覃巨石：高中数学必修二立体几何精讲精练

高中数学必修二立体几何精讲精练

第一部 精讲题

第一节 简单几何体

A 组

1．下列命题中，不正确的是______．

①棱长都相等的长方体是正方体

②有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱

③有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱

④底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体

解析：由平行六面体、正方体的定义知①④正确；对于②，相邻两侧面垂直于底面，则侧棱垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，因而②正确；对于③，若两侧面平行且垂直于底面，则不一定是直棱柱．答案：③

2．(2009年高考全国卷Ⅱ改编)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图的平面图形，则标“△”的面的方位是________．

解析：将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，

将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．答案：北

3．(2009年高考安徽卷)对于四面体ABCD ，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)．

①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；

②由顶点A 作四面体的高，其垂足是△BCD 三条高线的交点；

③若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高，则这两条高的垂足重合；

④任何三个面的面积之和都大于 第四个面的面积；

⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．

解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD 的三条高线的交点；③中如果AB 与CD 垂直，则两条高的垂足重合．答案：①④⑤

4．下列三个命题，其中正确的有________个．

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台．

解析：①中的平面不一定与底面平行，②③可用反例图去验证．答案：0

5．下面命题正确的有________个．

①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱

②过圆锥侧面上一点有无数条母线

③三棱锥的每个面都可以作为底面

④圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是等腰三角形

解析：①②错，③④正确．①错在绕一条直线，应该是绕长方形的一条边所在的直线；

②两点确定一条直线，圆锥的母线必过圆锥的顶点，因此过圆锥侧面上一点只有一条母线．答案：2

6.如图所示，长方体的长、宽、高分别为4 cm,3 cm,5 cm，一只蚂蚁从A到C1点沿着表面爬行的最短距离是多少？

解：长方体ABCD－A1B1C1D1的表面可如下图三种方法展开后，A、C1两点间的距离分别为：

(5＋4)2＋32＝310，(5＋3)2＋42＝45，(3＋4)2＋52＝74，三者比较得74是从点A沿表面到C1的最短距离，∴最短距离是74 cm.

B组

1．(2009年高考安徽卷)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．

①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；

②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；

③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；

④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；

⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．

解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点；③中如果AB 与CD垂直，则两条高的垂足重合．答案：①④⑤

2．下面是关于三棱锥的四个命题：

①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．

②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．

③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．

④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．

其中，真命题的编号是______．(写出所有真命题的编号)

解析：对于①，设四面体为D－ABC，过棱锥顶点D作底面的垂线DE，过E分别作AB，BC，CA边的垂线，其垂足依次为F，G，H，连结DF，DG，DH，则∠DFE，∠DGE，∠DHE分别为各侧面与底面所成的角，所以∠DFE＝∠DGE＝∠DHE，于是有FE＝EG＝EH，DF＝DG＝DH，故E为△ABC的内心，又因△ABC为等边三角形，所以F，G，H为各边的中点，所以△AFD≌△BFD≌△BGD≌△CGD≌△AHD，故DA＝DB＝DC，故棱锥为正三棱锥．所以为真命题．对于②，侧面为等腰三角形，不一定就是侧棱为两腰，所以为假命题．对于③，面积相等，不一定侧棱就相等，只要满足斜高相等即可，所以为假命题．对于④，由侧棱与底面所成的角相等，可以得出侧棱相等，又结合①知底面应为正三角形，所以为真命题．综上，①④为真命题．答案：①④

3.关于如图所示几何体的正确说法为________．

①这是一个六面体②这是一个四棱台

③这是一个四棱柱④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体

⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱

答案：①②③④⑤

4．(2009年高考安徽卷)对于四面体ABCD ，下列命题正确的是________．

①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；

②由顶点A 作四面体的高，其垂足是△BCD 三条高线的交点；

③若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高，则这两条高的垂足重合；

④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；

⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．

解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD 的三条高线的交点；③中如果AB 与CD 垂直，则两条高的垂足重合．答案：①④⑤

5．给出以下命题：①底面是矩形的四棱柱是长方体；②直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥；③四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形．其中说法正确的是__________．

解析：命题①不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱是斜四棱柱；命题②不是真命题，直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周形成的几何体叫做圆锥，如果绕着它的斜边旋转一周，形成的几何体则是两个具有共同底面的圆锥；命题③是真命题，如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，则可以得到四个侧面都是直角三角形．故填③.

答案：③

6．下列结论正确的是

①各个面都是三角形的几何体是三棱锥

②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥

④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

解析：①错误．如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．

②错误．如图(2)(3)所示，若△ABC 不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．

③错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以

正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．

④正确．答案：④

7．过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是________．

解析：设截面的圆心为O ′，由题意得：∠OAO ′＝60°，O ′A ＝1，S ＝π·12＝π.答案：π

8．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是________．

①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

解析：①如图，∵SA=SB=SC=SD ，∴∠SAO=∠SBO=∠SCO=∠SDO ，即等腰四棱锥腰与底面所成的角相等，正确；②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角相等或互补不一定成立；③如图，由SA=SB=SC=SD 得OA=OB=OC=OD ，即等腰四棱锥的底面四边形存在外接圆，正确；④等腰四棱锥各顶点在同一个球面上，正确．故选②.答案：②

9．(2008年高考江西卷)如图(1)，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P .如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图(2))

有下列四个命题：

A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P

C ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P

D ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满．

其中真命题的代号是：______(写出所有真命题的代号)．

解析：设正四棱柱底面边长为b ，高为h 1，正四棱锥高为h 2，则原题图(1)中水的体积

为b 2h 2－13b 2h 2＝23

b 2h 2， 图(2)中水的体积为b 2h 1－b 2h 2＝b 2(h 1－h 2)，

所以23b 2h 2＝b 2(h 1－h 2)，所以h 1＝53

h 2，故A 错误，D 正确． 对于B ，当容器侧面水平放置时，P 点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P 点，故B 正确．对于C ，假设C 正确，当水面与正四棱锥的一个侧

面重合时，经计算得水的体积为2536b 2h 2>23

b 2h 2，矛盾，故C 不正确．答案：BD 10．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h 1，h 2，h 3，求h 1∶h 2∶h 3的值．

解：选依题意，四棱锥为正四棱锥，三棱锥为正三棱锥，且棱长均相等，设为a ，h 2＝

h 3，h 1＝ a 2－(22a )2＝22a ，h 2＝ a 2－(33a )2＝63

a ， 故h 1∶h 2∶h 3＝3∶2∶2.

11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，求该三角形的斜边长．

解：如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为正三角形，边长为2，△DEF 为等腰直角三角形，DF 为斜边，设DF 长为x ，则

DE ＝EF ＝22

x ，作DG ⊥BB 1，HG ⊥CC 1，EI ⊥CC 1， 则EG ＝DE 2－DG 2＝x 22－4，FI ＝EF 2－EI 2＝x 22

－4，FH ＝FI ＋HI ＝FI ＋EG ＝2x 2

2－4，在Rt △DHF 中，DF 2＝DH 2＋

FH 2，即x 2

＝4＋(2x 2

2

－4))2，解得x ＝2 3.即该三角形的斜边长为2 3. 12．(2009年高考辽宁卷改编)如果把地球看成一个球体，求地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值．

解：设地球的半径为R ，那么对应的赤道线的大圆的半径为R ，而对应的北纬60°纬线

所在的小圆的半径为12R ，那么它们对应的长度之比为12R ∶R ＝12. 即所求比值为12.

第二节 空间图形的基本关系与公理

A 组

1．以下四个命题中，正确命题的个数是________．

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则A 、B 、C 、D 、E 共面；

③若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

解析：①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A 、B 、C ，但是若A 、B 、C 共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．答案：1

2．给出下列四个命题：

①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；

②两条直线可以确定一个平面；

③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ；

④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．

其中真命题的个数为________．

解析：根据平面的基本性质知③正确．答案：1

3．(2009年高考湖南卷改编)平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为________．

解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD 、BC 、BB 1、AA 1、C 1D 1符合条件．答案：5

4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是________．

解析：边长是正方体棱长的22

倍的正六边形．答案：正六边形 5．(原创题)已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是________．

解析：如图1，当直线m 或直线n 在平面α内且m 、n 所在平面与α垂直时不可能有符合题意的点；如图2，直线m 、n 到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m 、n

所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线．

答案：(1)(2)(4)

6．如图，已知平面α、β，且α∩β＝l .设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ?α，CD ?β.求证：AB ，CD ，l 共点(相交于一点)．

证明：∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴AB ，CD 是梯形ABCD 的两腰，

∴AB ，CD 必定相交于一点．

如图，设AB ∩CD=M.

又∵AB ?α，CD ?β，

∴M ∈α，且M ∈β，

∴M ∈α∩β.

又∵α∩β=l ，∴M ∈l ，

即AB ，CD ，l 共点

B 组

1．有以下三个命题：

①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；

②直线l 在平面α内，可以用符号“l ∈α”表示；

③若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交，其中所有正确命题的序号是______________．

解析：表示线与面的关系用“?”或“?”表示，故②错误．答案：①③

2．(2010年黄冈调研)下列命题中正确的是________．

①若△ABC 在平面α 外，它的三条边所在的直线分别交α于P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线；②若三条直线a 、b 、c 互相平行且分别交直线l 于A 、B 、C 三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面．

解析：在①中，因为P 、Q 、R 三点既在平面ABC 上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC 与α的交线上，即P 、Q 、R 三点共线，故①正确；在②中，因为a ∥b ，所以a 与b 确定一个平面α，而l 上有A 、B 两点在该平面上，所以l ?α，即a 、b 、l 三线共面于α；同理a 、c 、l 三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a 、l ，∴α与β重合，即这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．答案：①②

3．对于空间三条直线，有下列四个条件：

①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点

④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交

其中使三条直线共面的充分条件有：________.

解析：易知①中的三条直线一定共面，④中两条直线平行可确定一个平面，第三条直线和这两条直线相交于两点，则第三条直线也在这个平面内，故三条直线共面．答案：①④

4．(2008年高考浙江卷改编)对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得________．

①a ?α，b ?α ②a ?α，b ∥α ③a ⊥α，b ⊥α ④a ?α，b ⊥α

解析：不相交的直线a 、b 的位置有两种：平行或异面．当a 、b 异面时，不存在平面α满足①、③；又只有当a ⊥b 时④才成立．答案：②

5．正方体AC 1中，E 、F 分别是线段C 1D 、BC 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是________．

解析：直线AB 与直线外一点E 确定的平面为A 1BCD 1，EF ?平面A 1BCD 1，且两直线不平行，故两直线相交．答案：相交

6．(2010年湖南郴州调研)设α，β，γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：

①若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α；

②若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；

③若l 上有两点到α的距离相等，则l ∥α；

④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.

其中正确命题的序号是________．

解析：①错误，l 可能在平面α内；②正确，l ∥β，l ?γ，β∩γ＝n ?l ∥n ?n ⊥α，则α⊥β；③错误，直线可能与平面相交；④正确．故填②④.答案：②④

7．(2009年高考广东卷改编)给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是________．

解析：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．答案：②④

8．(2009年高考宁夏、海南卷改编)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，

F ，且EF ＝22

，则下列结论中错误的是________． ①AC ⊥BE

②EF ∥平面ABCD

③三棱锥A －BEF 的体积为定值

④异面直线AE ，BF 所成的角为定值

解析：∵AC ⊥平面BB 1D 1D ，又BE ?平面BB 1D 1D ， ∴AC ⊥BE .故①正确．

∵B 1D 1∥平面ABCD ，又E 、F 在直线D 1B 1上运动， ∴EF ∥平面ABCD .故②正确．

③中由于点B 到直线B 1D 1的距离不变，故△BEF 的面

积为定值．又点A 到平面BEF 的距离为22

，故V A －BEF 为定值．

当点E 在D 1处，F 为D 1B 1的中点时，

建立空间直角坐标系，如图所示，可得A (1,1,0)，

B (0,1,0)，E (1,0,1)，F ???

?12，12，1.∴A E →＝(0，－1,1)，B F →＝(12，－12

，1)， ∴A E →·B F →＝32.又|AE →|＝2，|BF →|＝62，∴cos 〈A E →，B F →〉＝3

22·62

＝32

， ∴AE 与BF 成30°角．当E 为D 1B 1中点，F 在B 1处时，

此时E ????12，12，1，F (0,1,1)，∴A E →＝????－12

，－12，1，B F →＝(0,0,1)， ∴A E →·B F →＝1，|A E →|＝ 32，∴cos 〈A E →，B F →〉＝ 23＝63≠32

.故④错． 答案：④

9.(2008年高考陕西卷改编)如图，α⊥β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，A 、B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α、β所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影分别是m 和n.若a ＞b ，则θ与φ的大小关系为______，m 与n 的大小关系为______.

解析：AB 与β成的角为∠ABC ＝φ，

AB 与α成的角为∠BAD ＝θ，

sin φ＝sin ∠ABC ＝a

|AB |，

sin θ＝sin ∠BAD ＝b

|AB |

.

∵a >b ，∴sin φ>sin θ.∴θ<φ.

AB 在α内的射影AD ＝AB 2－b 2， AB 在β内的射影BC ＝AB 2－a 2， ∴AD .BC ，即m >n . 答案：θ＜φ m ＞n

10．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q ，若A 1C 交

平面DBFE 于R 点，试确定R 点的位置．

解：在正方体AC 1中，连结PQ ，

∵Q ∈A 1C 1，∴Q ∈平面A 1C 1CA .又Q ∈EF ， ∴Q ∈平面BDEF ，即Q 是平面A 1C 1CA 与平面BDEF 的

公共点，

同理，P 也是平面A 1C 1CA 与平面BDEF 的公共点．

∴平面A 1C 1CA ∩平面BDEF ＝PQ . 又A 1C ∩平面BDEF ＝R ， ∴R ∈A 1C ，

∴R ∈平面A 1C 1CA ， R ∈平面BDEF .

∴R 是A 1C 与PQ 的交点．如图．

11．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，N 为BB 1的中点，O 为平面BCC 1B 1

的中心． (1)过O 作一直线与AN 交于P ，与CM 交于Q (只写作法，不必

证明)；

(2)求PQ 的长．

解：(1)连结ON ，由ON ∥AD 知，AD 与ON 确定一个平面α.

又O 、C 、M 三点确定一个平面β(如图所示)．

∵三个平面α，β和ABCD 两两相交，有三条交线OP 、CM 、DA ，其中交线DA 与交线CM 不平行且共面．

∴DA 与CM 必相交，记交点为Q ，∴OQ 是α与β的

交线．

连结OQ 与AN 交于P ，与CM 交于Q ， 故直线OPQ 即为所求作的直线．

(2)在Rt △APQ 中，易知AQ ＝1，又易知△APQ ∽△OPN ，

∴AP PN ＝AQ NO ＝2，AN ＝52，∴AP ＝53

， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2＝14

3

.

12．(2008年高考四川卷)如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊

12AD ，BE 綊1

2

F A ，

G 、

H 分别为F A 、FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；

(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？

(3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE .

解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，

所以GH 綊12AD .又BC 綊12

AD ，故GH 綊BC .所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：

由BE 綊12

AF ，G 是F A 的中点知，BE 綊GF ，所以EF ∥BG .

由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面．

又点D 在直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面．

(3)证明：连结EG .由AB ＝BE ，BE 綊AG 及∠BAG ＝90°知ABEG 是正方形，

故BG ⊥EA .由题设知，F A 、AD 、AB 两两垂直，故AD ⊥平面F ABE ，

因此EA 是ED 在平面F ABE 内的射影．根据三垂线定理，BG ⊥ED .

又ED ∩EA ＝E ，所以BG ⊥平面ADE .

由(1)知，CH ∥BG ，所以CH ⊥平面ADE .

由(2)知F ∈平面CDE ，故CH ?平面CDE ，得平面ADE ⊥平面CDE .

第三节 平行关系

A 组

1．已知m 、n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题中的真命题是_．

①如果m ?α，n ?β，m ∥n ，那么α∥β

②如果m ?α，n ?β，α∥β，那么m ∥n

③如果m ?α，n ?β，α∥β且m ，n 共面，那么m ∥n

④如果m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，那么α⊥β

解析：m ?α，n ?β，α∥β?m ，n 没有公共点．又m ，n 共面，

所以m ∥n .答案：③

2．已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：

①若m ∥α，则m 平行于平面α内的无数条直线；

②若α∥β，m ?α，n ?β，则m ∥n ；

③若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β；

④若α∥β，m ?α，则m ∥β.

其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)

解析：②中α∥β，m ?α，n ?β?m ∥n 或m ，n 异面，所以②错误．而其它命题都正确．答案：①③④

3．(2010年苏北四市调研)给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：

①若m ?α，l ∩α＝A ，点A ?m, 则l 与m 不共面；

②若m 、l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α；

③若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；

④若l ?α，m ?α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β.

其中为真命题的是________．

解析：③中若l ?β，m ?α，α∥β?l ∥m 或l ，m 异面，所以②错误．而其它命题都正确．答案：①②④

4．(2009年高考福建卷改编)设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是________．

①m ∥β且l 1∥α ②m ∥l 1且n ∥l 2 ③m ∥β且n ∥β ④m ∥β且n ∥l 2

解析：∵m ∥l 1，且n ∥l 2，又l 1与l 2是平面β内的两条相交直线，

∴α∥β，而当α∥β时不一定推出m ∥l 1且n ∥l 2，可能异面．答案： ②

5．(原创题)直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线有________条．

答案：1或0

6．如图，ABCD 为直角梯形，∠C ＝∠CDA ＝90°，AD ＝2BC ＝2CD ，P 为平面ABCD 外一点，且PB ⊥BD .

(1)求证：P A ⊥BD ；

(2)若PC 与CD 不垂直，求证：P A ≠PD ；

(3)若直线l 过点P ，且直线l ∥直线BC ，试在直线l 上找一点E ，使得直线PC ∥平面EBD .

解：(1)证明：∵ABCD 为直角梯形，AD ＝2AB ＝2BD ， ∴AB ⊥BD ，PB ⊥BD ，AB ∩PB ＝B ，

AB ，PB ?平面P AB ，BD ⊥平面P AB ，

P A ?平面P AB ，∴P A ⊥BD .

(2)证明：假设P A ＝PD ，取AD 中点N ，连结PN ，BN ，则PN ⊥AD ，BN ⊥AD ，

AD ⊥平面PNB ，得PB ⊥AD ，

又PB ⊥BD ，得PB ⊥平面ABCD ，

∴PB ⊥CD .

又∵BC ⊥CD ，∴CD ⊥平面PBC ，

∴CD ⊥PC ，与已知条件PC 与CD 不垂直矛盾．

∴P A ≠PD .

(3)在l 上取一点E ，使PE ＝BC ，连结BE ，DE ，

∵PE ∥BC ，∴四边形BCPE 是平行四边形，

∴PC ∥BE ，PC ?平面EBD ，BE ?平面EBD ，

∴PC ∥平面EBD .

B 组

1．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是________．

①若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β ②若m ∥n ，m ?α，n ?β，则α∥β

③若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α ④若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β

解析：①错，两平面也可相交；②错，不符合面面平行的判定定理条件，需两平面内有两条相交直线互相平行；③错，直线n 不一定在平面内；④由空间想象知垂直于同一直线的两平面平行，命题正确．答案：④

2．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列4个命题：

①若m ∥n ，n ?α，则m ∥α；

②若m ⊥n ，m ⊥α，n ?α，则n ∥α；

③若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n ；

④若m ，n 是异面直线，m ?α，n ?β，m ∥β，则n ∥α.其中正确的命题有_．

解析：对于①，m 有可能也在α上，因此命题不成立；对于②，过直线n 作垂直于m 的平面β，由m ⊥α，n ?α可知β与α平行，于是必有n 与α平行，因此命题成立；对于③，由条件易知m 平行于β或在β上，n 平行于α或在α上，因此必有m ⊥n ；对于④，取正方体中两异面的棱及分别经过此两棱的不平行的正方体的两个面即可判断命题不成立．综上可知②③正确．答案：②③

3．已知m ，n 是平面α外的两条直线，且m ∥n ，则“m ∥α”是“n ∥α”的________条件．

解析：由于直线m ，n 在平面外，且m ∥n ，故若m ∥α，则必有n ∥α，反之也成立．答案：充要

4．设l 1，l 2是两条直线，α，β是两个平面，A 为一点，下列命题中正确的命题是________．

①若l 1?α，l 2∩α＝A ，则l 1与l 2必为异面直线

②若α⊥β，l 1?α，则l 1⊥β

③l 1?α，l 2?β，l 1∥β，l 2∥α，则α∥β

④若l 1∥α，l 2∥l 1，则l 2∥α或l 2?α

解析：①错，两直线可相交于点A ；②错，不符合面面垂直的性质定理的条件；③错，

不符合面面平行的判定定理条件；④正确，空间想象即可．答案：④

5．(2010年广东深圳模拟)若a 不平行于平面α，且a ?α，则下列结论成立的是________．

①α内的所有直线与a 异面

②α内与a 平行的直线不存在

③α内存在唯一的直线与a 平行

④α内的直线与a 都相交

解析：由题设知，a 和α相交，设a ∩α＝P ，如图，在α内过点P 的直线与a 共面，①错；在α内不过点P 的直线与a 异面，④错；(反证)假设α内直线b ∥a ，∵a ?α，∴a ∥α，与已知矛盾，③错．答案：②

6．设m 、n 是异面直线，则(1)一定存在平面α，使m ?α且n ∥α；(2)一定存在平面α，使m ?α且n ⊥α；(3)一定存在平面γ，使m 、n 到γ的距离相等；(4)一定存在无数对平面α与β，使m ?α，n ?β，且α∥β.上述4个命题中正确命题的序号为________．

解析：(1)成立；(2)不成立，m 、n 不一定垂直；(3)过m 、n 公垂线段中点分别作m 、n 的平行线所确定平面到m 、n 距离就相等，(3)正确；满足条件的平面只有一对，(4)错．答案：(1)(3)

7．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下

AP ＝a 3

，底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝

______. 答案：223

a 8．下列四个正方体图形中，A 、B

为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．

解析：①∵面AB ∥面MNP ，∴AB ∥面MNP .

②若下底面中心为O ，易知NO ∥AB ，NO ?面MNP ，∴AB 与面MNP 不平行．

③易知AB ∥MP ，∴AB ∥面MNP .

④易知存在一直线MC ∥AB ，且MC ?平面MNP ，∴AB 与面MNP 不平行．

答案：①③

9．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 中点．点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.

答案：M ∈FH

AA 1＝2，10．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，E 为BC 的中点，点M 为棱AA 1的中点．

(1)证明：DE ⊥平面A 1AE ；

(2)证明：BM ∥平面A 1ED .

证明：(1)在△AED 中，AE ＝DE ＝2，AD ＝2， ∴AE ⊥DE .

∵A 1A ⊥平面ABCD ，

∴A 1A ⊥DE ，

∴DE ⊥平面A 1AE .

(2) 设AD 的中点为N ，连结MN 、BN .

在△A 1AD 中，AM ＝MA 1，AN ＝ND ，

∴MN ∥A 1D ，

∵BE ∥ND 且BE ＝ND ，

∴四边形BEDN 是平行四边形，

∴BN ∥ED ，

∴平面BMN ∥平面A 1ED ，

∴BM ∥平面A 1ED .

11．(2010年扬州调研)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点．

(1)求证：平面B 1MN ⊥平面BB 1D 1D ；

(2)若在棱DD 1上有一点P ，使BD 1∥平面PMN ，求线段DP 与PD 1的比

解：(1)证明：连结AC ，则AC ⊥BD ，

又M ，N 分别是AB ，BC 的中点，

∴MN ∥AC ，∴MN ⊥BD .

∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，

∴BB 1⊥平面ABCD ，

∵MN ?平面ABCD ，

∴BB 1⊥MN ，

∵BD ∩BB 1＝B ，

∴MN ⊥平面BB 1D 1D ，

∵MN ?平面B 1MN ，

∴平面B 1MN ⊥平面BB 1D 1D .

(2)设MN 与BD 的交点是Q ，连结PQ ，PM ，

PN ∵BD 1∥平面PMN ，BD 1?平面BB 1D 1D ，平面BB 1D 1D ∩平面PMN ＝PQ ，

∴BD 1∥PQ ，

∴DP ∶PD 1＝DQ ∶QB ＝3∶1.

12．如图，四边形ABCD 为矩形，BC ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .

(1)求证：AE ⊥BE ；

(2)设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点．求证：MN ∥平面DAE .

证明：(1)因为BC ⊥平面ABE ，AE ?平面ABE ，

所以AE ⊥BC ，

又BF ⊥平面ACE ，AE ?平面ACE ，

所以AE ⊥BF ，

又BF ∩BC ＝B ，所以AE ⊥平面BCE ，

又BE ?平面BCE ，所以AE ⊥BE .

(2)取DE 的中点P ，连结P A ，PN ，因为点N 为线段CE 的中点．

所以PN ∥DC ，且PN ＝12

DC ， 又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，所以

AM ∥DC ，且AM ＝12

DC ， 所以PN ∥AM ，且PN ＝AM ，故四边形AMNP 是平行四边形，所以MN ∥AP ，

而AP ?平面DAE ，MN ?平面DAE ，所以MN ∥平面DAE .

第四节 垂直关系

A 组

1．(2010年宁波十校联考)设b 、c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是________．

①若b ?α，c ∥α，则b ∥c ②若b ?α，b ∥c ，则c ∥α

③若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β ④若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β

解析：①中，b ，c 亦可能异面；②中，也可能是c ?α；③中，c 与β的关系还可能是斜交、平行或c ?β；④中，由面面垂直的判定定理可知正确．

答案：④

2．(2010年青岛质检)已知直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，下面有三个命题：

①α∥β?l ⊥m ；②α⊥β?l ∥m ；③l ∥m ?α⊥β.则真命题的个数为________．

解析：对于①，由直线l ⊥平面α，α∥β，得l ⊥β，又直线m ?平面β，故l ⊥m ，故①正确；对于②，由条件不一定得到l ∥m ，还有l 与m 垂直和异面的情况，故②错误；对于③，显然正确．故正确命题的个数为2.答案：2个

3．(2009年高考山东卷改编)已知α、β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β ”是“m ⊥β ”的________条件．

解析：由平面与平面垂直的判定定理知如果m 为平面α内的一条直线，m ⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件．

答案：必要不充分

4．(2009年高考浙江卷)如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．

解析：如图，过D 作DG ⊥AF ，垂足为G ，连结GK ，∵平面ABD ⊥平面ABC ，又DK ⊥AB ，

∴DK ⊥平面ABC ，∴DK ⊥AF .

∴AF ⊥平面DKG ，∴AF ⊥GK .

容易得到，当F 接近E 点时，K 接近AB 的中点，当F 接

围是(12

，近C 点时，K 接近AB 的四等分点．∴t 的取值范1)．答案：(12

，1) 5．(原创题)已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中假命题的有________．

①若a ∥b ，则α∥β；②若α⊥β，则a ⊥b ；③若a 、b 相交，则α、β相交；④若α、β相交，则a ，b 相交．

解析：若α、β相交，则a 、b 既可以是相交直线，也可以是异面直线．

答案：④

6．(2009年高考山东卷)如图，在直四棱柱ABCD －

A 1

B 1

C 1

D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，

E ，E 1分别是棱AD ，AA 1的中点．

(1)设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥平面FCC 1；

(2)证明：平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C .

证明：(1)法一：取A 1B 1的中点为F 1，连结FF 1，C 1F 1.

由于FF 1∥BB 1∥CC 1，

所以F 1∈平面FCC 1.

因此平面FCC 1即为平面C 1CFF 1.

连结A 1D ，F 1C ，

由于A 1F 1綊D 1C 1綊CD ，

所以四边形A 1DCF 1为平行四边形，

因此A 1D ∥F 1C .又EE 1∥A 1D ，

得EE 1∥F 1C .

而EE 1?平面FCC 1，F 1C ?平面FCC 1，

故EE 1∥平面FCC 1.

法二：因为F 为AB 的中点，

CD ＝2，AB ＝4，AB ∥CD ，

所以CD 綊AF ，

因此四边形AFCD 为平行四边形，

所以AD ∥FC .

又CC 1∥DD 1，FC ∩CC 1＝C ，FC ?平面FCC 1，CC 1?平面FCC 1，AD ∩DD 1＝D ，AD ?平面ADD 1A 1，DD 1?平面ADD 1A 1.

所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1.

又EE 1?平面ADD 1A 1，所以EE 1∥平面

FCC 1. (2)连结AC ，在△FBC 中，FC ＝BC ＝FB ，

又F 为AB 的中点，所以AF ＝FC ＝FB .

因此∠ACB ＝90°，即AC ⊥BC .

又AC ⊥CC 1，且CC 1∩BC ＝C ，

所以AC ⊥平面BB 1C 1C .

而AC ?平面D 1AC ，

故平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C .

B 组

1．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a ⊥b 的是____．

①a ⊥α，b ∥β，α⊥β ②a ⊥α，b ⊥β，α∥β

③a ?α，b ⊥β，α∥β ④a ?α，b ∥β，α⊥β

解析：由α∥β，b ⊥β ?b ⊥α，又a ?α，故a ⊥b .答案：③

2．设α，β为不重合的平面，m ，n 为不重合的直线，则下列命题正确的是________．

①若m ?α，n ?β，m ∥n ，则α∥β

②若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥β，则m ⊥α

③若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥β

④若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥α

解析：由n ⊥α，n ⊥β可得α∥β，又因m ⊥β，所以m ⊥α.答案：②

3．设m ，n 是两条不同的直线， α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是．

①m ⊥α，n ?β，m ⊥n ?α⊥β ②α∥β，m ⊥α，n ∥β ?m ⊥n

③α⊥β，m ⊥α，n ∥β ?m ⊥n ④α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ?n ⊥β

解析：①错，不符合面面垂直的判断定理的条件；②由空间想象易知命题正确；③错，两直线可平行；④错，由面面垂直的性质定理可知只有当直线n 在平面α内时命题才成立．答案：②

4．已知两条不同的直线m ，n ，两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是_．

①若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n

②若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥n

③若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n

④若m ∥α，n ⊥β，α⊥β，则m ∥n

解析：易知①正确．而②中α⊥β且m ⊥α?m ∥β或m ∈β，又n ∥β，容易知道m ，n

的位置关系不定，因此②错误．而③中分别平行于两平行平面的直线的位置关系不定，因此③错误．而④中因为②不对，此项也不对．综上可知①正确．答案：①

5．设a ，b ，c 表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是________．

①c ⊥α，若c ⊥β，则α∥β

②b ?β，c 是a 在β内的射影，若b ⊥c ，则a ⊥b

③b ?β，若b ⊥α，则β⊥α

④b ?α，c ?α，若c ∥α，则b ∥c

解析：当b ?β，若β⊥α，则未必有b ⊥α.答案：③

6．已知二面角α－l －β的大小为30°，m 、n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则m 、n 所成的角为________．

解析：∵m ⊥α，n ⊥β，

∴m 、n 所成的夹角与二面角α－l －β所成的角相等或互补．

∵二面角α－l －β为30°，

∴异面直线m 、n 所成的角为30°.答案：30°

7．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在直线______上．

解析：由AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，AC ⊥平面ABC 1，AC ?平面ABC ，∴平面ABC 1⊥平面ABC ，C 1在平面ABC 上的射影H 必在两平面的交线AB 上．答案：AB

8．(2010年江苏昆山模拟)在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 在AD 上运动，设∠ABP ＝θ，将△ABP 沿BP 折起，使得平面ABP 垂直于平面BPDC ，AC 长最小时θ的值为________．

解析：过A 作AH ⊥BP 于H ，连CH ，∴AH ⊥平面BCDP . ∴在Rt △ABH 中，AH ＝3sin θ，BH ＝3cos θ.

在△BHC 中，CH 2＝(3cos θ)2＋42－

2×4×3cos θ×cos(90°－θ)，

∴在Rt △ACH 中，

AC 2＝25－12sin2θ，

∴θ＝45°时，AC 长最小．答案：45°

9．在正四棱锥P －ABCD 中，P A ＝32

AB ，M 是BC 的中点，G 是△P AD 的重心，则在平面P AD 中经过G 点且与直线PM 垂直的直线有________条． 为32

a . 解析：设正四棱锥的底面边长为a ，则侧棱长由PM ⊥BC ，

∴PM ＝????32a 2－????a 22＝22

a ， 连结PG 并延长与AD 相交于N 点，

则PN ＝22

a ，MN ＝AB ＝a ， ∴PM 2＋PN 2＝MN 2，

∴PM ⊥PN ，又PM ⊥AD ，

∴PM ⊥面P AD ，

∴在平面P AD 中经过G 点的任意一条直线都与

PM 垂直．答案：无数

10．如图，在三棱锥S －ABC 中，OA ＝OB ，O 为

BC 中点，SO ⊥平面ABC ，E 为SC 中点，F 为AB 中点．

(1)求证：OE ∥平面SAB ；

(2)求证：平面SOF ⊥平面SAB .

证明：(1)取AC 的中点G ，连结OG ，EG ，

∵OG ∥AB ，EG ∥AS ，EG ∩OG ＝G ，SA ∩AB ＝A ，

∴平面EGO ∥平面SAB ，OE ?平面OEG

∴OE ∥平面SAB

(2)∵SO ⊥平面ABC ，

∴SO ⊥OB ，SO ⊥OA ，

又∵OA ＝OB ，SA 2＝SO 2＋OA 2，SB 2＝SO 2＋OB 2， ∴SA ＝SB ，又F 为AB 中点，

∴SF ⊥AB ，∵SO ⊥AB ，

∵SF ∩SO ＝S ，∴AB ⊥平面SOF ，

∵AB ?平面SAB ，∴平面SOF ⊥平面SAB .

11．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．

(1)求证：CE ∥平面C 1E 1F ；

(2)求证：平面C 1E 1F ⊥平面CEF .

证明：(1)取CC 1的中点G ，连结B 1G 交C 1F 于点F 1，连结E 1F 1，A 1G ，FG ，

∵F 是BB 1的中点，BCC 1B 1是矩形，

∵四边形FGC 1B 1也是矩形，

∴FC 1与B 1G 相互平分，即F 1是B 1G 的中点．

又E 1是A 1B 1的中点，∴A 1G ∥E 1F 1.

又在长方体中，AA 1綊CC 1，E ，G 分别为AA 1，CC 1的中点，

∴A 1E 綊CG ，∴四边形A 1ECG 是平行四边形，

∴A 1G ∥CE ，∴E 1F 1∥CE .

∵CE ?平面C 1E 1F ，E 1F 1?平面C 1E 1F ，

∴CE ∥平面C 1E 1F .

(2)∵长方形BCC 1B 1中，BB 1＝2BC ，F 是BB 1的中点，

∴△BCF 、△B 1C 1F 都是等腰直角三角形，

∴∠BFC ＝∠B 1FC 1＝45°，

∴∠CFC 1＝180°－45°－45°＝90°，

∴C 1F ⊥CF .

∵E ，F 分别是矩形ABB 1A 1的边AA 1，BB 1的中点，

∴EF ∥AB .

又AB ⊥平面BCC 1B 1，又C 1F ?平面BCC 1B 1，

∴AB ⊥C 1F ，∴EF ⊥C 1F .

又CF ∩EF ＝F ，∴C 1F ⊥平面CEF .

∵C 1F ?平面C 1E 1F ，∴平面C 1E 1F ⊥平面CEF .

12．(2010年江苏淮安模拟)如图，已知空间四边形ABCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，E 是AB 的中点．

求证：(1)AB ⊥平面CDE ；

(2)平面CDE ⊥平面ABC ；

(3)若G 为△ADC 的重心，试在线段AE 上确定一点F ，使得GF ∥平面CDE .

证明：(1)

?????BC ＝AC AE ＝BE ?CE ⊥AB ，同理，

?

????AD ＝BD AE ＝BE ?DE ⊥AB ， 又∵CE ∩DE ＝E ，∴AB ⊥平面CDE .

(2)由(1)知AB ⊥平面CDE ，

又∵AB ?平面ABC ，

∴平面CDE ⊥平面ABC .

AG GH ＝21

， (3)连结AG 并延长交CD 于H ，连结EH ，则

在AE 上取点F 使得AF FE ＝21

， 则GF ∥EH ， 第五节 简单几何体的面积和体积

A 组

1．(2010年东北四校联考)已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，3，2，则其外接球的表面积为________．

解析：设外接球半径为r ，则(2r )2＝12＋(3)2＋22＝8，故r 2＝2.∴S 球＝4πr 2＝8π.答案：8π

2．(2009年高考上海卷)若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_________．

解析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．

V ＝13S ·h ＝13

πR 2·h ＝13π×22×2＝8π3.答案：8π3

3．(2010年南京调研)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱

AA 1的中点．若截面△BC 1D 是面积为6的直角

三角形，则此三棱柱的体积为________．

解析：设AC ＝a ，CC 1＝b ，则由BC 12＝BC 2＋CC 12，BC 12＝

DC 12＋DB 2，即得(a 2＋14b 2)×2＝a 2＋b 2，得b 2＝2a 2，又12×32

a 2＝6，∴a 2＝8，∴V ＝34

×8×4＝8 3. 答案：8 3

4．矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为________．

解析：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且其半径为

AC 长度的一半，则V 球＝43π×(52)3＝125π6.答案：125π6

5．已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，则球的半径等于________，球的表面积等于________．

解析：如右图，设球的半径为r ，O ′是△ABC 的外心，外接

＝13

，则圆半径为R ，则OO ′⊥面ABC .在Rt △ACD 中，cos A sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理得6sin A ＝2R ，R ＝94

2，即O ′C ＝94 2. 得r ＝362.在Rt △OCO ′中，由题意得r 2－14r 2＝81×216

，球的表面积S ＝4πr 2＝4π×9×64

＝54π.

答案：362

54π 6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，过A 1、C 1、B 三点的平面截去长方体的一

个角后，得到如图所示的几何体ABCD －A 1C 1D 1，且这个几何体的体

积为403

.(1)证明：直线A 1B ∥平面CDD 1C 1；(2)求棱A 1A 的长；(3)求经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积．

解：(1)证明：法一：如图，连结D 1C ，

∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，

∴A 1D 1∥BC 且A 1D 1＝BC .

∴四边形A 1BCD 1是平行四边形．

∴A 1B ∥D 1C .

∵A 1B ?平面CDD 1C 1，D 1C ?平面CDD 1C 1，

∴A 1B ∥平面CDD 1C 1.

法二：∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，

∴平面A 1AB ∥平面CDD 1C 1.

∵A 1B ?平面A 1AB ，A 1B ?平面CDD 1C 1.

∴A 1B ∥平面CDD 1C 1.

(2)设A 1A ＝h ，∵几何体ABCD －A 1C 1D 1的体积为403

， ∴VABCD －A 1C 1D 1＝VABCD －A 1B 1C 1D 1－VB －

A 1

B 1

C 1＝403

， 即S ABCD ×h －13×S △A 1B 1C 1×h ＝403

， 即2×2×h －13×12×2×2×h ＝403

，解得h ＝4. ∴A 1A 的长为4.

(3)如图，连结D 1B ，设D 1B 的中点为O ，连OA 1，OC 1，OD .

∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，∴A 1D 1⊥平面A 1AB .

∵A 1B ?平面A 1AB ，∴A 1D 1⊥A 1B . ∴OA 1＝12D 1B .同理OD ＝OC 1＝12

D 1B . ∴OA 1＝OD ＝OC 1＝OB .

∴经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的球心为点O .

∵D 1B 2＝A 1D 12＋A 1A 2＋AB 2＝22＋42＋22＝24.

∴S 球＝4π×(OD 1)2＝4π×(D 1B 2

)2＝π×D 1B 2＝24π. 故经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积为24π.

B 组

1．(2008年高考湖北卷)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为________．

解析：截面圆的半径为1，又球心到截面距离等于1，所以球的半径R ＝2，故球的体积V ＝43πR 3＝832π.答案：82π3

2．在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积分别为22，32，62，则该三棱锥的体积为________． 解析：12AB ·AC ＝22，12AD ·AC ＝32，12AB ·AD ＝62

，∴AB ＝2，AC ＝1，AD ＝ 3.∴V ＝13·12·1·2·3＝66.答案：66

3．(2010年福建厦门检测)已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个

球的体积是32π3

，则这个三棱柱的体积是________． 解析：由43πR 3＝32π3，得R ＝2.∴正三棱柱的高h ＝4.设其底面边长为a ，则13·32

a ＝2.∴a ＝4 3.∴V ＝34(43)2·4＝48 3.答案：48 3 4．(2009年高考陕西卷改编)若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为________．

解析：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为22

的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V 1＝13×1×22＝26，故八面体体积V ＝2V 1＝23.答案：23

5．(2009年高考全国卷Ⅰ)已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M .若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于__________．

解析：由题意得圆M 的半径r ＝3，又球心到圆M 的距离为R 2

，由勾股定理得R 2＝r 2＋(R 2

)2，∴R ＝2，则球的表面积为4π×22＝16π.答案：16π 6．(2009年高考江西卷)体积为8的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于________．

解析：设正方体棱长为a ，则a 3＝8，∴a ＝2.

∵S 正方体＝S 球，∴6×22＝4πR 2，∴R ＝ 6π

. V 球＝43πR 3＝43π( 6π)3＝86ππ.答案：86ππ

7．若长方体的三个共顶点的面的面积分别是2，3，6，则长方体的体积是__．

解析：可设长方体同一个顶点上的三条棱长分别为a ，b ，c ，列出方程组??? ab ＝2，bc ＝

3，ac ＝

6，解得??? a ＝2，

b ＝1，

c ＝ 3.所以长方体的体积V ＝1×2×3＝ 6.

8．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为________

解析：利用一个锥体被平行于底面的截面所截得的小锥体与原锥体体积之比等于相似比的立方，而这个截面面积与底面面积之比等于相似比的平方．

答案：1∶3 3

9．(2010年南通调研)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为23，则四面体A －B 1CD 1的外接球的体积为________．

解析：四面体A －B 1CD 1的外接球即为正方体的外接球，所以2r ＝3×(23)2.∴r ＝3，V 球＝43πr 3＝43

π×27＝36π.答案：36π 10．(2009年高考宁夏、海南卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，△P AB 是等边三角形，∠P AC ＝∠PBC ＝90°.

(1)证明：AB ⊥PC ；

(2)若PC ＝4，且平面P AC ⊥平面PBC ，求三棱锥P －ABC 的体积．

解：(1)证明：因为△P AB 是等边三角形，

∠P AC ＝∠PBC ＝90°，

所以Rt △PBC ≌Rt △P AC ，可得AC ＝BC .

如图，取AB 中点D ，连结PD 、CD ，

则PD ⊥AB ，CD ⊥AB ，所以AB ⊥平面PDC ，

所以AB ⊥PC .

(2)作BE ⊥PC ，垂足为E ，连结AE .

因为Rt △PBC ≌Rt △P AC ，

所以AE ⊥PC ，AE ＝BE .

由已知，平面P AC ⊥平面PBC ，故∠AEB ＝90°.

因为Rt △AEB ≌Rt △PEB ，

所以△AEB ，△PEB ，△CEB 都是等腰直角三角形． 由已知PC ＝4，得AE ＝BE ＝2，

△AEB 的面积S ＝2.

因为PC ⊥平面AEB ，

所以三棱锥P －ABC 的体积V ＝13×S ×PC ＝83

. 11．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ＝2，F 为CD 的中点．

(1)求证：AF ⊥平面CDE ；

(2)求证：AF ∥平面BCE ；

(3)求四棱锥C －ABED 的体积．

解：(1)证明：∵F 为等边三角形CD 边上的

中点， ∴AF ⊥CD ，

∵DE ⊥平面ACD ，AF ?平面ACD ，

∴AF ⊥DE ，

又CD ∩DE ＝D ，∴AF ⊥平面CDE .

(2)证明：取CE 的中点G ，连FG 、BG .∵F 为CD 的中点，

∴GF ∥DE 且GF ＝12

DE . ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，

∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB .

又AB ＝12

DE ，∴GF ＝AB . ∴四边形GF AB 为平行四边形，则AF ∥BG .

∵AF ?平面BCE ，BG ?平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .

(3)取AD 中点M ，连结CM ，

∵△ACD 为等边三角形，则CM ⊥AD ，

∵DE ⊥平面ACD ，且DE ?平面ABED ，

∴平面ACD ⊥平面ABED ，

又平面ACD ∩平面ABED ＝AD ，∴CM ⊥平面ABED ， ∴CM 为四棱锥C －ADEB 的高，

∴V ＝13CM ·S ABED ＝13

AF ·S ABED ＝ 3. 12．(2010年广州质检)如图，A 1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于A 、B 的任意一点，A 1A

＝AB ＝2. (1)求证：BC ⊥平面A 1AC ；

(2)求三棱锥A 1－ABC 的体积的最大值．

解：(1)证明：∵C 是底面圆周上异于A 、B 的任意一点，且AB 是圆柱底面圆的直径，

∴BC ⊥AC .

∵AA 1⊥平面ABC ，BC

平面ABC ，

∴AA 1⊥BC . ∵AA 1∩AC ＝A ，AA 1平面AA 1C ，AC 平面AA 1C ，

∴BC ⊥平面AA 1C .

(2)设AC ＝x ，在Rt △ABC 中，

BC ＝AB 2－AC 2＝4－x 2(0＜x ＜2)，

故VA 1－ABC ＝13S △ABC ·AA 1＝13·12

·AC ·BC ·AA 1 ＝13

x 4－x 2(0＜x ＜2)， 即VA 1－ABC ＝13x 4－x 2＝13

x 2(4－x 2) ＝13

－(x 2－2)2＋4. ∵0＜x ＜2,0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，

三棱锥A 1－ABC 的体积最大，其最大值为23

. 第二部 精练题

高中数学立体几何大题训练一

1.如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点

（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；

（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1

2.如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 上，243AE EB AF FD ===

=.沿直线EF 将 AEF V 翻折成'A EF V ，使平面'

A EF BEF ⊥平面.（Ⅰ）求二面角'A FD C --的余弦值；

（Ⅱ）点,M N 分别在线段

,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与'A 重合，求线段FM 的长。

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