二次函数基础知识点归纳及相关联系 高冬

二次函数基础知识点归纳及相关题型

兴城市三道沟中学 高冬

一、定义：一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做

x的二次函数.

当二次项系数含有字母求字母值时要注意：（1）若函数是二次函数，要强调二次项系数不等于0；（2）若该函数类型不明确，要分两种情况讨论，一次函数或二次函数。

二、抛物线y?ax2?bx?c中，a,b,c符号判定。

a看开口方向；c看图像与y轴的交点位置；b看对称轴和a,“左同右异。”

习题：

1.二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，则一次函数y?bx?a的 图象不经过

y O

x

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．函数y?ax?b和y?ax2?bx?c在同一直角坐标系内的图象大致是( )

3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是 A．ab＜0 B．ac＜0 C．当x＜2时，函数值随x的增大而增大；当x＞2时，函数值随x的增大而减小 D．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根。

三、求抛物线的顶点、对称轴的方法

b?4ac?b2?2 1.公式法：y?ax?bx?c?a?x???，∴顶点是

2a4a??bb4ac?b2（?，），对称轴是直线x??.

2a2a4a2 2.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，

2得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x?h.

3.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

特别注意：

对称轴的几何性质：对称轴垂直平分对应点所连的线段。（轴对称性） 如果两个点的纵坐标形同，那么这两个点成轴对称。对称轴就是两个点横坐标和的一半。 习题：

1.抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是 （ ）

A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3） 2. 抛物线y＝x2＋mx－n的顶点坐标是(-1,4),则m=（ ），n=( ). 3．如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与

x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 .

4．若二次函数y??x2?2x?k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程

?x2?2x?k?0的一个解x1?3，另一个解x2? ；

y O 1

3 x

5.已知抛物线y?ax2?bx?c（a＜0）过A（?2，0）、O（0，0）、 B（?3，y1）、C（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是

A．y1＞y2 B．y1?y2 C．y1＜y2 D．不能确定 6．已知抛物线y?x2?bx?c的对称轴为x?2，点A，

B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为 （0，3），则点B的坐标为

x = 2 y A B O x

A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）

4.最大、最小值 一般情况下，

（1）当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点?函数有最小值，最小值是顶点的纵坐标，此时对应的自变值是顶点的横坐标。求的方法同三。 （2）当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点?函数有最大值、最大值是顶点的纵坐标，此时对应的自变值是顶点的横坐标。求的方法同三。

习题：

1.已知抛物线y?ax2?bx?c的开口向下,顶点坐标为（2，－3） ,那么该抛物线有（ ）

A. 最小值 －3 B. 最大值－3 C. 最小值2 D. 最大值2 2. y?x2?3x?3，则y的最大值是（ ），

变式：已知实数x,y满足x2?3x?y?3?0,则x?y的最大值为 .

5.函数的增减性

从左向右观察：如果图像是上升趋势，y随x的增大而增大，减小而减小；

如果图像是下降趋势，y随x的增大而减小，减小而增大。

习题：

1.若A（-4，y1），B（-3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）

A、y1＜y2＜y3 B、y2＜y1＜y3 C、y3＜y1＜y2 D、y1＜y3＜y2

6.抛物线的平移

开口大小、方向不变，位置在变。即a值不变，顶点位置（坐标）在变。 平移规律：左加右减，上加下减：左右平移在自变量，上下平移在常数项。 例如：y=x2-2x+3向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度。具体方法为：（1）先将y=x2-2x+3化为顶点式y=（x-1）2+2，然后按照平移方法得到：y=（x-1+2）2+2-1，最后化简。

（2）直接按照平移方法化为y=（x+2）2-2（x+2）+3-1，最后化简。 习题：

1.把抛物线y?x2向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） （A）y?x2?1 （B）y?(x?1)2 （C）y?x2?1 （D）y?(x?1)2

12．将抛物线y??x2向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物

2线的解析式为____________．

23. 抛物线y?x?bx?c图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像

2的解析式为y?x?2x?3，则b、c的值为

A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 4.若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……

则E（x，x2?2x?1）可以由E（x，x2）怎样平移得到？ A．向上平移１个单位 B．向下平移１个单位 C．向左平移１个单位 D．向右平移１个单位

7.求图像与x轴交点坐标

令y=0，解方程ax2＋bx＋c=0，方程的根就是交点的横坐标。 习题：

1.抛物线y?x2?2x?3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 ． 2. 抛物线y?a(x?2)(x?3)与x轴的交点坐标是 。

2

3.已知抛物线y?x2?x?1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数m-m+100的值为

（ ） A．98 B．109 C．99 D．101

8.与x轴交点个数（情况）的判定

方法一：因为求图像与x轴交点坐标的方法是解方程ax2＋bx＋c=0，方程的根就是交点的横坐标。所以可以判定方程ax2＋bx＋c=0根情况，即算?。当?＞

0时，有两个交点；当?=0时，有一个交点；当?＜0时，没有交点；

方法二：直接看根法：如，y=6（x-3）(x+8)与x轴有几个交点，很明显，方程6（x-3）(x+8)=0的根式3、-8，所以有两个交点。 习题：

1.抛物线y?kx2?7x?7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）

7A．k??

477B．k??且k?0C．k??

447D．k??且k?0

42. 若函数y?kx2?7x?7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）

9. 求图像与y轴交点坐标。

令x=0，则y=c。即与y轴的交点坐标是（0，c） 习题：

1.y=（x-1）2+2与y轴的交点坐标是（ ）

2. 抛物线y?x2?2x?3与y轴的交点坐标是（ ） 10.利用二次函数图像解方程，或判定方程根的情况。

已知二次函数y?ax2?bx?c图像，判定方程ax2＋bx＋c=m根的情况，就是通过观察图像中直线y=m与抛物线的交点情况。一个交点，方程有两个相等的实数根，两个交点，方程有两个不相等的实数根，没有交点，方程没有实数根。

习题：

1.已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图2所示，则关于x的方程ax2+bx+c－3＝0的根的情况是（ ） A.有两个不相等的正实数根 B.有两个异号实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根

11.待定系数法 两种方法

1．一般式，设成y?ax2?bx?c，然后代入点的坐标，转化成解方程或方程组的问题。

（1）一般是代入几个已知点。

（2）特殊时，没有已知点，往往是通过找到几个特殊点，用一个字母设出这几个的坐标，然后代入y?ax2?bx?c，转化成解方程或方程组的问题。

2.顶点式。y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

2

12.求一次函数的图像与抛物线的交点坐标。 联立方程组。

13.图像的几种特殊位置及相关结论

（1）顶点在x轴上，?=0或顶点的纵坐标等于0，?=0简单。 （2）顶点在y轴上，b=0. （3）图像过原点，c=0.

习题：

1.设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2-5a-6为下图中四个图象之一，则a的值为（ ）

y y y y －1 O 1 x －1 O 1 x O x O x

A. 6或－1

14.抛物线的开口大小 a的绝对值越大，开口越小。 15.利用图像判断式子值情况

（1）只含有a、b一般是看对称轴，当然也可以直接由a、b的符号判定。 （2）含有a、b、c的式子，一般是看成x等于一个数时，函数值的情况。如9a+3b+c，可以看成是x=3时，函数值是正负的问题。

（3）b2-4ac或4ac- b2可以看图像与x轴的交点个数情况。 特殊的还要利用抛物线的对称性来解决。 习题：

1.已知二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图象如图1所示，有下列4个结论：

①abc?0；②b?a?c；③4a?2b?c?0；④b2?4ac?0； 其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个

D．4个

-1 O

B. －6或1 C. 6 D. －1

y x=1 x

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/486f.html