海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理）

海淀区高三年级第一学期期中练习

数 学（理） 2014.11

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项。

（1）设集合A?{x?R|x?1}，B?{x?R|?1≤x≤2}，则A（A）[?1,??)

（B）(1,??)

（C）(1,2]

B?（ ）

（D）[?1,1)

（2）已知向量a?(2,?1)，b?(3,x). 若a?b?3，则x?（ ） （A）6

（B）5

（C）4

（D）3

（3）若等比数列{an}满足a1?a3?5，且公比q?2，则a3?a5?（ ） （A）10

（B）13

（C）20

（D）25

（4）要得到函数y?sin(2x?π)的图象，只需将函数y?sin2x的图象（ ） 3（B）向左平移

（A）向左平移

?个单位 3?个单位 3?个单位 6?个单位 6（C）向右平移（D）向右平移

111（5）设a?()3，b?log2，c?log23，则（ ）

32（A）a?b?c

（B）c?a?b

（C）a?c?b

（D）c?b?a

（6） 设a,b?R，则“ab?0且a?b”是“（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

11?”的（ ） ab（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

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???x,x?0,（7）已知函数f(x)??若关于x的方程f(x)?a(x?1)有三个不相等的实数根，

??x,x≥0.则实数a的取值范围是（ ） （A）[,??)

12（B）(0,??) （C）(0,1)

an(Sn)（D）(0,)

12（8）设等差数列{an}的前n项和为

Sn.在同一个坐标系中，an?f(n)及Sn?g(n)的部分图象如图所示，则

（ ）

0.77-0.4O-0.88n

（A）当n?4时，Sn取得最大值 （C）当n?4时，Sn取得最小值

（B）当n?3时，Sn取得最大值 （D）当n?3时，Sn取得最小值

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二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）设复数z?i，则z?______． 1?ix?a（10） 已知函数y?2（11）

的图象关于y轴对称，则实数a的值是 .

?π?π(x?sinx)dx? ________.

（12）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：

mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C?药品的浓度达到最大.

20t，则经过_______h后池水中t2?4D为BC边上的一点，（13）如图所示，在△ABC中， 且BD?2DC.

若AC?mAB?nAD(m,n?R)，则m?n?____.

ABDC（14）已知函数f(x)?Asin(?x??)（A,?,?是常数，A?0,??0）的最小正周期为π,

设集合M?{直线ll为曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线，x0?[0,π)}.若集合

M中有且只有两条直线互相垂直，则?= ；A= .

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三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （15）（本小题满分13分）

已知函数f(x)?sinx?sin(x?（Ⅰ）求f()的值；

（Ⅱ）求f(x)的单调递增区间. （16）（本小题满分13分）

已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1?（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{an?n}的前n项和Sn.

（17）（本小题满分13分）

如图所示，在四边形ABCD中，?D?2?B，且

ADπ). 3π21，且a1,a3,?a2成等差数列. 2AD?1,CD?3,cosB?3. 3（Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC?23，求AB的长.

（18）（本小题满分14分）

已知函数f(x)?2alnx?x2?1.

（Ⅰ）若a?1,求函数f(x)的单调递减区间；

（Ⅱ）若a?0，求函数f(x)在区间[1,??)上的最大值； （Ⅲ）若f(x)?0在区间[1,??)上恒成立，求a的最大值. （19）（本小题满分13分）

已知数列{an}的前n项和Sn?（Ⅰ）求a1的值；

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BCn(1?an)(n?1,2,3,). 2（Ⅱ）求证：(n?2)an?1?(n?1)an?1(n?2)； （Ⅲ）判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由.

（20）（本小题满分14分）

11C:y?f(x)，为曲线在点(?1,)处的切线. L5x2?16x?2312（Ⅰ）求L的方程；

设函数f(x)?11（Ⅱ）当x??时，证明：除切点(?1,)之外，曲线C在直线L的下方；

512（Ⅲ）设x1,x2,x3?R，且满足x1?x2?x3??3，求f(x1)?f(x2)?f(x3)的最大值．

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数学（理）答案及评分参考 2014.11

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）D （3）C （4）B （5）B （6）A （7）D （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9）

2 （10）0 （11）0 21 2（12）2 （13）?2 （14）2；三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

πππ11?sin(?)?1??. ?????? 3分 22322π（Ⅱ）f(x)?sinx?sin(x?)

3ππ ?sinx?(sinxcos?cosxsin) ?????? 5分

33解：（Ⅰ）f()?sin ?sinx?(sinx?π212313πcosx)?sinx?cosx?sin(x?). 2223 ?????? 9分 函数y?sinx的单调递增区间为[2kπ? 由2kπ?分

得2kπ?ππ,2kπ?](k?Z)， 22πππ≤x?≤2kπ?(k?Z)， ?????? 11232π5π≤x≤2kπ?(k?Z). 66π5π,2kπ?](k?Z). ?????? 1366 所以 f(x)的单调递增区间为[2kπ?分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）因为 a1,a3,?a2成等差数列，

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所以 2a3?a1?a2. ?????? 2分 设数列{an}的公比为q(q?0)，由a1?1可得21112?q2??q， ?????? 4分

222即2q2?q?1?0.

1或q??1（舍）. ?????? 5分 解得：q?2 所以 a11n?122?1n??()2n. 分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a1n?n?2n?n. 所以 S1111n?2?1?22?2?23?3??2n?n 分

?12?11122?23??2n?1?2?3??n 1(1?1 ?22n)?n(n?1)?1?1?n(n?1). 1?122n22分

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）因为 ?D?2?B，cosB?33， 所以 cosD?cos2B?2cos2B?1??13. 因为 ?D?(0,π)，

所以 sinD?1?cos2D?223. 分

因为 AD?1,CD?3，

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??????7

??????8

??????9分 ?????? 13?????? 3分 ?????? 5 所以 △ACD的面积S?1122AD?CD?sinD??1?3??2. 223?????? 7分

（Ⅱ）在△ACD中，AC2?AD2?DC2?2AD?DC?cosD?12.

所以 AC?23. ?????? 9分

因为 BC?23，ACAB?， ?????? 11分 sinBsin?ACB 所以

23ABABABAB. ????sinBsin(??2B)sin2B2sinBcosB23sinB3 所以 AB?4. ?????? 13分

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?2lnx?x2?1.

2?2(x2?1)f?(x)??2x?，x?0. ?????? 2分

xx?2(x2?1)?0. 令f?(x)?x 因为 x?0，

所以 x?1. ?????? 3分 所以 函数f(x)的单调递减区间是(1,??). ?????? 4分

2a?2(x2?a) （Ⅱ）f?(x)?,x?0. ?2x?xx令f'(x)?0，由a?0，解得x1?a，x2??a（舍去）. ?????? 5分

① 当a?1，即0?a?1时，在区间[1,??)上f'(x)?0，函数f(x)是减函数. 所以 函数f(x)在区间[1,??)上的最大值为f(1)?0； ?????? 7分 ② 当a?1，即a?1时，x在[1,??)上变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表

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x f'(x) 1 (1,a) + ↗ a 0 (a,+ ) - ↘ f(x)

0 alna-a+1 所以 函数f(x)在区间[1,??)上的最大值为f(a)?alna?a?1.

?????? 10分

综上所述：当0?a?1时，函数f(x)在区间[1,??)上的最大值为f(1)?0； 当a?1时，函数f(x)在区间[1,??)上的最大值为f(a)?alna?a?1. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当0?a?1时，f(x)?f(1)?0在区间[1,??)上恒成立；

?????? 11

分

当a?1时，由于f(x)在区间[1,a]上是增函数， 所以 f(a)?f(1)?0,即在区间[1,??)上存在x?a使得f(x)?0.

?????? 13分 综上所述，a的最大值为1. ?????? 14分

（19）（共13分）

（Ⅰ）解：由题意知：S1?1?a11?a1，即a1?. 22 解得：a1?1. ?????? 2

分

n(1?an)(n?1,2,3,)， 2(n?1)(1?an?1) 所以 Sn?1?（n≥2）. ?????? 4

2 （Ⅱ）证明：因为 Sn?分

因为 an?Sn?Sn?1（n≥2）. ?????? 6分

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所以 an?nan?1?(n?1)an?1，即(n?2)an?1?(n?1)an?1(n?2).

2 ?????? 7分

（Ⅲ）数列{an}是等差数列.理由如下： ?????? 8分

又Sn?2?(n?2)(1?an?2)（n≥3），由（Ⅱ）可得：

2(n?1)an?1?1?(n?2)an?2（n≥3）. ?????? 9an?1?Sn?1?Sn?2?2nan?2(n?1)an?1?(n?2)an?2，

2分

所以 an?an?1?即(n?2)an?2(n?2)an?1?(n?2)an?2?0. ?????? 11分

因为 n≥3，

所以 an?2an?1?an?2?0，即an?an?1?an?1?an?2（n≥3）. 所以 数列{an}是以1为首项，a2?1为公差的等差数列. ?????? 13分

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）f?(x)??所以 f?(?1)??10x?16.

(5x2?16x?23)21. 2411所以 L的方程为y?1??1(x?1)，即y??x?． ?????? 3

24241224分

（Ⅱ）要证除切点(?1,1)之外，曲线C在直线L的下方，只需证明121111恒成立. ??x??x?(??,?1)(?1,?)，25x?16x?2324245因为 5x2?16x?23?0， 所以 只需证明?x?(??,?1)1(?1,?)，5x3?11x2?7x?1?0恒成立即可．

5 ?????? 5

分

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1设g(x)?5x3?11x2?7x?1 (x≤?).

5则g?(x)?15x2?22x?7?(x?1)(15x?7). 令g?(x)?0，解得x1??1，x2??7. ?????? 6分 151当x在(??,?]上变化时，g'(x),g?x?的变化情况如下表

5x g'(x) (??,?1) + ↗ ?1 (?1,?77) - 1515(-71,-) 155+ ↗ 1? 5 0 - ↘ 0 g(x)

所以 ?x?(??,?1)分

0 0 1(?1,?)，5x3?11x2?7x?1?0恒成立. ?????? 8

5111（Ⅲ）（ⅰ）当x1??,x2??,且x3??时，

555111≤?x1?由（Ⅱ）可知：f(x1)?2，

5x1?16x1?232424f(x2)?111111≤?x?，f(x3)?2. ≤?x3?225x2?16x2?2324245x3?16x3?232424三式相加，得f(x1)?f(x2)?f(x3)??因为 x1?x2?x3??3，

11(x1?x2?x3)?. 2481所以 f(x1)?f(x2)?f(x3)≤，且当x1?x2?x3??1时取等号． ?????? 11分

41（ⅱ）当x1,x2,x3中至少有一个大于等于?时，

518511851不妨设x1≥?，则5x12?16x1?23?5(x1?)2?≥5(??)2??20，

5555558515185151因为 5x22?16x2?23?5(x2?)2?≥，5x32?16x3?23?5(x3?)2?≥，

555555所以 f(x1)?f(x2)?f(x3)≤1551???． 20515141.?????? 144综上所述，当x1?x2?x3??1时f(x1)?f(x2)?f(x3)取到最大值分

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