参数方程、极坐标讲义

参数方程、极坐标 一．直线的参数方程

l(1)标准式 过点P0(x0,y0)，倾斜角为?的直线(如图)的参数方程是

?x?x0?tcos? (t为参数）?y?y?tsin?0?????这里直线l的方向向量可以选定为(cos?,sin?)，由P0P?t(cos?,sin?)引出直线的标准式参数方程，进而引入参数t的几何意义 (2)一般式 过定点P0(x0,y0)斜率k?tan??b的直线l的参数方程是 a?x?x0?at(t为参数) ② ?y?y?bt0?在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a?b?1,②即为标准式，此时， t表示直线

22a?bt a?b?1，则动点P到定点P上动点P到定点P的距离；若00的距离2222?x?x0?tcos?l直线参数方程的应用：设过点P (t为参数）0(x0,y0)，倾斜角为?的直线的参数方程是?y?y?tsin?0?l若P1,P2是上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则

(1) P1,P2两点的坐标分别是(x0?t1cos?,y0?t1sin?) ，(x0?t2cos?,y0?t2sin?) ； (2) PP12?t1?t2；

P所对应的参数为t，则t?(3)线段PP12的中点

(4) P12的中点，则t1?t2?0. 0为线段PP例1．若直线的参数方程为?A．

t1?t2t1?t2，中点P到定点P的距离 ； PP?t?0022?x?1?2t(t为参数)，则直线的斜率为（ ）

?y?2?3t2233 B．? C． D．? 33222??x?2?sin?(?为参数)化为普通方程为（ ） 例2.将参数方程?2??y?sin?A．y?x?2 B．y?x?2 C．y?x?2(2?x?3) D．y?x?2(0?y?1)

?x?1?3t例3．已知直线l1:?(t为参数)与直线l2:2x?4y?5相交于点B，又点A(1,2)，

y?2?4t?则AB?_______________。

1?x?2?t??2(t为参数)例4．直线?被圆x2?y2?4截得的弦长为______________。

?y??1?1t??2??x＝2＋t，x2y2

例5 (2014·新课标全国Ⅰ)已知曲线C：＋＝1，直线l：?(t为参数)．

49?y＝2－2t?

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

d

(2)设出点P的坐标的参数形式．求出点P到直线l的距离d，则|PA|＝.转化为求关于θ的三角

sin30°函数的最值问题，利用辅助角公式asinθ＋bcosθ＝a＋bsin(θ＋φ)求解．(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝

5

|4cosθ＋3sinθ－6|， 5

2

2

d254

则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝. sin30°53

?x＝1＋4cos θ?

例6 已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?(θ为参数)，直线l经过定点P(3,5)，

??y＝2＋4sin θ

π

倾斜角为. 3

(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；

(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．

二.圆锥曲线的参数方程

?x?a?rcos?(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是?(φ是参数)

y?b?rsin??φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)

x2y2(2)椭圆 2?2?1(a＞b＞0)的参数方程是

ab?x?acos???y?bsin? (φ为参数)

y2y2椭圆 2?2?1(a＞b＞0)的参数方程是

ab?x?bcos?(φ为参数) ??y?asin?x2y2??1上找一点，使这一点到直线x?2y?12?0的距离的最小值。 例5.在椭圆

1612三.极坐标

极坐标系 在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫 做极轴.

①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 点的极坐标 设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度 ，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)

极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x轴的正半轴重合

③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式

??2?x2?y2?x??cos?? ? ?y?y??sin?'?tg??(x?0)x?例6．点M的直角坐标是(?1,3)，则点M的极坐标为（ ）

A．(2,?2???) B．(2,?) C．(2,) D．(2,2k??),(k?Z) 33332例7.化极坐标方程?cos????0为直角坐标方程为（ ）

A．x?y?0或y?1 B．x?1 C．x?y?0或x?1 D．y?1 例8．极坐标方程?cos??2sin2?表示的曲线为（ ）

A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆

2222

参数方程、极坐标答案 例1．答案： （D） k?y?2?3t3??? x?12t2例2. 答案：（C） 转化为普通方程：y?x?2，但是x?[2,3],y?[0,1]

例3. 答案：

?x?1?3t5155 将?代入2x?4y?5得t?，则B(,0)，而A(1,2)，得AB? 2222?y?2?4t12，弦长的一半为?22例4．答案：14 直线为x?y?1?0，圆心到直线的距离d?22?(2214，得弦长为14 )?224cos??43sin??12??x?4cos?例5. 解：设椭圆的参数方程为?，d?

5y?23sin??? ?4545?cos??3sin??3?2cos(??)?3 553 当cos(???3)?1时，dmin?45，此时所求点为(2,?3)。 5例6．答案：C (2,2k??例7. 答案：C 例8．答案：C

2?),(k?Z)都是极坐标 3?(?cos??1)?0,??x2?y2?0,或?cos??x?1

?cos??4sin?cos?,cos??0,或??4sin?,即?2?4?sin?

?2,或x2?y2?4y

则??k??

课后习题

1．直线l的参数方程为??x?a?t(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a,b)之间的距离

?y?b?t是（ ）

A．t21 B．2t1 C．2t1 D．2t1 ?12．参数方程为??x?t??t(t为参数)表示的曲线是（ ）

?y?2A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线

??x?1?1t3．直线??2(t为参数)和圆x2?y2?16交于A,B两点，则AB的中点坐标为（???y??33?32tA．(3,?3) B．(?3,3) C．(3,?3) D．(3,?3) 4．圆??5cos??53sin?的圆心坐标是（ ） A．(?5,?4?3) B．(?5,?3) C．(5,?3) D．(?5,5?3)

5．与参数方程为???x?t(t为参数)等价的普通方程为（ ） ??y?21?tA．x2?y24?1 B．x?y224?1(0?x?1) C．x2?y2y24?1(0?y?2) D．x2?4?1(0?x?1,0?y?2) 6．直线??x??2?t?y?1?t(t为参数)被圆(x?3)2?(y?1)2?25所截得的弦长为（ ）

A．98 B．4014 C．82 D．93?43 二、填空题

?1．曲线的参数方程是??x?1?1t(t为参数,t?0)，则它的普通方程为__________________。

??y?1?t2

）

?x?3?at2．直线?(t为参数)过定点_____________。

y??1?4t?3．点P(x,y)是椭圆2x2?3y2?12上的一个动点，则x?2y的最大值为___________。 4．曲线的极坐标方程为??tan??1，则曲线的直角坐标方程为________________。 cos?5．设y?tx(t为参数)则圆x2?y2?4y?0的参数方程为__________________________。 三、解答题 1．参数方程??x?cos?(sin??cos?)(?为参数)表示什么曲线？

?y?sin?(sin??cos?)x2y2??1上，求点P到直线3x?4y?24的最大距离和最小距离。 2．点P在椭圆

1693．已知直线l经过点P(1,1),倾斜角??（1）写出直线l的参数方程。

（2）设l与圆x2?y2?4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积。

?6，

参考答案

一、选择题

1．C 距离为t1?t1?222t1

2．D y?2表示一条平行于x轴的直线，而x?2,或x??2，所以表示两条射线

3．D (1?t?t1232t)?(?33?t)?16，得t2?8t?8?0，t1?t2?8,12?4

2221?x?1??4??2??x?3 中点为? ???y??3?y??33?3?4???24．A 圆心为(,?5253) 2y2y222?1?t?1?x,x??1,而t?0,0?1?t?1,得0?y?2 5．D x?t,442

?2x??2?2t??x??2?t?x??2?t??26．C ?，把直线代入 ????y?1?t?y?1?t?y?1?2t?2??2(x?3)2?(y?1)2?25得(?5?t)2?(2?t)2?25,t2?7t?2?0

t1?t2?(t1?t2)2?4t1t2?41，弦长为2t1?t2?82

二、填空题 1．y?11x(x?2)1?x?,t?,而y?1?t2， (x?1) 2t1?x(x?1)即y?1?(12x(x?2))?(x?1) 21?x(x?1)2．(3,?1)

y?14?，?(y?1)a?4x?12?0对于任何a都成立，则x?3,且y??1 x?3ax2y2??1，设P(6cos?,2sin?)， 3．22 椭圆为64x?2y?6cos??4sin??22sin(???)?22 24．x?y ??tan??1si?n2?,?cos??2co?sco?ss?in2?,2c?o?s?即?sxi2n?y,

4t?x??4t?1?t222x?0x?0x?y?05．? ，当时，；当时，； x?(tx)?4tx?0221?t4t?y??1?t2?4t?x??4t2?1?t2 而y?tx，即y?，得? 21?t2?y?4t?1?t2?三、解答题

yy2112,cos??1．解：显然?tan?，则2?1?

y2xxcos2??1x2 x?cos??sin?cos??2y1x即x??y221?2x2112tan?sin2??cos2????cos2? 2221?tan?y?11y2yx??,x(1?)??1 222yyxx1?21?2xx

y2y??1，即x2?y2?x?y?0 得x?xx2．解：设P(4cos?,3sin?)，则d?12cos??12sin??24

5122cos(??)?244即d?，

5当cos(??当cos(????4)??1时，dmax?)?1时，dmin?412(2?2)； 512?(2?2)。 5???3x?1?tcosx?1?t????62 3．解：（1）直线的参数方程为?，即??y?1?tsin??y?1?1t??6??2?3x?1?t??2代入x2?y2?4 （2）把直线??y?1?1t??2得(1?321t)?(1?t)2?4,t2?(3?1)t?2?0 22t1t2??2，则点P到A,B两点的距离之积为2

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