第4章平面问题的有限元法

4 平面问题的有限元法 4-1 弹性力学基本知识 弹性力学研究弹性体变形和应力分布，比材料力 学更为一般。 弹性力学假设： - 连续性 - 完全弹性 - 均匀 - 各向同性 - 微小变形 - 无初应力

一 弹性力学平衡方程 弹性体中取出单元体：z xz xz dx x

xy xZ

xzY

X

xy

xy x

dx

y

x

x

x dx x

根据单元体的平衡条件可以得到3个平衡方程： x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 x y z xz yz z Z 0 x y z

独立的应力分量只有6个 3个正应力： x , y , z 3个剪应力： xy , yz , zx

二 几何方程 应变和位移的关系方程有6个： u v u x , xy x x y v w v y , yz y y z w u w z , zx z z x

三 物理方程 应力和应变关系方程有6个：

E —杨氏弹性模量； —泊松比； G —剪切弹性模量

xy 1 x x y z , xy E G yz 1 y y z x , yz E G zx 1 z z x y , zx E G 2 1 G E

以上共有15个方程(3个平衡方程，6个几何方程， 6个物理方程),共有15个未知量(6个应力分 量，6个应变分量，3个位移分量)。 从理论上讲，只要给定边界条件，各种情况下的 弹性力学问题都是可解的。但实际情况是，这 一组方程太复杂，只有在非常简单的受力和约 束边界条件下，才可求得解析解。因此，工程 中的弹性力学问题大多都是用近似或数值方法 求解，如有限差分法或有限元法。

四 弹性力学平面问题 根据物体的几何形状和受力，可以把三维问题降 为二维问题处理，这样的问题有两种：平面应 力问题和平面应变问题。 1 平面应力问题y

y

x

z

几何和受力特点： 等厚薄板，外载荷作用在板的周边，并沿板厚均 匀分布，因此：

z 0, yz xz 0这样，平面应力问题的应力分量就只有3个：

x , y , xy但注意：z方向的应变不等于零。

2 平面应变问题

yx

z

几何和受力特点：一个方向的尺寸远远大 于另外两个方向的尺寸；外力沿这个大 尺寸方向均匀分布。比如水坝，在其长 度方向上任取一平面，该平面垂直于水 坝长的方向。该方向的位移为0,变形仅 发生在xy平面内。 但注意：z方向应力不等于零。

平面问题的弹性力学方程 平衡方程： x yx x xy x y y y

X 0 Y 0

几何方程： u v v u x

, y , xy x y x y

物理方程： 平面应力：

1 x x y E 1 y y x E xy 2 1 xy xy G E 1 2 x E 1 2 y E xy xy G x y 1 y x 1 2 1 xy E

平面应变：

E 将平面应力问题的物理方程中的 E 换成 ， 2 1 换成 1 ,就成为平面应变问题的物理方程。

再次提请注意： 平面应力问题： z 0, z 0 平面应变问题： z 0, z 0 以上共有8个方程(2个平衡方程，3个几何方程，3 个物理方程),可以求解8个未知数(2个位移， 3个应力，3个应变)。

4-2 平面问题的有限元模型 平面杆架分析，单元就是杆件。 平面问题要做分划，比如三角形单元，矩 形单元。 分割时要求保证单元边界位移的连续性。 一 单元分割 1 分割类型；2 尺寸大小及数量；3 边界上 的单元的节点最好就是集中力的作用点。

二 位移插值函数 位移插值函数：根据单元上节点的数量来 定义，它应满足3个条件： 1 反映刚体位移，即有常数项； 2 反映常应变，即有一次项； 3 单元内和边界位移协调(也称连续，相 容),即单元边界的位移仅由该边界的 节点位移值决定。因为边界上的节点为 两个单元所共有，故对两个单元来说， 该公共边界的位移值是一样的，此即连 续性。

4-3 平面问题的三角形单元求解 使用前面一章中的七个步骤来讨论有限元问题的 计算格式。 第一步：选择适当的坐标系，写出单元的位移和 节点力向量。

yv1 , F y 1

3

x11

2

u 1 , F x1

y1

x

建立如图所示的坐标系。 取三角形单元，在三个角点上各有一个节点， 每一个节点有两个位移、两个节点力。 u1 v 1 1 u 2 2 v 2 3 u 3 v3 Fx1 F y1 F1 Fx 2 F2 F Fy 2 3 F x3 Fy 3

e

F (e)

第二步 选择适当的位移插值函数 以节点位移作为已知量，求解(插值)单元内位 移，可以定义的单元内任意一点的位移为： u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y 以上插值函数满足：1 有常数项 ； 2 有一次项； 3 在边界上位移连续。 对于3,事实上将单元边界的方程

y ax b

代入单元边界的位移表达式(单元内的位

移表达 式也包含单元边界)可得 u 1 2 x 3 ax b cx d v 4 5 x 6 ax b ex f因为单元边界上任意点的位移仅由两个参数决定， 这两个参数可以由边界上的两个点的位移唯一 确定，所以保证了单元边界位移的连续性(或 相容性)。 1 2 u 1 x y 0 0 0 3 x, y f x, y v 0 0 0 1 x y 4 5 6

第三步：求单元内任意一点的位移 x, y 与 节点位移 e 的关系。 这一步的目的是求出 。 将各节点的坐标和相应的位移值代入单元内任意 一点的插值函数表达式 u1 1 x1 1 v1 0 0 u 2 1 x 2 2 v 2 0 0 u 3 1 x3 3 v 3 0 0 y1 0 y2 0 y3 0 0 1 0 1 0 1 0 x1 y1 0 0 x2 y 2 0 0 x3 y 3 0

合起来有 1 x1 0 0 1 1 x 2 2 0 0 3 1 x 3 0 0 1

y1 0 y2 0 y3 0e

0 1 0 0 1

0 x1 0 0 x3

e

1 x2

0 1 y1 2 0 3 A y 2 4 0 5 y 3 6

可以求得： A

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