻辑联结词“且”将命题p和q联结成一个新命题，并判断其真假，其中p：3是无理数，q：3大于2.

(2)将命题“y＝sin 2x既是周期函数，又是奇函数”改写为含有逻辑联结词“且”的命题，并判断其真假．

解 (1)p且q：3是无理数且大于2，是假命题． (2)y＝sin 2x是周期函数且是奇函数，是真命题． 二、能力提升

8．若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有( ) A．p真q真 C．p真q假 答案 B

解析 ∵“p或q”的否定是真命题， ∴“p或q”是假命题．∴p，q都假．

9．给定下列命题：p：0不是自然数，q：2是无理数，在命题“p且q”“p或q”中，真命题是________． 答案 p或q

解析 ∵p为假命题，q为真命题．∴p且q为假，p或q为真． 10．用“或”、“且”填空：

(1)若x∈A∪B，则x∈A________x∈B； (2)若x∈A∩B，则x∈A________x∈B； (3)若a2＋b2＝0，则a＝0________b＝0； (4)若ab＝0，则a＝0________b＝0. 答案 (1)或 (2)且 (3)且 (4)或

11．已知命题p：1∈{x|x2

解 若p为真，则1∈{x|x21；若q为真，则2∈{x|x24. (1)若“p或q”为真，则a>1或a>4，即a>1.故实数a的取值范围是(1，＋∞)．

B．p假q假 D．p假q真

(2)若“p且q”为真，则a>1且a>4，即a>4.故实数a的取值范围是(4，＋∞)．

12．已知p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

m

解 若函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则－≤－1，∴m≥2，即p：m≥2；

2若函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1恒大于零， 则Δ＝16(m－2)2－16<0， 解得1

因为p或q为真，p且q为假，所以p、q一真一假，

??m≥2，

当p真q假时，由?得m≥3，

??m≥3或m≤1，??m<2，

当p假q真时，由?得1

?1

综上，m的取值范围是{m|m≥3或1

13．已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q” 是假命题，求实数a的取值范围． 解 由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0. 21

显然a≠0，∴x＝－或x＝.若命题p为真，

aa21

－?≤1或??≤1，∴|a|≥1. ∵x∈[－1,1]，故??a??a?若命题q为真，即只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0， 即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点． ∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2. ∵命题“p或q”为假命题，

∴a的取值范围是{a|－1

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