江苏南京师大附中2015届高三12月段考试卷数学试卷

江苏南京师大附中2015届高三12月段考试卷

数学 2014.12.30

注意事项：

本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．

．．．．．．．．1．在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为．

2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是 ▲ ．

3．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：

ππ5π3

－，，则cos α＋＝ ▲ ． 4．若sin α＝，α∈ 4 22 5

5．直线xcos α3y＋2＝0(α∈R)的倾斜角的范围是

6．设函数f(x)是奇函数且周期为3，f(－1)＝－1， 则f(2014)＝ ▲

7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 则输出i的值为

．

8．若等边三角形ABC的边长为23，平面内一点M满足

1 2

CM CB CA，则MA MB＝ ▲ ．

63

9．有下面四个判断：

①命题“设a、b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题； ②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；

③命题“ a、b∈R，a2＋b2≥2(a－b－1)”的否定是“ a、b∈R，a2＋b2≤2(a－b－1)”； 2

④若函数f(x)＝ln ax＋1的图象关于原点对称，则a＝3．

其中正确的有 ▲ 个．

x2y2

10．若双曲线－＝1的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的

a3实轴长为 ▲ ．

11135

11．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)f(16)＞3，

23n22

观察上述结果，可推测一般的结论为 ▲ ．

12．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，

SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为．

13．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为 ▲ ．

14．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x) 成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2．则数列的通项公式an＝ ▲ ．

．．．．．．．．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

1

设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且b2ac．

23

(1)求证：cos B≥；

4

(2)若cos(A－C)＋cos B＝1，求角B的大小

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知∠ACB＝90°，BC＝CC1，E，F分别为AB，AA1的中点．

(1)求证：直线EF∥平面BC1A1； (2)求证：EF⊥B1C．

17．(本小题满分14分)

经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日

旅游人数f(t)（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足f(t) 4 ，人均消费g(t)（元）．．．与时间t（天）的函数关系近似满足g(t) 115 |t 15|．

（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w(t)（万元）与时间t(1 t 30,t N)的函数关系式； ．．（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）． ．．18.（本小题满分16分）

x2y2

已知抛物线D的顶点是椭圆C：＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．

1615

（1）求抛物线D的方程；

（2）过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点． ① 若直线l的斜率为1，求MN的长；

② 是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如 果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由． 19．（本小题满分16分） 设函数f(x) x

1

t

1

alnx(a R). x

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k 2 a?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分16分）

记数列 an 的前n项和为Sn（n N*），若存在实常数A，B，C，对于任意正整数n，都有an Sn An2 Bn C成立．

（1）已知A B 0，a1 0，求证：数列 an （n N*）是等比数列；

（2）已知数列 an （n N*）是等差数列，求证：3A C B； （3）已知a1 1，B 0且B 1，B C 2．设 为实数，若 n N*，

求 的取值范围．

an

， an 1

南京师大附中2015届高三12月段考试卷

数 学 2014.12.30

注意事项：

本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．

．．．．．．．．π2π5π

1． 5 2． 3. 15.9 4．－ 5． 0≤θ≤≤θ<π. 6． 1 7． 4

810668．－2

9．对于①：此命题的逆否命题为“设a、b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，①错误；“p或q”为真，则p、q至少有一个为真命题，②错误；“ a、b∈R，a2＋b2≥2(a－b－1)”的否定是“ a、b∈R，a2＋b2<2(a－b－1)”，③错误；对于④：若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数，则f(0)＝ln(a＋2)＝0，解得a＝－1，④错误． 答案 0

n＋22

10． 2 11． f(2n 12. .

26

13． 4

14． n·2n

．．．．．．．．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤． 15．

a2＋c2－b2

解 (1)因为cos B＝ ……………2分

2ac11

a2＋c2－ac2ac－2233

＝≥cos B ……6分

2ac2ac44(2)因为cos(A－C)＋cos B＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝2sin Asin C＝1， 1

所以sin Asin C＝ .……………8分

2111

又由b2＝，得sin2B＝sin Asin C＝， ……………10分

2243

又B∈(0，π)，且cos B≥>0,知B为为锐角 ……………12分

41π

故sin B＝B＝ .……………14分

26

16．（本小题满分14分）

证明 (1)由题知，EF是△AA1B的中位线， 所以EF∥A1B……………2分

由于EF 平面BC1A1，A1B 平面BC1A1，所以EF∥平面BC1A1. ……………6分

(2)由题知，四边形BCC1B1是正方形，所以B1C⊥BC1. ……8分 又∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，所以A1C1⊥C1B1.

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面A1C1B1，A1C1 平面A1C1B1，从而A1C1⊥CC1， 又CC1∩C1B1＝C1，CC1，C1B1 平面BCC1B1，所以A1C1⊥平面BCC1B1 又B1C 平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C. . ……………10分

因为A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1 平面BC1A1，所以B1C⊥平面BC1A1. ……………12分 又A1B 平面BC1A1，所以B1C⊥A1B.

又由于EF∥A1B，所以EF⊥B1C. ……………14分

17．

解：（Ⅰ）由题意得，w(t) f(t) g(t) (4 )(115 |t 15|) ………5分

1

t

1 *(4 )(t 100),(1 t 15,t N) t

（Ⅱ）因为w(t) …………………7分

(4 1)(130 t),(15 t 30,t N*) t

125

①当1 t 15时，w(t) (4 )(t 100) 4(t

) 401 4 401 441

tt

25

当且仅当t ，即t 5时取等号 …………………10分

t

1130

4t)，②当15 t 30时，w(t) (4 )(130 t) 519 (可证w(t)在t [15,30]

tt

1

上单调递减，所以当t 30时，w(t)取最小值为403 ……………………13分

3

11

由于403 441，所以该城市旅游日收益的最小值为403万元 ………14分

33

18.

2

解：(1)由题意,可设抛物线方程为y 2px p 0 . 由a b 4 3 1,得c 1.

22

抛物线的焦点为 1,0 , p 2. 抛物线D的方程为y2 4x…………… 4分

(2)设A x1,y1 ,B x2,y2 .

① 直线l的方程为：y x 4, 联立

y x 4

2

y 4x

,整理得:x 12x 16 0

2

A(6 2,2 25),A(6 2,2 25) AB=

x1 x22 y1 y22

49分

x1 4y1

, ,过E作直线x a的垂线,垂足为22 222

F,设直线m与圆E的一个交点为G.可得: FG EG FE, ……………11分

② 设存在直线m:x a满足题意,则圆心E 即FG

2

EA FE

2

22

22

x1 4 y1=

4

x 4 1 a 2

2

12 x 4 x1 4 =y1 1 a x1 4 a2

44

=x1 4x1 a x1 4 a2= a 3 x1 4a a2……………………………… 14分

2

当a 3时, FG 3,此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值2. 因此存在直线m:x 3满足题意 ……………………………………16分

19．

解：（1）f(x)的定义域为(0, ).

2

1ax2 ax 1

……………………………………2分 f'(x) 1 2 2

xxx

2

令g(x) x2 ax 1,其判别式D=a-4.

当

|a| 2时, 0,f'(x) 0,

故

f(x)在(0, )

上单调递

增．……………………………………3分

0, )上，f'(x) 0， 当a 2时,)在(0, >0,g(x)=0的两根都小于0，在(故f(x

单调 递增．……………………………………5分

当a 2时, >0,g(x)=0

的两根为x1 x2

) 上

当0 x x1时， f'(x) 0；当x1 x x2时， f'(x) 0；当x x2时， f'(x) 0，故f(x)分别 在(0,x1),(x2, )上单调递增，在(x1,x2)上单调递减．………………8分 （2）由（1）知，a 2． 因为f(x1) f(x2) (x1 x2)

x1 x2

a(lnx1 lnx2)，所以 x1x2

k

f(x1) f(x2)lnx lnx21

1 a1

x1 x2x1x2x1 x2

lnx1 lnx2

……………………………………10分

x1 x2

又由(1)知，x1x2 1．于是k 2 a

若存在a，使得k 2 a.则

lnx1 lnx2

1．……………………………………12分

x1 x2

1

2lnx2 0(x2 1)(*) x2

即lnx1 lnx2 x1 x2． 亦即x2

再由（1）知，函数h(t) t 2lnt在(0, )上单调递增，而x2 1，

1t

x2

所以分 20．

11

2lnx2 1 2ln1 0.x21与(*)式矛盾．故不存在a，使得k 2 a..…16

解：（1）由A B 0，得an Sn C（n N*）， ①

从而an 1 Sn 1 C． ② ………2分 ②－①式得an 1 2an，

又a1 0，所以数列 an 为等比数列． ………4分 （2）由数列 an 是等差数列，可令公差为d，则an a1 (n 1)d,Sn na1 于是由an Sn An2 Bn C得

n(n 1)

d． 2

d2d

n (a1 )n a1 d An2 Bn C． 22

d A , 2

d

由正整数n的任意性得 B a1 , ………6分

2

C a1 d.

从而得3A C

3dd

a1 d a1 B． ………8分 22

（3）由a1 1，B C 2，及an Sn An2 Bn C，得2a1 A B C，即2 A B C， 则有A 0． ………9分

于是an Sn Bn (2 B)，从而an 1 Sn 1 B(n 1) (2 B)， 1

相减得2an 1 an B，an 1 B (an B)，

2

又a1 1，B 1，则a1 B 0，

所以an B (a1 B)

11，即a (1 B) B． ………12分 nn 1n 1

22

1

Bn 1an1 B于是． 1

an 1(1 B)1 B(1 B) 2nB

2n

(1 B)

由B 0且B 1，下面需分两种情形来讨论． （i）当0 B 1时，1 B 0，则式子

所以，对 n N*,(

1 B

的值随n的增大而减小，

(1 B) 2nB

an

的最大值在n 1时取得，即an 1

an1 B2)max 1 ．于是，对于 n N*, nan 1(1 B) 2B1 B

ana22

，又n ， ． ………14分

an 1an 11 B1 B

（ii）当B 1时，由(1 B) 2nB (1 B) 2B 1 B 0，2B 2B 2B 1，

得 1

n

1 B

0．所以，对于 n N*， n

(1 B) 2B

0

an1 B

1 1． ① an 1(1 B) 2nB

an1 B

1 , n

an 1(1 B) 2B

假设 1，则有 0，且

得2

n

(B 1)(2 )(B 1)(2 ),即n log2，

(1 )B(1 )B

(B 1)(2 )a

的正整数时，n 不成立，

an 1(1 )B

这表明，当n取大于等于log2

与题设不符，矛盾．所以 1．又由①式知 1符合题意． 故B 1时， 1．

综上所述，当0 B 1时，

2

；当B 1时， 1． ……16分 1 B

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/48ai.html