第4章 矩阵的秩与n维向量空间

第4章矩阵的秩与n维向量空间

本章主要内容：n维向量的概念与线性运算向量组的线性相关线性无关的概念及其有关的重要理论向量组的最大无关组向量组的

秩矩阵的秩与向量组的秩之间的关系向量空间与子空间

基底与维数向量的坐标与坐标变换公式向量的内积正交

矩阵

教学目的及要求：理解n维向量的概念，掌握向量的线性运算．理解向量组

的线性相关，线性无关的定义及有关的重要结论．理解向

量组的最大无关组与向量组的秩，理解矩阵的秩与向量组

的秩之间的关系，并掌握用初等变换求向量组的秩．理解

基础解系的概念，了解n维向量空间及子空间，基底，维

数，坐标等概念．掌握向量的内积及其性质、向量的长度

及其性质、正交向量、正交向量组及其性质、正交规范化

方法以及正交矩阵及其性质．

教学重点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；向量组的正交规范化的方法；正交矩阵的概念及其性质．

教学难点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；施密特正交化方法及应用

教学方法：启发式

教学手段：讲解法

教学时间：8学时

教学过程：

1 4．1 矩阵的秩

矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征，是矩阵在初等变换下的一个不变量，它能表述线性代数变换的本质特性，矩阵的秩在研究n 维向量空间的空间结构及向量之间的相互关系中起着重要的作用．

定义4．１ 设A 是一个m n ?矩阵，任取A 的k 行与k 列(,k m k n ≤≤)，位于这些行列交叉处的2

k 个元素，按原来的次序所构成的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式．

m n ?矩阵A 的k 阶子式共有k n k m C C 个． 定义4．2 设A 是一个m n ?矩阵，如果A 中至少存在一个非零的r 阶子式D ，且所有1r +阶子式（如果存在的话）全为零，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩，记作()R A ．

并规定零矩阵的秩等于0．

由上述定义可知：

（1）()R A 是A 的非零子式的最高阶数；

（2）0()min{,}m n R A m n ?≤≤；

（3）()()T

R A R A =；

（4） 对于n 阶方阵A ，有()0R A n A =?≠．

例4．1 求矩阵A 和B 的秩，其中 251003042A -?? ?= ? ?-??，123101110000B -?? ?=-- ? ???

．

解 由于0A ≠，因此()3R A =．由于B 的所有3阶子式全为零，显然12

01-是B 的

一个二阶非零子式，因此()2R B =．

对于行、列数较多的矩阵A ，用秩的定义计算()R A ，有时要计算很多个行列式，工作量相当大．此时，通常用初等变换来计算()R A ．下面介绍这种方法，为此，先证明一个很重要的定理．

2 定理4．1 若~A B ， 则()()R A R B =．

证 先证明：若A 经一次初等行变换变为B ，则()()R A R B ≤． 设()R A r =，且A 的某个r 阶子式0D ≠．设 D 是由矩阵A 中的第1i ，2i ，…， r i 行与第1j ，2j ，…， r j 列交叉元组成的，A 经一次初等行变换变为B ，变换后的D 在B 中

的位置为第'1i ，'2i ，…， 'r i 行与第1j ，2j ，…， r j 列，有这些行列交叉元组成的r 阶子

式记作1D ，显然，1D 是由D 经过一次初等变换得到的， 从0D ≠可推出10D ≠，从而

()R B r ≥．

由于B 亦可经一次初等变换变为A ，故也有()()R B R A ≤，因此()()R A R B =． 从而，若~r

A B ，则()()R A R B =．

于是，~c A B ，则~r T T A B ，故()()()()T T R A R A R B R B ===． 由此得证，若~A B ，则()()R A R B =．证毕．

例4．2 设 1412

23836122110282

23A -?? ?-- ?= ?- ?---?? 求()R A ，并求A 的一个最高阶非零子式．

解 由于 123451412238361(,,,,)22110282

23A a a a a a -?? ?-- ?= ?- ?---?? 2134331423221234514122010333~ (,,,,)0006100000r r r r r r r r r r r b b b b b B --+----?? ?--

? ?-- ???，

显然()3R B =，因此()3R A =．

可见，

3

1

124124114214238

60103(,,)(,,)22100628200

0~r A a a a b b b B ????

? ?--

? ?== ? ?--

? ?--????，

显然，1()3R B =，所以1()3R A =，故1A 中必有3阶非零子式．1A 的前三行构成的子式：

142

38660022

1

-=≠- 也是A 的一个最高阶非零子式．

例4．3 设

1111112k A k ?? ?= ? ???，12b k ??

?

= ? ???

，(,)B A b =

问k 取何值，可使

（1）()()3R A R B ==；（2）()()R A R B <；（3）()()3R A R B =<．

解 由于

1321

3111111221101121122011212~r

r r r r kr k B k k k k k k k ?--???? ? ?=--- ? ?

? ?---????

32

23(1)

(1)112201120

021~r r r r k k k

k +÷-÷-??

?-- ?

?+??

因此

（1） 当0k ≠且1k ≠时，()()3R A R B ==；

（2） 当0k =时，()2,()3,()()R A R B R A R B ==<；

（3） 当1k =时，3221

12211221122011200110011002100220000~r r k

k k

k -??????

? ? ?--= ? ? ? ? ? ?+?

?????

，

()()23R A R B ==<．

矩阵的秩的性质：

① 0()min{,}m n R A m n ?≤≤． ② ()()T

R A R A =．

4 ③ 若~A B ，则()()R A R B =．

④ 若P 、Q 可逆，则()()R PAQ R A =．

⑤ max{(),()}(,)()()R A R B R A B R A R B ≤≤+．特别地，当B b =为列向量时，有

()(,)()1R A R A b R A ≤≤+．

证 由于A 的最高阶非零子式也是(,)A B 的非零子式，所以()(,)R A R A B ≤．同理有()(,)R B R A B ≤．从而

max{(),()}(,)R A R B R A B ≤．

设(),()R A r R B s ==．则A 和B 列阶梯形0A 和0B 中分别含有r 个和s 个非零列．因为00,~~c c A A B B ，所以00(,)(,)~c

A B A B ．由于00(,)A B 中只含有r s +个非零列, 所以00(,)R A B r s ≤+，而00(,)(,)R A B R A B =，故(,)R A B r s ≤+，即

(,)()()R A B R A R B ≤+．

⑥ ()()()R A B R A R B +≤+．

证 显然(,)(,)~c

A B B A B +，故 ()(,)(,)()()R A B R A B B R A B R A R B +≤+≤≤+

⑦ ()min{(),()}R AB R A R B ≤．

证 设(),()R A r R B s ==．又设A 的行阶梯形为0A ，B 的列阶梯形为0B ，则存在可逆矩阵P 和Q 使00,A PA B B Q ==．因为00AB PA B Q =，所以

00()()R AB R A B =．

由于0A 有r 个非零行,0B 有s 个非零列，因此00A B 至多有r 个非零行和s 个非零列．故

00()min{,}min{(),()}R A B r s R A R B ≤=，

即 ()min{(),()}R AB R A R B ≤．

⑧ 若m n n l A B O ??=，则()()R A R B n +≤．

5 证 设矩阵 m n A ?秩为r ， 显然r n ≤，对矩阵 m n A ?存在可逆矩阵m P 和n Q 使

r

m m n n E O P A Q O O ???=????

1m m n n n nl m m n nl P A Q Q B P A B O -??==，1()()n nl nl R Q B R B -=，

设1r l n nl n l n r l C Q B C C ?-?-???==????

，则 1m m n n n nl P A Q Q B -?＝r

E O O

O ??????r l n r l C C ?-???????＝r r l E C O O O O ???=???? 所以1n nl n l n r l O Q B C C -?-???==????

，n l C ?至多有n 行不全为零， ()()n l R C R B n r ?=≤-

()()()R A R B r R B r n r n +=+≤+-=

例4．4 设n 阶矩阵A 满足2

,A A E =为n 阶单位阵， 证明： ()()R A R A E n +-=

证 由2

A A =，知 ()A A E O -= ，由性质8，有 ()()R A R A E n +-≤

由于()A E A E +-=，由性质6，有

()()()R A R E A R E n +-≥=

而()()R A E R E A -=-，所以()()R A R A E n +-=．

6 4．2

n 维向量 定义4．3 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量，记为

12n a a a a ?? ? ?= ? ???

或 12(,,,)T n a a a a = 其中(1,2,,)i a i n =称为向量a 或T a 的第i 个分量．

分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量．

向量12n a a a a ?? ? ?= ? ???

称为列向量，向量12(,,,)T n a a a a =称为行向量．列向量用黑体小写字母,,,a b αβ等表示，行向量则用,,,T T T T a b αβ等表示．如无特别声明，向量都当作列向

量．

n 维向量可以看作矩阵，按矩阵的运算规则进行运算．

n 维向量的全体所组成的集合

1212{(,,

,)|,,,}n T n n R x x x x x x x R ==∈

叫做n 维向量空间． n 维向量的集合

121122{(,,

,)|}T n n n x x x x a x a x a x b =+++= 叫做n 维向量空间n R 中的1n -维超平面．

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．

矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组；反之，一个含有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵，例如，n 个m 维列向量所组成的向量组12,,,n a a a 构成一个m n ?矩阵

12(,,

,)m n n A a a a ?= m 个n 维行向量所组成的向量组12,,,m

T T T βββ构成一个m n ?矩阵 12T T m n T m B βββ??? ? ?= ? ? ???

综上所述，含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．

7 定义4．4 给定向量组12:,,,m A a a a ，对于任何一组实数12,,

,m k k k ，表达式 1122m m k a k a k a +++ 称为向量组A 的一个线性组合，12,,

,m k k k 称为其系数． 给定向量组12:,,,m A a a a 和向量b ，如果存在一组数12,,

,m λλλ，使

1122m m b a a a λλλ=+++， 则称向量b 可由向量组A 线性表示．

向量b 可由向量组A 线性表示，也就是方程组

1122m m x a x a x a b ++

+=

有解．

例4．5 向量组 12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,

,1)T T T n e e e === 称为n 维单位坐标向量．对任一n 维向量12(,,

,)T n a a a a =，有 1122n n a a e a e a e =+++

例4．6 设 123(1,2,,1),(2,1,1),(2,2,4),(1,2,3)T T T T αααβ==-=--=--

证明：向量β可由向量组123,,ααα线性表示，并求出表示式．

证 由于

12312211001/3(,,,)21220102/311540011~r αααβ???? ? ?=--- ? ? ? ?---????

所以向量β可由向量组123,,ααα线性表示，且表示式为

1231233βααα=-+

定义4．5 设有两个向量组12:,,,m A a a a 及12:,,,l B b b b ，若B 组中的每个向量都可由向量组A 线性表示，则称向量组B 可由向量组A 线性表示．若向量组A 与向量组B 可相互线性表示，则称这两个向量组等价．

8 4．3 向量组的线性相关性

定义4．6 给定向量组12:,,,m A a a a ，如果存在不全为零的数12,,

,m k k k ，使 11220m m k a k a k a ++

+= 则称向量组A 是线性相关的，否则称为线性无关． 向量组12:,,

,m A a a a 构成矩阵12(,,,)m A a a a =，向量组A 线性相关，就是齐次线

性方程组 11220m m x a x a x a ++

+= 即0Ax =有非零解．

例4．7 n 维单位坐标向量组12,,,n e e e 线性无关．

证 设有数 n x x x ，，，

21 使 02211=+++n n e x e x e x ，即 021=T n x x x ），，，（

故021====n x x x ，

，所以n e e e ，，， 21线性无关． 例4．8 设112223334441,,,βααβααβααβαα=+=+=+=+，证明：向量组 1234,,,ββββ线性相关．

证 由于1324ββββ+=+，所以向量组1234,,,ββββ线性相关． 例4．9 设n 维向量组12:,,,m A a a a 线性无关，P 为n 阶可逆矩阵，证明：12,,,m Pa Pa Pa 也线性无关．

证 用反证法．如若不然，假设12,,,m Pa Pa Pa 线性相关，则齐次方程组

11220m m x Pa x Pa x Pa ++

+= 有非零解．上式两边左乘1

P -可得 11220m m x a x a x a ++

+= 也有非零解，于是12,,

,m a a a 线性相关， 这与题设相矛盾．因此12,,

,m Pa Pa Pa 线性无关． 下面给出线性相关和线性无关的一些重要结论． 定理4．2 向量组12:,,,(2)m A a a a m ≥线性相关的充要条件是在向量组A 中至少有一个向量可由其余1m -个向量线性表示． 证 必要性．设向量组12:,,,m A a a a 线性相关，则有不全为0的数12,,,m k k k （不

妨设10k ≠），使 11220m m k a k a k a ++

+=

9 从而

21211m m k k a a a k k =-

-- 即1a 可由2,,m a a 线性表示．

充分性．设向量组A 中有某个向量可由其余1m -个向量线性表示，不妨设m a 可由11,,m a a -线性表示，即有121,,,m λλλ-，使

112211m m m a a a a λλλ--=++

+ 于是

112211(1)0m m m a a a a λλλ--++

++-= 因为121,,,,1m λλλ--这m 个数不全为0，所以向量组A 线性相关．

定理4．3 若向量组12:,,

,r A a a a 线性相关，则向量组121:,,,,r r B a a a a +也线性相关．换言之，若向量组B 线性无关，则向量组A 也线性无关．

证 由于向量组12,,,r a a a 线性相关，所以存在不全为零的r 个数12,,

,r k k k ，使

11220r r k a k a k a +++= 从而 1122100r r r k a k a k a a +++

++?= 且12,,,,0r k k k 这1r +个数不全为零．因此，121,,,,r r a a a a +线性相关．

定理4．4 设向量组12:,,,r A a a a 线性无关，而向量组12:,,

,,r B a a a b 线性相关，则向量b 必可由向量组A 唯一地线性表示．

证 由于向量组12:,,,,r B a a a b 线性相关，所以存在不全为零的1r +个数 12,,,,r k k k k ，使

11220r r k a k a k a kb ++++=

如0k =，则12,,,r k k k 必不全为零，于是

11220r r k a k a k a +++=

这与向量组12:,,,r A a a a 线性无关矛盾，所以0k ≠．故

1212r r k k k b a a a k k k =-

--- 设有1122r r b a a a λλλ=+++，111111a a a b μμμ+++= 两式相减，则有

111222()()()0r r r a a a λμλμλμ-+-++-=

由向量组12:,,,r A a a a 线性无关，0(1,2,

,)i i i r λμ-==．即(1,2,,)i i i r λμ==． 所以，向量b 可由向量组A 唯一地线性表示．

10 定理4．5 向量组12:,,,r A a a a 线性相关?()R A r <．换言之，向量组12:,,,r A a a a 线性无关?()R A r =．

证 必要性．设向量组12:,,

,r A a a a 线性相关，则存在不全为零的r 个数 12,,,r k k k （不妨设0r k ≠），使

11220r r k a k a k a +++=

即

121121r r r r r r k k k a a a a k k k --=-

--- 对12(,,,)r A a a a =施行初等列变换

121121r r r r r r

k k k c c c c k k k --++++ 可将A 的第r 列变成０，故121(,,,,0)~c r A a a a -，所以

121()(,,

,)r R A R a a a r -=< 充分性．设()R A s r =<，可用列初等变换将A 化为列阶梯形矩阵，即存在可逆矩阵Q ，

使得），（0s n C AQ ?=，矩阵A 的列向量组n a a a ，

，21线性相关． 定理4．6 若向量组12,,

,r a a a 线性相关，向量组12,,,r b b b 可由向量组12,,,r a a a 线性表示，则向量组12,,

,r b b b 也线性相关． 证 向量组12:,,,r B b b b 可由向量组12:,,,r A a a a 线性表示，则有

1211112211122(,,

,)(,

)r r r r r rr r B b b b k a k a k a k a k a k a ==++++++ 即 1121112

2221212(,,,)r r r r r rr k k k k k k B a a a AK k k k ??????==??????

因为矩阵A 的列向量组线性相关，所以()R A r < ，由矩阵的秩的性质（7）知

r A R AK R B R ）〈（）（）（≤=

故B 的列向量组 12,,,r b b b 线性相关．

推论1 若向量组12:,,

,,r r s B b b b b +可由向量组12:,,,r A a a a 线性表示，则向量组12:,,,,r r s B b b b b +线性相关．

证 显然，向量组121:,,,,r r B b b b b +可由向量组'12:,,

,,0r A a a a ，…，0（s 个零

11 向量）线性表示，而向量组'A 线性相关，由定理4．6，12:,,

,,r r s B b b b b +线性相关．

推论2 1n +个n 维向量一定线性相关．

证 1n +个n 维向量组A 一定可由 12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)T T T n e e e ===

线性表示，由推论1立即可的结论．

12 4．4 向量组的秩

矩阵的秩在讨论向量组的线性组合和线性相关性时，起了十分关键的作用．向量组的秩也是一个很重要的概念，它在向量组的线性相关性问题中同样起到十分重要的作用． 定义4．7 给定向量组A ，如果存在0A A ?，满足

（1）012:,,,r A a a a 线性无关；

（2）向量组A 中任意1r +个向量(如果A 中有1r +个向量的话)都线性相关． 那么称向量组0A 是向量组A 的一个极大线性无关向量组（简称极大无关组），r 称为向量组A 的秩，记作A R ．

规定：只含零向量的向量组的秩为0．

极大无关组的一个基本性质是，向量组A 的任意一个极大无关组012:,,,r A a a a 与A 是等价的．

事实上，显然0A 组可由A 组线性表示(αα=)．而由定义4．7的条件（2）知，对于A 中任一向量,1a r +个向量12,,

,,r a a a a 线性相关，而12,,,r a a a 线性无关，由定理4．4知a 可由12,,,r a a a 线性表示，即A 组可由0A 组线性表示．所以0A 组与A 组等价． 定理4．7 矩阵的秩等于其列向量组的秩，也等于其行向量组的秩．

证 设12(,,,),()m A a a a R A r ==，并设r 阶子式0r D ≠．根据定理4．5，由0r D ≠ 知r D 所在的r 个列向量线性无关；又由A 中所有1r +阶子式全为零，知A 中任意1r +个列向量都线性相关．因此r D 所在的r 个列向量是A 的列向量组的一个极大无关组，所以列向量组的秩等于r ．

类似可证矩阵A 的行向量组的秩也等于()R A ．

例4．10 12:,,,n E e e e 是n 维向量空间n R 的一个极大无关组，n R 的秩等于n ． 极大无关组有如下的等价定义：

推论 设向量组012:,,

,r A a a a 是向量组A 的一个部分组，且满足 （1）0A 线性无关；

（2）A 中任一向量都可由0A 线性表示．

那么0A 是A 的一个极大无关组．

证 任取121,,,r b b b A +∈ ，由条件（ⅱ）知这1r +个向量可由向量组0A 线性表示，

从而根据定理4．6推论1，知121,,,r b b b +线性相关． 因此，0A 是A 的一个极大无关组．

设向量组12:,,,m A a a a 构成矩阵12(,,

,)m A a a a =，根据向量组的秩的定义及定理

13 4．7，有

12(,,

,)()A m R R a a a R A == 因此，12(,,,)m R a a a 既可理解为矩阵的秩, 也可理解成向量组的秩．

定理4．8 如向量组A 可以被和向量组B 线性表示，则A B R R ≤．

证 设向量组A 和向量组B 的极大无关组分别是12,,,s a a a 与12,,,t b b b ，显然

12,,,s a a a 可以被12,,,t b b b 线性表示，如s t >，由定理4．6的推论1，12,,

,s a a a 线性相关，与12,,,s a a a 是极大无关组矛盾，所以t s ≤，即A B R R ≤．

定理4．9 设有两个同维数的向量组A 和向量组B ，向量组C 由向量组A 和向量组B 合并而成，则向量组B 可由向量组A 线性表示的充要条件是A C R R =．

特别地，向量b 可由向量组12:,,,m A a a a 线性表示的充要条件是

1212(,,,)(,,

,,)m m R a a a R a a a b = 证 设()R A r =，并设是012:,,,r A a a a 是A 组的一个极大无关组．

必要性． C 组由A 组和B 组合并而成，由于B 组可由A 组表示，所以C 组可由A 组表示，由定理4．8，C A R R ≤，显然A 组可由C 组表示，所以A C R R ≤，因此，A C R R =．

充分性．任取b B ∈．由于1212(,,,)(,,,,)r r C A r R a a a R a a a b R R r =≤≤==，故

12(,,,,)r R a a a b r =，知向量组12,,,,r a a a b 线性相关，而向量组012:,,

,r A a a a 线性无关，由定理4．8，知b 可由0A 组表示，所以b 可由A 组表示．由b 的任意性，于是B 组可由A 组表示．

推论 设A 和B 是两个同维数的向量组，向量组C 由向量组A 和向量组B 合并而成，则向量组A 与向量组B 等价的充分必要条件是 A B C R R R ==．

例4．11 设n 维向量组12:,,,m A a a a 构成n m ?矩阵12(,,,)m A a a a =． 证明：任一n 维向量可由向量组A 线性表示的充要条件是()R A n =．

证 必要性．由于任一n 维向量可由向量组A 线性表示，故向量组12,,

,n e e e 可由向

量组A 线性表示，从而根据定理4．9有()(,)R A R A E =．而 ()(,)n R E R A E n ≤≤≤，

所以(,)R A E n =，因此()R A n =．

充分性．设β是任一n 维向量，由于()(,)n R A R A n β=≤≤，

故()(,)R A R A β=，所以由定理4．9知β可由向量组A 线性表示．

例4．12 设矩阵

14 12102448773743025765A --?? ?- ?= ?-- ?-??

求矩阵A 的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示．

解 由于

12345123451

010401103(,,,,)(,,,,)000130

0000~r A a a a a a b b b b b B -?? ?- ? ?- ???

而方程0Ax =与0Bx =同解，即方程 11223344550x a x a x a x a x a ++++= 与11223344550x a x a x a x a x a ++++=

同解，因此向量12345,,,,a a a a a 之间与向量12345,,,,b b b b b 之间有相同的线性关系．而 124,,b b b 是12345,,,,b b b b b 的一个极大无关组，且

312b b b =--, 5124433b b b b =+-

所以124,,a a a 是12345,,,,a a a a a 的一个极大无关组，且

312a a a =--, 5124433a a a a =+-

15 4．5 向 量 空 间

前面把n 维向量的全体所构成的集合n R 称为n 维向量空间．本节介绍向量空间的一般概念．

定义4．8 设V 为n 维向量的集合，若V 非空，且对于加法及数乘两种运算封闭，即：,,V R αβλ?∈?∈有,V V αβλα+∈∈．则称V 为向量空间．

定义4．9 设有向量空间1V 及2V ，若12V V ?，就称1V 是2V 的子空间． 例4．13 n R 是一个向量空间．

例4．14 集合121121{(,,

,,0)|,,,}T n n V x x x x x x x R --==∈是一个向量空间．它是n R 的一个子空间．

例4．15 集合121121{(,,,,2)|,,,}T n n V x x x x x x x R --==∈不是一个向量空间． 定义4．10 设V 为向量空间，如果12,,

,r V ααα∈满足 （1）12,,,r ααα线性无关；

（2）V 中任一向量都可由12,,

,r ααα线性表示． 那么，向量组12,,

,r ααα就称为向量空间V 的一个基，r 称为向量空间V 的维数，并称V 为r 维向量空间．

例4．16 设有n 维向量组12,,,m ααα，集合

112212{|,,,}m m m V x R λαλαλαλλλ==++

+∈ 是一个向量空间．12,,

,m ααα的任一最大无关组是V 的一个基．向量空间V 称为由向量组12,,,m ααα所生成的向量空间．

例4．17 设向量组12:,,,m A ααα与向量组12:,,

,s B βββ等价, 记 1112212{|,,

,}m m m V x R λαλαλαλλλ==+++∈ 2112212{|,,,}s s s V x R μβμβμβμμμ==++

+∈ 则12V V =．

容易得出如下结论：

（1）若向量空间V 没有基，则V 的维数为0．0维向量空间只含一个零向量．

（2）若向量空间n V R ?，则V 的维数不会超过n ，并且，当V 的维数为n 时，n V R =．

（3）若向量组12,,,r ααα是向量空间V 的一个基，则

112212{|,,,}r r r V x R λαλαλαλλλ==++

+∈

16 例4．18 设123134379(, , )245268A ααα?? ? ?== ? ???

，求由向量组123,,ααα所生成的向量空间的一个基和维数，并将123,,ααα中的非基向量用这个基线性表示．

解 由于

134101/2379013/2245000268000~r A -???? ? ? ? ?= ? ? ? ?????

所以123,,ααα所生成的向量空间的维数是2，12,αα是这个向量空间的一个基，且有

3121322ααα=-+

例4．19 在n R 中取定一个基12,,,n ααα，再取一个新基12,,

,n βββ，设 1212(,,

,),(,,,)n n A B αααβββ== 求用12,,,n ααα表示12,,,n βββ的表示式（基变换公式），并求向量在两个基中的坐标之间的关系式（坐标变换公式）．

解 由

1212(,,

,)(,,,)n n e e e A ααα=

得 11212(,,

,)(,,,)n n e e e A ααα-=

故 1121212(,,

,)(,,,)(,,,)n n n e e e B A B βββααα-==

即基变换公式为 1212(,,

,)(,,,)n n P βββααα= 其中：表示式的系数矩阵1P A B -=称为从旧基到新基的过渡矩阵．

设向量γ在旧基和新基中的坐标分别为12,,,n a a a 和12,,,n b b b ，即

1212(,,,)n n a a a γααε?? ? ?= ? ???，1212(,,,)n n b b b γβββ?? ? ?= ? ???

则

17 1122n n a b a b A B a b ???? ? ? ? ?= ? ? ? ?????

于是

11221n n b a b a B A b a -???? ? ? ? ?= ? ? ? ?????

, 即

11221n n b a b a P b a -???? ? ? ? ?= ? ? ? ?????

这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式．

18 4．6 向量的内积 正交矩阵

定义 4．11 设有n 维向量12(,,,)T n x x x x =，12(,,,)T n y y y y =，令

1122[,]n n x y x y x y x y =+++

称[,]x y 为向量x 与y 的内积．

当x 与y 都是列向量时，有[,]T x y x y =． 内积具有下列性质（其中,,x y z 为n 维向量，λ为实数）：

（1）[,][,]x y y x = ；

（2）[,][,]x y x y λλ= ；

（3）[,][,][,]x y z x z y z +=+；

（4）当0x =时，[,]0x x =；当0x ≠时，[,]0x x >．

这些性质可根据内积定义直接证明．

定义4．12 令

22221 ] ,[||||n

x x x +???++==x x x 称x 为n 维向量x 的长度（或范数）．

当1x =时, 称x 为单位向量．

向量的长度具有下述性质：

（1）非负性 当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =；

（2）齐次性 x x λλ=?；

（3）三角不等式 x y x y +≤+．

证 （1）与（2）是显然的，只需证明（3）．因为

222

2[,][,]2[,][,]2()x y x y x y x x x y y y x x y y x y +=++=++≤+?+=+ 所以 x y x y +≤+

上面证明中用到了许瓦兹不等式．即当0x ≠，0y ≠时，

[,]1||||||||

x y x y ≤? 事实上，由于

2()[,][,]2[,][,]0t tx y tx y t x x t x y y y ?++=++≥

因此

19 24([,][,][,])0x y x x y y ?=-≤

而0x ≠，0y ≠，所以 [,]1||||||||

x y x y ≤?． 由上述可得如下的定义：

（1） 当0x ≠，0y ≠时，[, ]arccos ||||||||

x y x y θ=? 称为n 维向量x 与y 的夹角． （2）当[,]0x y =时，称向量x 与y 正交．显然，若0x =，则x 与任何向量都正交． 定理4．10 若n 维向量12,,

,r ααα是一组两两正交的非零向量，则12,,,r ααα线性无关．

证 设有12,,,r λλλ，使

11220r r λαλαλα+++=

以T i α左乘上式两端，得0T i i i λαα=，因0i α≠，故

20T i i i ααα=≠

从而必有0(1,2,,)i i r λ==．于是向量组12,,,r ααα线性无关．

定义4．13 设n 维向量12,,,r e e e 是向量空间()n V V R ?的一个基，如果12,,

,r e e e 两两正交，且都是单位向量，则称12,,

,r e e e 是V 的一个规范正交基． 例如，1231221112,1,2333221e e e ?????? ? ? ?=-=-= ? ? ? ? ? ?--??????

就是3R 的一个规范正交基． 为了计算方便，我们常常需要从向量空间V 的一个基12,,

,r ααα出发，找出V 的一个规范正交基12,,,r e e e ， 使12,,,r e e e 与12,,,r ααα等价．这样一个问题，称为把12,,,r ααα这个基规范正交化．

施密特正交化 设12,,

,r ααα是向量空间V 中的一个基，首先将12,,,r ααα正交化：

11βα=

1222111[, ][, ]βαβαβββ=-

， 121121112211[, ][, ][, ][, ][, ][, ]

r r r r r r r r r βαβαβαβαβββββββββ----=----

20 然后将12,,,r βββ单位化：

1111||||e ββ=

, 2221||||e ββ=, , 1||||r r r e ββ= 容易验证，12,,,r e e e 是V 的一个规范正交基，且与12,,,r ααα等价．

上述从线性无关向量组12,,,r ααα导出正交向量组12,,,r βββ的过程称为施密特

正交化过程．它满足：对任何(1)k k r ≤≤，向量组12,,

,k βββ与12,,

,k ααα等价． 例4．20 试用施密特正交化过程将线性无关向量组 123(1,1,1),(1,2,3),(1,4,9)T T T ααα===

规范正交化．

解 取

11111βα?? ?== ? ???, 1

2221111[, ]0[, ]1βαβαβββ-?? ?=-= ? ???，1323331211221[, ][, ]12[, ][, ]31βαβαβαββββββ?? ?=--=- ? ???

再取

11111||||1e ββ???==???

，22210||||1e ββ-???==???

，33312||||1e ββ???==-???

123,,e e e 即为所求．

定义4．14 若n 阶方阵A 满足T A A E =（即1T A A -=）， 则称A 为正交矩阵，简称正交阵．

正交阵有下述性质：

（1）若A 为正交阵，则1T A A -=也是正交阵，且1A =±；

（2）若A 和B 都是正交阵，则AB 也是正交阵；

（3）方阵A 为正交阵的充要条件是A 的n 个列（行）向量构成向量空间n R 的一个规范正交基．

证 性质（1）、（2）显然成立．下面证明性质（3）．

只就列向量加以证明．设12(,,,)n A a a a =，因为

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