高考数学二轮复习 第一部分 专题一 平面向量三角函数与解三角形

专题一平面向量、三角函数与解三角形

[研高考·明考点]

第一讲 小题考法——平面向量

[典例感悟]

[典例] (1)(2017·合肥质检)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝( )

A ．4

B ．－5

C ．6

D ．－6

(2)(2018届高三·湘中名校联考)若点P 是△ABC 的外心，且PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→

＝0，∠ACB ＝120°，则实数λ的值为( )

A.12

B ．－1

2

C ．－1

D ．1

[解析] (1)a ＋2b ＝(－3,3＋2k )，3a －b ＝(5,9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.

(2)设AB 的中点为D ，则PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→.因为PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，所以2PD ―→＋λPC ―→

＝0，所以向量PD ―→，PC ―→

共线．又P 是△ABC 的外心，所以PA ＝PB ，所以PD ⊥AB ，所以CD ⊥AB .因为∠ACB ＝120°，所以∠APB ＝120°，所以四边形APBC 是菱形，从而PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→＝PC ―→

，所以2PD ―→＋λPC ―→＝PC ―→＋λPC ―→

＝0，所以λ＝－1，故选C.

[答案] (1)D (2)C

[方法技巧]

解决以平面图形为载体的向量线性运算问题的方法

(1)充分利用平行四边形法则与三角形法则，结合平面向量基本定理、共线定理等知识进行解答．

(2)如果图形比较规则，向量比较明确，则可考虑建立平面直角坐标系，利用坐标运算来解决．

[演练冲关]

1．(2017·南昌调研)设a ，b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使a |a |＋b |b |＝0成立的是( )

A ．a ＝2b

B ．a ∥b

C ．a ＝－13

b D ．a ⊥b 解析：选C “a |a |＋b |b |

＝0，且a ，b 都是非零向量”等价于“非零向量a ，b 共线且反向”，结合各选项可知选C.

2．(2017·福州模拟)已知△ABC 和点M 满足MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0.若存在实数m ，使得AB ―→＋

AC ―→＝m AM ―→成立，则m ＝( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析：选B 由MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM

―→＝23AD ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13

(AB ―→＋AC ―→)，所以AB ―→＋AC ―→＝3AM ―→，则m ＝3，故选B. 3．(2017·沈阳质检)已知向量AC ―→，AD ―→和AB ―→在正方形网格中的位置如图所示，若AC ―→＝

λAB ―→＋μAD ―→，则λμ＝( )

A ．－3

B ．3

C ．－4

D ．4

解析：选A 建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，设网格中小正方形

的边长为1，则AC ―→＝(2，－2)，AB ―→＝(1,2)，AD ―→＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋

μ(1，0)，即????? 2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得????? λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.故选A.

[典例感悟]

[典例] (1)(2018届高三·广西三市联考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b

的夹角的余弦值为sin 17π3

，则b ·(2a －b )＝( ) A ．2 B ．－1 C ．－6 D ．－18

(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )

A ．－2

B ．－32

C ．－43

D ．－1

(3)(2018届高三·湖北七市(州)联考)平面向量a ，b ，c 不共线，且两两所成的角相等，若|a |＝|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________.

[解析] (1)∵|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32

，∴a ·b ＝－3，则b ·(2a －b )＝2a ·b －b 2

＝－18.

(2)如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC

的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→ ＝(－1－x ，－

y )，PC ―→＝(1－x ，－y )，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－

2x ，－2y )＝2x 2＋2? ?

?

??y －322－32，故当x ＝0，y ＝32时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32

. (3)∵平面向量a ，b ，c 不共线，且两两所成的角相等，∴它们两两所成的角为120°，∴|a ＋b ＋c |2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝|a |2＋|b |2＋|c |2

＋2|a ||b |·cos 120°＋2|b ||c |cos 120°＋2|a ||c |cos 120°＝22＋22＋12＋2×2×2×? ????－12＋2×2×1×? ????－12

＋2×2×1×? ??

??－12＝1，故|a ＋b ＋c |＝1. [答案] (1)D (2)B (3)1

[方法技巧]

解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法

(1)选择平面图形中的模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解．

(2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决．

[演练冲关]

1．(2017·云南调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |＝( )

A ．13＋6 2

B ．2 5 C.30 D.34

解析：选D 依题意得|a |＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，则|3a ＋b |＝

a ＋

b 2＝

9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34，故选D. 2．(2018届高三·湖南五市十校联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB ―→＝

2a ，AC ―→＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

解析：选C BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角即为向量AB ―→与BC ―→的夹

角，故向量a ，b 的夹角为120°.

3．(2017·天津高考)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD ―→＝2DC ―→，AE ―→＝λAC ―→－

AB ―→ (λ∈R)，且AD ―→·AE ―→＝－4，则λ的值为________．

解析：法一：AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋23

BC ―→ ＝AB ―→＋23(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋23

AC ―→. 又AB ―→·AC ―→＝3×2×12

＝3， 所以AD ―→·AE ―→＝? ??

??13AB ―→＋23AC ―→·(－AB ―→＋λAC ―→) ＝－13AB ―→2＋? ????13λ－23AB ―→·AC ―→＋23λAC ―→2

＝－3＋3? ????13

λ－23＋23λ×4＝113λ－5＝－4， 解得λ＝311

. 法二：以点A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，不妨假

设点C 在第一象限，

则A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)．

由BD ―→＝2DC ―→，得D ? ??

??53，233， 由AE ―→＝λAC ―→－AB ―→，得E (λ－3，3λ)，

则AD ―→·AE ―→＝? ??

??53，233·(λ－3，3λ)＝53(λ－3)＋233×3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311

. 答案：311

[必备知能·自主补缺]

(一) 主干知识要记牢

1．平面向量的两个充要条件

若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则

(1)a ∥b ?a ＝λb (b ≠0)?x 1y 2－x 2y 1＝0.

(2)a ⊥b ?a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0.

2．平面向量的性质

(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.

(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB ―→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.

(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 2

2＋y 22

. (4)|a ·b |≤|a |·|b |.

(二) 二级结论要用好

1．三点共线的判定

(1)A ，B ，C 三点共线?AB ―→，AC ―→共线．

(2)向量PA ―→，PB ―→，PC ―→中三终点A ，B ，C 共线?存在实数α，β使得PA ―→＝αPB ―→＋βPC ―→，

且α＋β＝1.

[针对练1] 在?ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→ (m ，

n ∈R)，则m n

＝________. 解析：如图，AD ―→＝2AE ―→，EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→，∴AF ―→＝AE ―→＋EF ―→＝

m AB ―→＋(2n ＋1)AE ―→，

∵F ，E ，B 三点共线，∴m ＋2n ＋1＝1，∴m n ＝－2.

答案：－2

2．中点坐标和三角形的重心坐标

(1)设P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段P 1P 2的中点P 的坐标为x 1＋x 22，y 1＋y 22.

(2)三角形的重心坐标公式：设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标是G ? ??

??x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33. 3．三角形“四心”向量形式的充要条件

设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则

(1)O 为△ABC 的外心?|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝

a 2sin A . (2)O 为△ABC 的重心?OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.

(3)O 为△ABC 的垂心?OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→.

(4)O 为△ABC 的内心?a OA ―→＋b OB ―→＋c OC ―→＝0.

(三) 易错易混要明了

1．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a ＝0；但不说0与任意非零向量垂直．

2．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，即消去律不成立；(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等，(a ·b )·c 与c 平行，而a ·(b·c )与a 平行．

3．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价．

[针对练2] 已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是________．

解析：依题意，当a 与b 的夹角为钝角时，a ·b ＝－2λ－1<0，解得λ>－12

.而当a 与b 共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a ＝－b ，a 与b 反向共线，此时a 与b 的

夹角为π，不是钝角，因此，当a 与b 的夹角为钝角时，λ的取值范围是? ??

??－12，2∪(2，＋∞)． 答案：? ??

??－12，2∪(2，＋∞) [课时跟踪检测]

A 组——12＋4提速练

一、选择题

1．(2017·沈阳质检)已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝? ??

??x ，12，若a ∥b ，则实数x 为( ) A ．－23

B.23

C.38 D ．－38

解析：选C ∵a ∥b ，∴3×12＝4x ，解得x ＝38

，故选C. 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足c ⊥(a ＋b )，且b ∥(a －c )，则c ＝( ) A.? ??

??79，73 B.? ????－79，73 C.? ????79，－73 D.? ????－79

，－73 解析：选A 设c ＝(x ，y )，由题可得a ＋b ＝(3，－1)，a －c ＝(1－x,2－y )．因为c ⊥(a ＋

b )，b ∥(a －

c )，所以????? 3x －y ＝0，－y ＋－x ＝0，解得????? x ＝79，y ＝73，故c ＝? ??

??79，73. 3．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是( )

A ．(－∞，2)

B ．(2，＋∞)

C ．(－∞，＋∞)

D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)

解析：选D 由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.

4．(2017·西安模拟)已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |＝( )

A ．5

B ．4

C ．3

D ．1

解析：选B 因为|a ＋b |＝13，所以|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13，即9＋2×3×|b |cos 120°

＋|b |2＝13，得|b |＝4.

5．(2018届高三·西安八校联考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向

量CD ―→在AB ―→方向上的投影是( ) A.322 B ．－322

C ．3 5

D ．－3 5 解析：选C 依题意得，AB ―→＝(2,1)，CD ―→＝(5,5)，AB ―→·CD ―→＝(2,1)·(5,5)＝15，|AB

―→|＝5，因此向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是AB ―→·CD ―→|AB ―→|

＝155＝3 5. 6．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，则下列结论正确的是( )

A ．OA ―→＝13A

B ―→＋23

BC ―→ B ．OA ―→＝23AB ―→＋13BC ―→ C ．OA ―→＝13AB ―→－23BC ―→ D ．OA ―→＝－23AB ―→－13

BC ―→ 解析：选D ∵OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA ―→＝－23×12

(AB ―→＋AC ―→)＝－13(AB ―→＋AC ―→)＝－13(AB ―→＋AB ―→＋BC ―→)＝－23AB ―→－13

BC ―→，故选D. 7．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b ＝( )

A.? ????32，12

B.? ??

??12，32 C.? ??

??14，334 D ．(1,0) 解析：选B 设b ＝(cos α，sin α)(α∈(0，π)∪(π，2π))，则a ·b ＝(3，1)·(cos

α，sin α)＝3cos α＋sin α＝2sin π3＋α＝3，得α＝π3，故b ＝? ??

??12，32. 8．(2018届高三·广东五校联考)已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2,1)，若|a ＋b |＝|a －b |，则实数λ的值为( )

A ．－1

B ．2

C ．1

D ．－2

解析：选A 由|a ＋b |＝|a －b |可得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，所以a ·b ＝0，即a ·b

＝(λ，1)·(λ＋2,1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1.

9．(2017·惠州调研)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－

2OA ―→)＝0，则△ABC 的形状为( )

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．正三角形

D ．等腰直角三角形

解析：选A (OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，即CB ―→·(AB ―→＋AC ―→)＝0，∵AB ―→－AC

―→＝CB ―→，∴(AB ―→－AC ―→)·(AB ―→＋AC ―→)＝0，即|AB ―→|＝|AC ―→|，∴△ABC 是等腰三角形，故选A.

10．(2017·日照模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，

AD 是BC 边上的高，则AD ―→·AC ―→

＝( )

A ．0

B ．4

C ．8

D ．－4 解析：选B 因为AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是BC 边上的高，所以AD ＝4sin 30°＝2，所以AD ―→·AC ―→＝AD ―→·(AB ―→＋BC ―→)＝AD ―→·AB ―→＋AD ―→·BC ―→＝AD ―→·AB ―→＝2×4×cos 60°＝4，故选B.

11．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切

的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )

A ．3

B ．2 2 C. 5 D ．2

解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建

立如图所示的平面直角坐标系，

则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y

－2＝0，点C 到直线BD 的距离为

212＋22＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45

. 因为P 在圆C 上，所以P ? ????1＋255cos θ，2＋255sin θ. 又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，

所以????? 1＋255cos θ＝λ，

2＋255sin θ＝2μ，

则λ＋μ＝2＋255cos θ＋55

sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2

＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3. 12．如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝7，BC ＝3，则AO ―→·BC ―→的值为( )

A.32

B.52 C ．2 D ．3

解析：选A 取BC 的中点为D ，连接AD ，OD ，则OD ⊥BC ，AD ―→＝12

(AB ―→＋

AC ―→)，BC ―→＝AC ―→－AB ―→，所以AO ―→·BC ―→＝(AD ―→＋DO ―→)·BC ―→＝

AD ―→·BC ―→＋DO ―→·BC ―→＝AD ―→·BC ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝12

(AC ―→2－AB ―→2)＝12×(7)2－22＝32

.故选A. 二、填空题

13．(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．

解析：因为3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，所以cos 60°＝

3e 1－e 2e 1＋λe 2|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝3－λ21＋λ

2＝12， 解得λ＝

33. 答案：33

14．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，且m ，n 夹角的余弦值为13

，若n ⊥(tm ＋n )，则实数t 的值为________．

解析：∵n ⊥(tm ＋n )，∴n ·(tm ＋n )＝0，即tm ·n ＋|n |2＝0.又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13

＋|n |2＝0，解得t ＝－4.

答案：－4

15．(2017·石家庄质检)已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，AM ―→＝λAB

―→＋μAC ―→ (λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则λμ的值为________．

解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，

C (1,0)，所以AB ―→＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，

则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→·BC ―→＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x

＝2y ，又AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，

所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝14

. 答案：14

16．(2017·北京高考)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO ―→·AP ―→的最大值为________．

解析：法一：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (cos α，sin α)，则AP ―→＝(cos α＋2，sin α)，

AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时等号成立，故AO ―→·AP ―→

的最大值为6.

法二：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(x ＋2，y )

＝2x ＋4≤6，当且仅当x ＝1，P (1,0)时等号成立，故AO ―→·AP ―→的最大值为6.

答案：6

B 组——能力小题保分练

1．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长

到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ―→·BC ―→的值为( )

A ．－58

B.18

C.14

D.118 解析：选B 如图所示，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→.

又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ―→＝12

AB ―→，DF ―→＝12AC ―→＋14AC ―→＝34

AC ―→， 所以AF ―→＝12AB ―→＋34

AC ―→. 又BC ―→＝AC ―→－AB ―→，

则AF ―→·BC ―→＝? ??

??12AB ―→＋34AC ―→ · (AC ―→－AB ―→) ＝12AB ―→·AC ―→－12AB ―→2＋34AC ―→2－34

AC ―→·AB ―→ ＝34AC ―→2－12AB ―→2－14AC ―→·AB ―→＝34|AC ―→|2－12|AB ―→|2－14

×|AC ―→|×|AB ―→|×cos∠BAC . 又|AB ―→|＝|AC ―→|＝1，∠BAC ＝60°，

故AF ―→·BC ―→＝34－12－14×1×1×12＝18

.故选B. 2．(2017·长春质检)已知a ，b 是单位向量，且a·b ＝－12

.若平面向量p 满足p·a ＝p ·b ＝12

，则|p |＝( ) A.12 B ．1 C. 2 D ．2

解析：选B 由题意，不妨设a ＝(1,0)，b ＝? ??

??－12，32，p ＝(x ，y )，∵p ·a ＝p ·b ＝12，∴????? x ＝12，－12x ＋32y ＝12， 解得????? x ＝12

，y ＝32.∴|p |＝x 2＋y 2

＝1，故选B.

3．(2017·浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝

AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA ―→·OB ―→，I 2＝OB ―→·OC ―→，

I 3＝OC ―→·OD ―→，则( )

A ．I 1

B ．I 1

C ．I 3

D ．I 2

解析：选C 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角

线的

交点，易得AO

BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝OA ―→·OB ―→－OB ―→·OC ―→＝OB ―→·(OA ―→－OC ―→)

＝OB ―→·CA ―→＝|OB ―→|·

|CA ―→|cos ∠AOB <0，∴I 1

同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于点G ，又AB ＝AD ，

∴OB ∴|OA ―→|·|OB ―→|<|OC ―→|·|OD ―→|，

而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，

∴OA ―→·OB ―→>OC ―→·OD ―→，即I 1>I 3，

∴I 3

4．(2018届高三·湖北八校联考)如图，O 为△ABC 的外心，AB ＝

4，AC

＝2，∠BAC 为钝角，M 为BC 边的中点，则AM ―→·AO ―→的值为( )

A ．2 3

B ．12

C ．6

D ．5 解析：选D 如图，分别取AB ，AC 的中点D ，

E ，连接OD ，OE ，可

知OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∵M 是BC 边的中点，∴AM ―→＝12

(AB ―→＋AC ―→)，∴AM ―→·AO ―→＝12(AB ―→

＋AC ―→)·AO ―→＝12AB ―→·AO ―→＋12

AC ―→·AO ―→＝AD ―→·AO ―→＋AE ―→·AO ―→.由数量积的定义可得AD ―→·AO ―→＝|AD ―→||AO ―→|·cos〈AD ―→，AO ―→〉，而|AO ―→|cos 〈AD ―→，AO ―→〉＝|AD ―→|，故AD ―→·AO ―→＝|AD ―→|2＝4，同理可得AE ―→·AO ―→＝|AE ―→|2＝1，故AD ―→·AO ―→＋AE ―→·AO ―→＝5，即AM ―→·AO ―→＝5，故选D.

5．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不

重合)，若AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，则x 的取值范围是________．

解析：依题意，设BO ―→＝λBC ―→，其中1<λ<43

，则有AO ―→＝AB ―→＋BO ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝AB ―→＋λ(AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAC ―→.又AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，且AB ―→，AC ―→不共线，于是有x ＝1－λ，由λ∈? ????1，43知，x ∈? ????－13，0，即x 的取值范围是? ??

??－13，0. 答案：? ??

??－13，0

6．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA ―→，OB ―→，OC

―→的模分别为1,1，2，OA ―→与OC ―→的夹角为α，且tan α＝7，OB ―→与OC ―→的夹

角为45°.若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→ (m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________.

解析：法一：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面

直角坐标系，则A (1，0)， 由tan α＝7，α∈?

????0，π2， 得sin α＝752，cos α＝152

， 设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，

则x C ＝|OC ―→|cos α＝2×152＝15

， y C ＝|OC ―→|sin α＝2×

752＝75，即C ? ????15，75. 又cos(α＋45°)＝1

52×

12－752×12＝－35， sin(α＋45°)＝752×12＋152×12＝45

， 则x B ＝|OB ―→|cos(α＋45°)＝－35

， y B ＝|OB ―→|sin(α＋45°)＝4

5

， 即B ? ??

??－35，45. 由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，可得????? 15＝m －35n ，75＝45n ，

解得????? m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74

＝3. 法二：由tan α＝7，α∈?

????0，π2， 得sin α＝752，cos α＝152

， 则cos(α＋45°)＝1

52×12－752×12＝－35，

所以OB ―→·OC ―→＝1×2×22

＝1， OA ―→·OC ―→＝1×2×152＝15

， OA ―→·OB ―→＝1×1×? ??

??－35＝－35， 由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，

得OC ―→·OA ―→＝m OA ―→2＋n OB ―→·OA ―→，即15＝m －35

n .① 同理可得OC ―→·OB ―→＝m OA ―→·OB ―→＋n OB ―→2，

即1＝－35

m ＋n .② ①＋②得25m ＋25n ＝65

， 即m ＋n ＝3.

答案：3

第二讲 小题考法——三角函数的图象与性质 主要考查三角函数的图象变换或根据图象求解析式或参数 [典例感悟]

[典例] (1)(2017·合肥质检)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )

A ．向左平移π4

个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移π4

个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移π2

个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移π2

个单位长度，再向下平移1个单位长度 (2)(2017·贵阳检测)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)?

????ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，若其图象向左平移π3

个单位长度后关于y 轴对称，则( ) A ．ω＝2，φ＝π3 B ．ω＝2，φ＝π6

C ．ω＝4，φ＝π6

D ．ω＝2，φ＝－π6

(3)(2017·沈阳模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，

ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ? ??

??π4的值为________． [解析] (1)先将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到

y ＝sin 2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin 2x ＋1的图象，故选B.

(2)依题意得，T ＝2πω＝π，ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)，其图象向左平移π3

个单位长度得到函数f ? ????x ＋π3＝sin ? ??

??2x ＋2π3＋φ的图象关于y 轴对称，于是有2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－π6

，k ∈Z. 又|φ|<π2，因此φ＝－π6

，故选D. (3)由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝π6

时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6

，∴f (x )＝2sin ? ????2x ＋π6，则f ? ????π4＝2sin ? ??

??π2＋π6＝2cos π6＝ 3. [答案] (1)B (2)D (3) 3

[方法技巧]

1．函数表达式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的确定方法

2．三角函数图象平移问题处理的“三看”策略

[演练冲关]

1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ? ????2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6

个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度，得到曲线C 2

C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6

个单位长度，得到曲线C 2

D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度，得到曲线C 2

解析：选D 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ?

????x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ?

????2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ????

??2? ????x ＋π12＋π2＝sin2x ＋2π3的图象，即曲线C 2. 2．(2017·云南模拟)函数f (x )＝sin ωx ()ω>0的图象向左平移π3

个单位长度，所得图象经过点? ????2π3，0，则ω的最小值是( )

A.32 B ．2 C ．1 D.12

解析：选 C 依题意得，函数f ? ????x ＋π3＝sin ωx ＋π3(ω>0)的图象过点? ??

??2π3，0，于是有f 2π3＋π3＝sin ω2π3

＋ π3

＝sin ωπ＝0(ω>0)，则ωπ＝k π，k ∈Z ，即ω＝k ∈Z ，因此正数ω的最小值是1，故选C.

3．(2017·陕西质检)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)?

????ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点?

????2，－12，则函数f (x )＝________. 解析：依题意得 22＋? ????πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ? ??

??π2x ＋φ，由于该函数图象过点2，－12，因此sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12，而－π2≤φ≤π2，故φ＝π6

，所以f (x )＝sin ? ????π2

x ＋π6. 答案：sin ? ????π2

x ＋π6 4.(2017·兰州模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，

0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象

的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.

解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2

. 又∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，

∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∵0<φ<π，则φ＝π2

， ∴f (x )＝3cos ? ????π2

x ＋π2，∴f (1)＝－ 3. 答案：－ 3

[典例感悟]

[典例] (1)(2017·沈阳质检)已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调递减区间分别为( )

A ．2π，??????3π8，7π8

B ．π，????

??3π8，7π8 C ．2π，??????－π8，3π8 D ．π，??????－π8

，3π8 (2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ?

????x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π

B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3

对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6

D ．f (x )在? ??

??π2，π单调递减 (3)(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)?

????ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在? ??

??π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．5

[解析] (1)f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ?

????2x －π4＋1，则T ＝2π2＝π.由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z)，得3π8＋k π≤x ≤7π8

＋k π(k ∈Z)，令k ＝0得f (x )在????

??3π8，7π8上单调递减，故选B. (2)根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；

当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos x ＋π3

＝－1，所以B 正确； f (x ＋π)＝cos ? ????x ＋π＋π3＝cos ?

????x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；

函数f (x )＝cos ? ????x ＋π3在? ????π2，2π3上单调递减，在? ????2π3，π上单调递增，故D 不正确．

(3)由题意得????? －π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，

且|φ|≤π2

， 则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4

. 对比选项，将选项各值依次代入验证：

若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ? ????11x －π4，f (x )在区间? ??

??π18，3π44上单调递增，在区间? ????3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间? ??

??π18，5π36上单调； 若ω＝9，则φ＝π4，此时f (x )＝sin ? ????9x ＋π4，满足f (x )在区间? ??

??π18，5π36上单调递减，故选B.

[答案] (1)B (2)D (3)B

[方法技巧]

1．求函数单调区间的方法

(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，得y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．

(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．

2．判断对称中心与对称轴的方法

利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．

3．求三角函数周期的常用结论

(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为

2π|ω|，y ＝tan ()ωx ＋φ的最小正周期为π|ω|

. (2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12

个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12

个周期． [演练冲关]

1．(2017·洛阳模拟)下列函数中，是周期函数且最小正周期为π的是( )

A ．y ＝sin x ＋cos x

B ．y ＝sin 2x －3cos 2x