二次函数综合题老师

二次函数综合

二次函数

一、选择题

1、（2007天津市）已知二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象如图所示，有下列5个结论：① abc 0；② b a c；③ 4a 2b c 0；④ ⑤ a b m(am b)，（m 1的实数）其中正确的结论有（ ）2c 3b；B

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

2、（2007南充）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（ ）．B （A）②④ （B）①④ （C）②③ （D）①③ 3、（2007广州市）二次函数y x 2x 1与x轴的交点个数是（ ）B A．0 B．1 C．2 D．3 4、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数y ax b和二次函数

y ax bx

2

2

的图象可能为（ ）A

A

5、（2007四川资阳）已知二次函数y ax2 bx c(a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，

2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )D

A. 当x>0时，函数值y随x的增大而增大 B. 当x>0时，函数值y随x的增大而减小

C. 存在一个负数x0，使得当x<x0时，函数值y随x的增大而减小；当x> x0时，函数值y随x的增大而增大

D. 存在一个正数x0，使得当x<x0时，函数值y随x的增大而减小；当x>x0时，函数值y随x的增大而增大

6、（2007山东日照）已知二次函数y=x2-x+a(a＞0)，当自变量x取m时，其相应的函数值

小于0，那么下列结论中正确的是（ ）B

(A) m-1的函数值小于0 (B) m-1的函数值大于0

(C) m-1的函数值等于0 (D) m-1的函数值与0的大小关系不确定 二、填空题

1、（2007湖北孝感）二次函数y =ax2＋bx＋c 的图象如图8所示，

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且P=| a－b＋c |＋| 2a＋b |，Q=| a＋b＋c |＋| 2a－b |， 则P、Q的大小关系为 . P<Q

2、（2007四川成都）如图9

y ax 3x a 1的图象，那么a2

2

3、（2007江西省）已知二次函数y 的部分图象如图所示，则关于x x 2x m 0的解为．2

x1 1，x2 3；

4、（2007广西南宁）已知二次函数y 第4题

的图象如图所示，则点P(a，bc)三、解答题

1、（2007天津市）知一抛物线与x轴的交点是A( 2,0)、B（1，0），且经过点C（2，8）。

（1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标。

解：（1）设这个抛物线的解析式为y ax bx c

由已知，抛物线过A( 2,0)，B（1，0），C（2，8）三点，得

4a 2b c 0

（3分）解这个方程组，得a 2,b 2,c 4 a b c 0

4a 2b c 8

2

∴ 所求抛物线的解析式为y 2x 2x 4（6分） （2）y 2x 2x 4 2(x x 2) 2(x ∴ 该抛物线的顶点坐标为(

12, 92)

2

2

2

12

)

2

92

0)． 4)，且过点B(3，2、（2007上海市）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，

（1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．

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解：（1）设二次函数解析式为y a(x 1)2 4，

二次函数图象过点B(3，0)， 0 4a 4，得a 1． 二次函数解析式为y (x 1) 4，即y x 2x 3．

2

2

（2）令y 0，得x 2x 3 0，解方程，得x1 3，x2 1．

二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(3，0)和( 1，0)． 二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．

2

0) 平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为(4，

2)3、（2007广东梅州）已知二次函数图象的顶点是( 1，

（1）求二次函数的表达式，并在图10中画出它的图象； （2）求证：对任意实数m，点M(m， m)都不在这个 二次函数的图象上．

解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为y a(x 1) 2， ······································ 2分

图10 又点 0 在它的图象上，可得

2

3

32

a 2，解得a

12

2

2

．

所求为y

12

(x 1) 2． 令y 0，得x1 1，x22

画出其图象如右．

（2）证明：若点M在此二次函数的图象上， 则 m

2

12

(m 1) 2． 得m 2m 3 0．

22

方程的判别式：4 12 8 0，该方程无解． 所以原结论成立．

2

4、（2007贵州省贵阳）二次函数y ax bx c(a 0)答下列问题：

2

（1）写出方程ax bx c 0的两个根．（2分） （2）写出不等式ax bx c 0的解集．（2分）

（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．（2

2

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（4）若方程ax bx c k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．（4分） 解：（1）x1 1，x2 3 （2）1 x 3 （3）x 2 （4）k 2

5、（2007河北省）如图13，已知二次函数y

ax 4x c

2

2

的图像经

过点A和点B．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；

（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这

两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离． 解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入y ax2 4x c得

1 a ( 1)2 4 ( 1) c,

2

9 a 3 4 3 c.

a 1,

解得 c 6.∴二次函数的表达式

图13

为y x2 4x 6． （2）对称轴为x

2

；顶点坐标为（2，-10）．

（3）将（m，m）代入y x2 4x 6，得 m m2 4m 6， 解得m1 1,m2 6．∵m＞0，∴m1∴ m=6．∵点P与点Q关于对称轴x

1不合题意，舍去．

2

对称，∴点Q到x轴的距离为6．

6、（2007四川眉山）如图，矩形A’BC’O’是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的．O’点在x轴的正半轴上，B点的坐标为(1，3)． (1)如果二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过O、O’两点且图象顶点M的纵坐标为 —1．求这个二次函数的解析式；

(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得ΔPOM为直角三角形?若存在，请求出P点的坐标和ΔPOM的面积；若不存在，请说明理由； (3)求边C’O’所在直线的解析式．

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2)，1)，7、（2007山东威海）如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，点B的坐标为(3，

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二次函数y x2的图象记为抛物线l1．

（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．

（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数表达式．

（3）设抛物线l2的顶点为C，K为y轴上一点．若S△ABK S△ABC，求点K的坐标． （4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形．若存在，请判断点P共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．

x x x

图①

图②

图③

解：（1）有多种答案，符合条件即可．例如y x 1，y x x，y (x 1) 2或

y x 2x

3，y (x

2

222

1)，y (x 1

2

2

．

2

（2）设抛物线l2的函数表达式为y x bx c，

点A(1，2)，B(3，1)在抛物线l2上，

2

9 b ， 1 b c 2， 2解得

9 3b c 1 c 11.

2 抛物线l2的函数表达式为y x

2

x

92

x

112

．

9 7 97 2

x （3）y x x ， C点的坐标为 ．

224 16 416

911

2

过A，B，C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，F，

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则AD 2，CF

716

，BE 1，DE 2，DF

54

，FE

34

．

S△ABC S梯形ADEB S梯形ADFC S梯形CFEB．

12

(2 1) 2

1 72 2 16 51

427 315

． 1

16 416

延长BA交y轴于点G，设直线AB的函数表达式为y mx n，

1

m ， 2 m n， 2

点A(1，2)，B(3，1)在直线AB上， 解得

1 3m n. n 5.

2

12

52

直线AB的函数表达式为y x

． G点的坐标为 0 ．

2

5

设K点坐标为(0，h)，分两种情况： 若K点位于G点的上方，则KG h

1

52

．连结AK，BK．

S△ABK S△BKG S△AKG

5 15 5

3 h 1 h h ． 22 22 2

52

151652

5516

S△ABK S△ABC

1516

， h ，解得h

． K点的坐标为 0 ．

16

2516

55

若K点位于G点的下方，则KG

25

K点的坐标为 0 16

．

h．同理可得，h ．

（4）作图痕迹如图③所示．

由图③可知，点P共有3个可能的位置．

2

x

8、（2007浙江省）如图，抛物线y x 2x 3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。

（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

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（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。

解：（1）令y=0，解得x1 1或x2 3（1分）

∴A（－1，0）B（3，0）；（1分）

将C点的横坐标x=2代入y x 2x 3得y=－3，∴C（2，－3）（1分） ∴直线AC的函数解析式是y=－x－1

（2）设P点的横坐标为x（－1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分） 则P、E的坐标分别为：P（x，－x－1），（1分） E（(x,x 2x 3)（1分）

2

2

∵P点在E点的上方，PE=( x 1) (x 2x 3) x x 2（2分）

12

94

22

∴当x 时，PE的最大值=（1分）

F4(4

（3）存在4个这样的点F

，分别是F1(1,0),F2( 3,0),F3(4

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