第八章 平面向量与空间向量

第八章 平面向量与空间向量

§8.1平面向量及其运算 一、知识导学

1.模（长度）：向量AB的大小，记作|AB|。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。

2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。

???4.相反向量：我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量。记作-a。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。

????已知a，b。在平面内任取一点，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和。记

??作a+b。

6. 向量的减法：求两个向量差的运算。

??????已知a，b。在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则向量BA叫做a与b的差。

??a记作-b。

7.实数与向量的积：

??（1）定义： 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，并规定：

??? ①λa的长度|λa|=|λ|·|a|；

?? ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；

?? 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；

??a 当λ＝0时，λ=0

（2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则

?? ①λ(μa)=(λμ) a

??? ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb

????8.向量共线的充分条件：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使??得b＝λa。

????另外，设a=（x1 ,y1）, b= (x2,y2)，则a//b?x1y2－x2y1=0

9.平面向量基本定理：

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ

2使 a＝λ1e1＋λ2e2 ，其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面

????????内所有向量的一组基底。 10.定比分点

设P1，P2是直线l上的两点，点P是不同于P1，P2的任意一点则存在一个实数λ,使

P1P2=λP1P2，λ叫做分有向线段所成的比。若点P1、P、P2的坐标分别为(x1，y1)，(x,y)，

(x2,y2)，则有

x1?x2?x??2 特别当λ=1，即当点P是线段P1P2的中点时，有?y?y2?y?12? 11.平面向量的数量积

??????(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的

?????数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ

规定：零向量与任一向量的数量积是0。

???????(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。 ????????e是与b方向相同的单位向量，(3)性质：设a，θ是a与e的夹角，则e·ab都是非零向量，

???????＝a·e＝|a|cosθ ，a⊥b?a·b＝0 ?????? 当a与b同向时，a·b＝|a||b| ?????? 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|

特别地，a·a＝|a|或|a|＝a?a

2

????????????a?baa cosθ＝?? |·b|≤|||b|

a?b(4)运算律：

???? a·b＝b·a (交换律)

?????? (λa)·b＝λ(b·a)＝a·(λb)

??????? (a＋b)·c＝a·c＋b·c

（5）平面向量垂直的坐标表示的充要条件：

??设a=（x1 ,y1）, b= (x2,y2)，则 ??????a?b?a·b=|a|·|b|cos90°=0 ??a?b?x1x2+y1y2=0

12.平移公式：

设P（x，y）是图形F上的任意一点，它在平移后图形F上对应点为P（x，y），且设PP//

/

/

/

的坐标为（h，k），则由OP/＝OP＋PP/，得：（x，y）＝（x，y）+（h，k）

/

/

二、疑难知识导析

1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”

向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量； 2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点； 3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。因此，建议在记忆时对比记忆；

4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的；

5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。

三、经典例题导讲

?[例1] 和a= (3,－4)平行的单位向量是_________；

??1?34

错解：因为a的模等于5，所以与a平行的单位向量就是a，即 ( ，－ ) 555错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。

??1?3434

正解：因为a的模等于5，所以与a平行的单位向量是?a，即( ，－ )或(－ ， ) 55555?点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解“和a= (3,－4)垂直的

单位向量”，结果也应该是两个。

[例2]已知A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第四

个顶点D的坐标。

错解：设D的坐标为（x，y），则有x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即x=-2，y=3。故所求D的坐标为（-2，3）。

错因：思维定势。习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD的顺序。其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD。因此，还需要分类讨论。 正解：设D的坐标为（x，y）

当四边形为平行四边形ABCD时，有x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即x= -2，y= 3。解得D的坐标为（-2，3）；

当四边形为平行四边形ADBC时，有x-2=3-（-1），y-1= 2-4 ，即x= 6，y= -1。解得D的坐标为（6，-1）；

当四边形为平行四边形ABDC时，有x-3=-1-2，y-2= 4-1 ，即x= 0，y= 5。解得D的坐标为（0，5）。

故第四个顶点D的坐标为（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。

[例3]已知P1(3,2)，P2（8，3），若点P在直线P1P2上，且满足|P1P|=2|PP2|，求点P的坐标。 错解：由|P1P|=2|PP2|得，点P 分P1P2所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P（

198,） 33错因：对于|P1P|=2|PP2|这个等式，它所包含的不仅是点P为 P1，P2 的内分点这一种情况，还有点P是 P1，P2的外分点。故须分情况讨论。

正解：当点P为 P1，P2 的内分点时，P 分P1P2所成的比为2，此时解得P（

198,）； 33 当点P为 P1，P2 的外分点时，P 分P1P2所成的比为-2，此时解得P（13，4）。 则所求点P的坐标为（

198,）或（13，4）。 33点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。也就是分类讨论的数学思想。

??????[例4] 设向量 a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，b?0，则“a//b”是“x1y2?x2y1”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可．

??????解：若a//b，∵b?0，则a?rb，代入坐标得：(x1,y1)?r(x2,y2)，即x1?rx2且y1?ry2 ．消去r，得x1y2?x2y1；

反之，若x1y2?x2y1，则x1?rx2且y1?ry2，即(x1,y1)?r(x2,y2)

???? 则a?rb，∴a//b

?? 故“a//b”是“x1y2?x2y1 ”的充要条件．

答案：C

点评：本题意在巩固向量平行的坐标表示．

??????[例5]．已知a=（1，-1），b=（-1，3），c=（3，5），求实数x、y，使c=xa +yb ．

分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可． 解：由题意有

?? xa +yb =x（1，-1）+y（-1，3）=（x-y，-x+3y）．

? 又c =（3，5）

∴x-y=3且-x+3y=5 解之得 x=7 且y=4

点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法． [例6]已知A（-1，2），B（2，8），AC=坐标．

分析：待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量AC AB，DA 和CD 关系进行坐标运算，用方程思想解之．

解：设C、D的坐标为(x1,y1)、(x2,y2)，由题意得

AC=（x1?1,y1?2），AB=（3，6）， DA=（?1?x2,2?y2），BA=（-3，-6）

11-BA，求点C、D和向量CD的AB ，DA=

3311AB ，DA= -BA 3311 ∴（x1?1,y1?2）=（3，6）， （?1?x2,2?y2）=-（-3，-6）

33 又AC=

即 (x1?1,y1?2)=(1,2) ， (?1?x2,2?y2)=(1,2) ∴x1?1?1且y1?2?2，?1?x2?1且2?y2?2 ∴x1?0 且y1?4 ，且x2??2 y2?0

∴点C、D和向量CD 的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4） 小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高． 四、典型习题导练

1. a?AB,A(2,y),B(?3,2),若a?(x,1)，则有（ ） A. x??1,y??1 B. x??5,y?1

C. x?5,y??1 D. x??5,y?3

????????????????????22.（2006年高考浙江卷）设向量a,b,c满足a?b?c?0,a?b,|a|?1,|b|?2,则|c|?

(A)1 (B)2 (C)4 (D)5

??//3. 将函数y= 4x－8的图象L按向量a平移到L，L的函数表达式为y= 4x，则向量a=

4. 从点A(2,?1)沿向量a?3i?6j方向取线段AB，使|AB|?5，则B点坐标为 5. m、n是单位向量，m与n的夹角为

?????????3,a?2m?n,b?m?2n，以a、b为邻边作

????????平行四边形。求平行四边形对角线的长。

6.（2006年高考辽宁卷）已知?ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量

??????p?(a?c,b),q?(b?a,c?a),若p//q,则角C的大小为

(A)

§8.2平面向量与代数、几何的综合应用

一、知识导学

1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即

???2? (B) (C) (D)

3632a2?b2?c2?2bccosA b2?a2?c2?2accosB c2?a2?b2?2abcosC

2.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，

即

abc???2R sinAsinBsinC二、疑难知识导析

1．初中学过的勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。如当C=

?时，cosC=0，此时有2c2?a2?b2；

2．由于本节内容与代数、几何联系比较紧，故读者需对解斜三角形、解析几何中的圆锥曲线等知识非常熟悉方可。 三 经典例题导讲

222

[例1]在ABC中，已知a＝b＋bc＋c，则角A为( )

A．

??2??2? B． C． D．或

33363错解：选A

错因：公式记不牢，误将余弦定理中的“减”记作“加”。

正解：∵a＝b＋bc＋c＝b＋c－2bc(－ ∴∠A＝

22222

12?22

)＝b＋c－2bc·cos 232? 3 选 C.

[例2]在△ABC中，已知acosA?bcosB，试判别其形状。 错解：等腰三角形。

错因：忽视了两角互补，正弦值也相等的情形。直接由acosA?bcosB得，sinAcosA?sinBcosB，即sin2A?sin2B，则2A?2B。接着下结论，所求三角形为等腰三角形

正解：由acosA?bcosB得，sinAcosA?sinBcosB，即sin2A?sin2B

0 则2A?2B或2A?2B?180，故三角形为直角三角形或等腰三角形。

[例3]在?ABC中?C?30?,c?6?2，试求?ABC周长的最大值。并判断此时三角形的

形状。

错解：由于题目中出现了角和对边，故使用余弦定理，进一步想使用不等式或二次函数求最值

错因：其实这种思路从表面上看是可行的，实际上处理过程中回遇到无法进行下去的困难。 正解：由正弦定理,得a=2(6? a+b=2(6?2)sinA, b=2(6?2)sinB.

A?BA?Bcos 222)(sinA+sinB)=4(6?2)sin

sin

A?B6?2o

=sin75= 24 a+b=(6?2)2 cos

A?B2

≤(6?2)=8+43. 2 当a=b时,三角形周长最大,最大值为8+43+6?

2. 此时三角形为等腰三角形

[例4]在?ABC中，?A?60?,|AC|:|AB|?8:5，其内切圆面积为12?，求?ABC面积。 分析：题中涉及到内切圆，而内切圆直接与正弦定理联系起来了，同时正弦定理和余弦定理又由边联系起来了。

解：由已知,得内切圆半径为23. 由余弦定理,得三角形三边分别为16,10,14.

[例5]已知定点A(2,1)与定直线l:3x-y+5=0,点B在l上移动,点M在线段AB上,且分AB的比为2,求点M的轨迹方程.

分析:向量的坐标为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,形成了代数与几何联系的新纽带 .

解:设B(x0,y0),M(x,y)

??∴AM=(x-2,y-1),MB=(x0-x,y0-y),由题知AM=2MB

3x?2?x???x?2?2(x0?x)?02∴? ? ?

y?1?2(y?y)3y?10??y?0?2?由于3x0-y0+5=0,∴3×

3x?23y?1-+5=0

22化简得M的轨迹方程为9x-3y+5=0

2

[例6]过抛物线:y=2px(p>0)顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB(如图),求证:直线AB过一定点,并求出这一定点.

分析: 对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),有a//b?x1y2-x2y1=0.可以用来处理解析几何中的三点共线与两直线平行问题.

2t12t2证明:由题意知可设A点坐标为(,t1),B点坐标为(,t2) ∴

2p2p2t12t2,t1), OB=(,t2), OA=(2p2p2t12t2∵OA⊥OB,∴OA?OB=0??+t1?t2=0

2p2p?t1?t2=-4p2 ①

22t2t12t2设直线AB过点M(a,b),则BM=(a-,b-t2),BA=(-,t1-t2), 2p2p2p22t2t12t2由于向量BM与BA是共线向量,∴（a-）(t1-t2)= (b-t2)(-) 2p2p2p化简得2p(a-2p)=b(t1+t2)

显然当a=2p,b=0时等式对任意的成立 ∴直线AB过定点,且定点坐标为M(2p,0)

四 典型习题导练

1．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x，则第三边x的取值范围是（ ） A．1＜x＜5 B．5＜x＜13 C．13＜x＜5 D．1＜x＜5 2．?ABC三顶点A(1,1),B(3,4),C(?2,3)，则?ABC的面积为__ _。 3．△ABC中，若边a：b：c＝2：(1＋3)：2，则内角A＝ 。

4．某人在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到0，测得塔顶A仰角为30°，则塔高＝ 。 5．在△ABC中，已知B＝30°，b＝50，c＝150，解三角形并判断三角形的形状。 6．在△ABC中，已知cotA?cotB?cotC＝

※§8.3空间向量及其运算

一、知识导学

1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位

，判定△ABC是什么三角形。

???正交基底，用{i,j,k}表示；（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底??????{i,j,k}，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系

zA(x,y,z)kixOjy???OO?xyz，点叫原点，向量 i,j,k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的

平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；

2．空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O?xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OA?xi?yj?zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O?xyz中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．

??3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)， ????则a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)，a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)， ????a?(?a1,?a2,?a3)(??R)，a?b?a1b1?a2b2?a3b3，

???? a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)，a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0． ????（2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 ????2224 模长公式：若a?(a1,a2,a3)， 则|a|?a?a?a1?a2?a3．

????a1b1?a2b2?a3b3a?b??5．夹角公式：cosa?b??．

222222|a|?|b|a1?a2?a3b1?b2?b3????????26．两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则|AB|?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2

二、疑难知识导学

1、对于这部分的一些知识点，读者可以对照平面向量的知识，看哪些知识可以直接推广，哪些需要作修改，哪些不能用的，稍作整理，以便于记忆；

2、空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性，所以本节的学习难点在于掌握应用空间向量的常用技巧与方法，特别是体会其中的转化的思想方法．如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．

3、向量运算的主要应用在于如下几个方面：

(1)判断空间两条直线平行(共线)或垂直； (2)求空间两点间的距离； (3)求两条异面直线所成的角.

4、本节内容对于立体几何的应用，读者需自行复习，这里不再赘述。

三、经典例题导讲

[例1]下列所表示的空间直角坐标系的直观图中，不正确的是（ ）

A B C D

错解：B、C、D中任选一个

错因：对于空间直角坐标系的表示不清楚。有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系．

正解：易知(C)不符合右手系的规定，应选(C)．

[例2]已知点A(－3，－1，1)，点B(－2，2，3)，在Ox、Oy、Oz轴上分别取点L、M、N，使它们与A、B两点等距离．

错因：对于坐标轴上点的坐标特征不明；使用方程解题的思想意识不够。

分析：设Ox轴上的点L的坐标为(x，0，0)，由题意可得关于x的一元方程，从而解得x的值．类似可求得点M、N的坐标．

解：设L、M、N的坐标分别为(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)． 由题意，得

(x＋3)＋1＋1＝(x＋2)＋4＋9， 9＋(y＋1)＋1＝4＋(y－2)＋9， 9＋1＋(z－1)＝4＋4＋(z－3)．

2

2

2

2

2

2

3， 23故L(3,0,0),M(0,1,0),N(0,0,)

2分别解得x?3.y?1,z?评注：空间两点的距离公式是平面内两点的距离公式的推广：若点P、Q的坐标分别为(x1，y1，z1)、(x2，y2，z2)，则P、Q的距离为

PQ?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2

必须熟练掌握这个公式．

????????[例3]设a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，且a?b，记|a?b|?m，求a?b与x轴正方

向的夹角的余弦值 ?错解：取x轴上的任一向量c?(x,0,0)，设所求夹角为?，

???∵(a?b)?c?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)?(x,0,0)?(a1?b1)x ???(a?b)?c(a?b)xa?b∴?cos??????11?11，

mxm|a?b|?|c|即余弦值为?a1?b1 m错因：审题不清。没有看清“x轴正方向”，并不是x轴

?正解：取x轴正方向的任一向量c?(x,0,0)，设所求夹角为?，

???∵(a?b)?c?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)?(x,0,0)?(a1?b1)x ???(a?b)?c(a?b)xa?b∴cos??????11?11，即为所求 mxm|a?b|?|c|[例4]在ΔABC中，已知AB＝(2,4,0),BC＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿ ????????解： ?BA?(?2,?4,0),BC?(?1,3,0),

cos?BA,BC??BA?BC|BA||BC|?2?1225?10=?2 2∴∠ABC＝135° [例5]已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)， ⑴求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S；

⑵若向量a分别与向量AB,AC垂直，且|a|＝3，求向量a的坐标 ???分析：⑴?AB?(?2,?1,3),AC?(1,?3,2),?cos?BAC?AB?AC|AB||AC|?1 2∴∠BAC＝60°，?S?|AB||AC|sin60??73 ⑵设a＝(x,y,z)，则a?AB??2x?y?3z?0,

?a?AC?x?3y?2z?0,|a|?3?x2?y2?z2?3

解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1). [例6]已知正方体AC1的棱长为a，E是CC1的中点，O是对角线BD1的中点， 求异面直线CC1和BD1的距离 ??解：以D为原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0)

A1D1B1ODABCC1EB1(a,a,a),A1(a,0,a),D(0,0,0)，

设E(x,y,z)， ∵E在平面A1DB上，

??????????????∴A1E??A1D??A1B，即(x?a,y,z?a)??(?a,0,?a)??(0,a,a)，

?x?a??a?∴?y??a， ?z?a??a??a???????????????????(x,y?2,z)(?a,0,?a)?0∵CE?A，∴， D,CE?BD?1(x,y?2,z)(?a,?a,0)?0?????12113解得：????，∴CE?(a,?a,?a)，∴CE?a．

33333另外,此题也可直接求B1C与BD间的距离 设B1C与BD的公垂线为OO1，且O1?B1C,O?BD，

????????设O(x,y,z)，设DO??BD，

?x???a?则(x,y,z)??(?a,?a,0)，∴?y???a，∴O(??a,??a,0)，

?z?0?同理O1(?a,a,?a)，

????????????????????????∴OO1?((???)a,a??a,?a)，∴OO1?BD,OO1?BC1， ???????????????????∴OO1?BD?0,OO1?B1C?0，

??????21????1113???,??(?a,a,a)解得：，OO1?，|OO1|?a．

333333四、典型习题导练

1．已知向量a?(0,2,1),b?(?1,1,?2),则a与b的夹角为（ ）

A．0° B．45° C．90° D．180°

2．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB?AC?0,AB?AD?0,AC?AD?0

则△BCD是（ ）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定

3．已知a,b是空间二向量，若|a|?3,|b|?2,|a?b|?7,则a与b的夹角为 . 4．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若OA?OB?OC??OG,则?的值为

.

5．直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A1C 求证：AB1=A1C

6．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分

别是A1B1，A1A的中点，

（1）求BN的长;

（2）求cos?BA; 1,CB1?的值

（3）求证:A1B?C1M.

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