四脚连线呈长方形的椅子能在不平的地面上放稳吗

问题：四脚连线呈长方形的椅子能在不平的地面上放稳吗（第1章 习题4）

模型假设 对椅子和地面作如下假设：

1． 椅子四脚一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点。 2． 地面高度是连续变化的，即地面视为连续曲面。

3． 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只

脚与地面同时着地。

模型构成 首先用变量表示椅子的位置，以长方形一对角线AC为X轴，BD为Y。设X轴Y轴间夹角为θ。当椅子绕中心O旋转角度θ’后。长方形ABCD转至A‘B‘C’D‘的位置，所以对角线AC与X轴的夹角θ’表示了椅子的位置。

记A，C，两脚与地面的距离之和为f(θ’),B,D两脚与地面的距离之和为g (θ’)。(f(θ’)，g (θ’)>=0)。由假设2，f,g是连续函数。由假设3，椅子在任何时候至少有三只脚着地，所以对任何θ’，f(θ’)和 g(θ’)中至少有一个为0。当θ’=0时不妨设f(θ’)=0，g(θ’)>0.

这样，改变椅子位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下命题: 已知f(θ’) 和g (θ’)是θ’的连续函数，对任意θ’，f(θ’) g(θ’)=0,且f(0)=0， g(0)>0.证明存在θ1，使f(θ1) =g(θ1)=0.

模型求解 将椅子旋转θ，对角线AC与BD互换。由f(0)=0，g(0)>0知f(θ).>0,g(θ)=0。

令h(θ’)=f(θ’)-g(θ’),则h(0)<0,h(θ)>0。由f,g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必有θ1（0<θ1<θ）使h(θ1)=0,即f(θ1)=g(θ1)。

最后，因为f(θ1) g(θ1)=0,所以f(θ1)=g(θ1)=0.

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