2010年高考数学解答题分类汇编 - 图文

2010年高考数学试题分类汇编——函数

（2010上海文数）17.若x0是方程式 lgx?x?2的解，则x0属于区间 [答]（ ） （A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2） 解析：构造函数f(x)?lgx?x?2,由f(1.75)?f()?lg4774?14?0

f(2)?lg2?0知x0属于区间（1.75，2）

（2010湖南文数）8.函数y=ax2+ bx与y= logD

（2010湖南文数）3. 某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是

A. y??10x?200 B. y?10x?200 C. y??10x?200 D. y?10x?200

（2010浙江理数）（10）设函数的集合

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^^^^b||ax (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是

??11P??f(x)?log2(x?a)?ba??,0,,1;b??1,0,1?，

22??平面上点的集合

??11Q??(x,y)x??,0,,1;y??1,0,1?，

22??则在同一直角坐标系中，P中函数f(x)的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是 ．．（A）4 （B）6 （C）8 （D）10 解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=

12,b=0; a=

12,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B，本题主要考察了

函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题

1??（2010全国卷2理数）（10）若曲线y?x2在点?a,a2??1??处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，?则a?

（A）64 （B）32 （C）16 （D）8 【答案】A

【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.. 【解析】y'??12x?32,?k??12a?32，切线方程是y?a12?12??12a?32令x?0，y?(x?a)，

32a?12，令y?0，

x?3a，∴三角形的面积是s?12?3a?32a??18，解得a?64.故选A.

（2010全国卷2理数）（2）.函数y?（A） y?e（C）y?e【答案】D

【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。 【解析】由原函数解得

，即

∴在反函数中

，又

，故选D.

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2x?11?ln(x?1)22x?1(x?1)的反函数是

?1(x?0) （B）y?e?1(x?0)

2x?1?1(x?R) （D）y?e2x?1?1(x?R)

；

（2010陕西文数）10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y．．6．

＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为 [B]

（A）y＝[

x10] （B）y＝[

x?310] （C）y＝[

x?410] （D）y＝[

x?510]

解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B 法二：设x?10m??(0???9)，0???6时,???3??x?3???x? ?m??m?????10?，1010????????3??x?3???x?当6???9时,??m??m?1??1，所以选B ?????10??10???10?（2010陕西文数）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是 [C] （A）幂函数 （B）对数函数 解析：本题考查幂的运算性质

f(x)f(y)?aaxy （C）指数函数 （D）余弦函数

?ax?y?f(x?y)

4e?1x（2010辽宁文数）（12）已知点P在曲线y?范围是 (A)[0,

?4上，?为曲线在点P处的切线的倾斜角，则?的取值

) (B)[??4,22x) （C） (4exx?3?2,4] (D) [43?4,?)

1ex解析：选D.y???e?2e?13?4??xe?2?1ex，?ex??2,??1?y??0，

即?1?tan??0，???[

,?)

（2010辽宁文数）（10）设2?5?m，且

ab1a?1b?2，则m?

（A）10 （B）10 （C）20 （D）100 解析：选A.

2（2010辽宁文数）（4）已知a?0，函数f(x)?ax?bx?c，若x0满足关于x的方程2ax?b?0，则下

1a?1b2?logm2?logm5?logm10?2,?m?10,又?m?0,?m?10.

列选项的命题中为假命题的是

（A）?x?R,f(x)?f(x0) （B）?x?R,f(x)?f(x0) （C） ?x?R,f(x)?f(x0) （D）?x?R,f(x)?f(x0)

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解析：选C.函数f(x)的最小值是f(?b2a)?f(x0)

等价于?x?R,f(x)?f(x0)，所以命题C错误.

（2010辽宁理数）(1O)已知点P在曲线y= 范围是 (A)[0,

?44e?1x上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值

) (B)[??4,2) (?3?2,4 (D) []3?4,?)

【答案】D

【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。

【解析】因为y?'?4exx2(e?1)??4e?2?exx??1，即tan a≥-1,所以

3?4????

（2010全国卷2文数）（7）若曲线y?x2?ax?b在点(0,b)处的切线方程是x?y?1?0，则

（A）a?1,b?1 (B) a??1,b?1 (C) a?1,b??1 (D) a??1,b??1 【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ∵

y??2x?ax?0?a，∴ a?1，(0,b)在切线x?y?1?0，∴ b?1

（2010全国卷2文数）（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 （A）y=ex?1-1(x>0) (B) y=e-1(x ?R) (D）y=ex?1+1(x>0) +1 (x ?R)

(C) y=ex?1x?1【解析】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN（X-1）(X>1)，∴

ln(x?1)?y?1,x?1?ey?1,y?ex?1?1

（2010江西理数）12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S?t??S?0??0?，则导函数y?S?t?的图像大致为

'

【答案】A

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【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。

（2010江西理数）9．给出下列三个命题： ①函数y?12ln1?cosx1?cosx与y?lntanx2是同一函数；

②若函数y?fy?12?x?与y?g?x?的图像关于直线y?x对称，则函数y?f?2x?与

g?x?的图像也关于直线y?x对称；

③若奇函数f?x?对定义域内任意x都有f?x??f(2?x)，则f?x?为周期函数。 其中真命题是

A. ①② B. ①③ C.②③ D. ② 【答案】C

【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③, f??x??f[2?(?x)]?f(2?x),又通过奇函数得f??x???f(x)，所以f（x）是周期为2的周期函数，

选择C。

（2010安徽文数）（7）设a?（）,b?（），c?（），则a，b，c的大小关系是

555555322322（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a

7.A

2x【解析】y?x5在x?0时是增函数，所以a?c，y?()在x?0时是减函数，所以c?b。

25【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.

2（2010安徽文数）（6）设abc?0,二次函数f(x)?ax?bx?c的图像可能是

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6.D

【解析】当a?0时，b、c同号，（C）（D）两图中c?0，故b?0,?b2a?0，选项（D）符合

【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分a?0或a?0两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.

（2010重庆文数）（4）函数y?16?4x的值域是

（A）[0,??) （B）[0,4] （C）[0,4) （D）(0,4) 解析：?4?0,?0?16?4?16?16?4??0,4?

xxx（2010浙江文数）（9）已知x是函数f(x)=2x+

x2∈（x0，+?），则

11?x的一个零点.若x1∈（1，x0），

（A）f(x1)＜0，f(x2)＜0 （B）f(x1)＜0，f(x2)＞0 （C）f(x1)＞0，f(x2)＜0 （D）f(x1)＞0，f(x2)＞0

解析：选B，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题

（2010浙江文数）2.已知函数 f(x)?log1(x?1),若f(?)?1, ?= (A)0

（2010重庆理数）(5) 函数f?x??4?12xx (B)1 (C)2 (D)3

解析：?+1=2，故?=1，选B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题

的图象

A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称

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解析：f(?x)?

4?x?1?x2?1?42xx?f(x) ?f(x)是偶函数，图像关于y轴对称

（2010山东文数）（11）函数y?2x?x2的图像大致是

答案：A

（2010山东文数）（8）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y??13x?81x?234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为

3（A）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件 答案：C

（2010山东文数）（5）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?2x?2x?b（b为常数），则f(?1)?

（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3 答案：A

（2010山东文数）(3)函数f?x??log2?3x?1?的值域为

A. ?0,??? B. ??0,??? C. ?1,??? D. ??1,??? 答案：A

1x1?)（2010北京文数）(6)给定函数①y?x2，②y?log(12，③y?|x?1|，④y?2x?1，期中在区间（0，

1）上单调递减的函数序号是

（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④

答案：B

（2010北京文数）⑷若a,b是非零向量，且a?b，a?b，则函数f(x)?(xa?b)?(xb?a)是

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（A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数 答案：A

（2010四川理数）（4）函数f(x)＝x＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是 （A）m??2 （B）m?2 （C）m??1 （D）m?1 解析：函数f(x)＝x＋mx＋1的对称轴为x＝－ 于是－答案：A

（2010四川理数）（3）2log510＋log50.25＝

（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4 解析：2log510＋log50.25

＝log5100＋log50.25 ＝log525 ＝2 答案：C

（2010四川理数）（2）下列四个图像所表示的函数，在点x?0处连续的是

m22

2

m2

＝1 ? m＝－2

（A） （B） （C） （D） 解析：由图象及函数连续的性质知，D正确. 答案：D

（2010天津文数）（10）设函数g(x)?x?2(x?R)，（A）????92f(x)?{g(x)?x,x?g(x).g(x)?x?4,x?g(x),则f(x)的值域是

?9? ??4,0??(2,??)??9?,0??(1,??) （B）[0,??) （C）[?,??)（D）

44?【答案】D

【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难依

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题。

题意知

22??x?2?(x?4),x?x?2f(x)?22??x?2?x,x?x?2，

2??x?2,x??1或f(x)?2??x?2?x,?1?

25（2010天津文数）(6)设a?log54，b?（log53），c?log4，则

(A)a【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法，属于容易题。 因为0?log54?1,所以b

【温馨提示】比较对数值的大小时，通常利用0，1进行，本题也可以利用对数函数的图像进行比较。

（2010天津文数）(5)下列命题中，真命题是

(A)?m?R,使函数f（x）=x2?mx（x?R）是偶函数 (B)?m?R,使函数f（x）=x2?mx（x?R）是奇函数 (C)?m?R,使函数f（x）=x2?mx（x?R）都是偶函数 (D)?m?R,使函数f（x）=x2?mx（x?R）都是奇函数 【答案】A

【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。当m=0时，函数

2

f（x）=x是偶函数，所以选A.

【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。

（2010天津文数）（4）函数f（x）=e?x?2的零点所在的一个区间是 (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 【答案】C

【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。 因为f（0）=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间（0，1）上，选C

【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。

?log2x,x?0,?（2010天津理数）（8）若函数f(x)=?log(?x),x?0,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是

1??2x（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1） 【答案】C

【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。 由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。

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?a?0?f(a)?f(?a)??loga?loga或21??2?a?0?a<0???log(?a)?log(?a)??1或12?a???2?2?a?0??a?1或-1?a?0 ?1??a?a【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。

（2010天津理数）（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数 （B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 （C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数 （D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 【答案】B

【解析】本题主要考查否命题的概念 ，属于容易题。

否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知B项是正确的。 【温馨提示】解题时要注意否命题与命题否定的区别。

（2010天津理数）（2）函数f(x)=2x?3x的零点所在的一个区间是 (A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2） 【答案】B

【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。 由f(?1)?12?3?0,f(0)?1?0及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。

【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。 （2010广东理数）3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则

A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数 C．f（x）与g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数 3．D．f(?x)?3

（2010广东文数）3.若函数f(x)?3?3x?x?x?3?f(x),g(?x)?3x?x?3??g(x)．

x与g(x)?3?3x?x的定义域均为R，则

A. f(x)与g(x)与均为偶函数 B.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数

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C. f(x)与g(x)与均为奇函数 D.f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 解:由于f(?x)?3?x?3?(?x)?f(x),故f(x)是偶函数,排除B、C 由题意知，圆心在y轴左侧，排除A、C 在Rt?0AO，

（2010广东文数）2.函数f(x)?lg(x?1)的定义域是

A.(2,??) B. (1,??) C. [1,??) D. [2,??) 解：x?1?0，得x?1，选B.

?x2+2x-3,x?0fx)=?（2010福建文数）7．函数（的零点个数为 ( )

?-2+lnx,x>0OA0A?k?12，故

0A0O?50O?15?0O?5，选D

A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B

【解析】当x?0时，令x2?2x?3?0解得x??3；

当x?0时，令?2?lnx?0解得x?100，所以已知函数有两个零点，选C。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。

（2010全国卷1文数）(7)已知函数f(x)?|lgx|.若a?b且，f(a)?f(b)，则a?b的取值范围是 (A)(1,??) (B)[1,??)(C) (2,??) (D) [2,??)

7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=a?1a?2,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.

1a【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或b?1，所以a+b=a?1a

又0

f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).

?0?a?1?0?x?1??【解析2】由0

?ab?1?xy?1??第 11 页 共 11 页

范围问题，z?x?y?y??x?z，y?1x?y???1x2??1?过点?1,1?时z最小为2,∴(C) (2,??)

（2010全国卷1理数）（10）已知函数f(x)=|lgx|.若0

（2010四川文数）(2)函数y=log2x的图象大致是

(A) (B) (C) (D)

解析：本题考查对数函数的图象和基本性质. 答案：C

（2010湖北文数）5.函数y?34341log0.5(4x?3)的定义域为

34A.( ,1) B(,∞) C（1，+∞） D. ( ,1)∪（1，+∞）

?log3x,x?01（2010湖北文数）3.已知函数f(x)??x，则f(f())?

9?2,x?0A.4 B.

14 C.-4 D-

14

【答案】B

【解析】根据分段函数可得f()?log39119??2，则f(f())?f(?2)?2?2?9114，

所以B正确.

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（2010山东理数）(11)函数y=2x -x2的图像大致是

【答案】A

【解析】因为当x=2或4时，2-x2=0，所以排除B、C；当x=-2时，2-x2=A。

【命题意图】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。 （2010山东理数）（4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 【答案】D

x

x

14?4<0，故排除D，所以选

（2010湖南理数）8.用关于直线x=?12表示a，b两数中的最小值。若函数的图像

对称，则t的值为

A．-2 B．2 C．-1 D．1

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1.（2010安徽理数）

2. （2010安徽理数）6、设abc?0，二次函数f?x??ax?bx?c的图象可能是

2

6.D

【解析】当a?0时，b、c同号，（C）（D）两图中c?0，故b?0,?第 14 页 共 14 页

b2a?0，选项（D）符合.

【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分a?0或a?0两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. ?x2+2x-3,x?0（2010福建理数）4．函数（的零点个数为 ( ) fx)=??-2+lnx,x>0A．0 【答案】C

B．1 C．2 D．3

【解析】当x?0时，令x2?2x?3?0解得x??3；

当x?0时，令?2?lnx?0解得x?100，所以已知函数有两个零点，选C。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。

2010年高考数学试题分类汇编——函数

（2010上海文数）14.将直线l1:x?y?1?0、l2:nx?y?n?0、l3:x?ny?n?0（n?N*，n?2）

围成的三角形面积记为Sn，则limSn? n??12 。

解析：B(12nn?1n?1,n) 所以BO⊥AC，

Sn=

?2?(1nn?12?22)?n?12(n?1)

所以limSn?n??2

（2010上海文数）9.函数f(x)?log3(x?3)的反函数的图像与y轴的交点坐标是 (0,?2) 。 解析：考查反函数相关概念、性质

x法一：函数f(x)?log3(x?3)的反函数为y?3?3，另x=0，有y=-2

法二：函数f(x)?log3(x?3)图像与x轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数f(x)?log3(x?3)的反函数的图像与y轴的交点为（0，-2）

（2010湖南文数）10.已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 g 【答案】171.8或148.2

【解析】根据0.618法，第一次试点加入量为

110＋（210－110）?0.618＝171.8 或 210－（210－110）?0.618＝148.2

【命题意图】本题考察优选法的0.618法，属容易题。

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?3x?2,x?1,（2010陕西文数）13.已知函数f（x）＝?2若f（f（0））＝4a，则实数a＝ 2 .

?x?ax,x?1,解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2 （2010重庆文数）(12)已知t?0，则函数y?t?4t?1t2的最小值为____________

解析：y?

t?4t?1t2?t?1t?4??2(?t?0)，当且仅当t?1时，ymin??2

（2010浙江文数）（16） 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值 。 答案：20

（2010重庆理数）（15）已知函数f?x?满足：f?1??则f?2010?=_____________. 解析：取x=1 y=0得f(0)?1214，4f?x?f?y??f?x?y??f?x?y??x,y?R?，

法一：通过计算f(2),f(3),f(4)........，寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故f?2010?=f(0)=

（2010天津文数）（16）设函数f(x)=x-值范围是________

【答案】m<-1

【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。 已知f（x）为增函数且m≠0

若m>0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。 M<0，时有mx?1mx?mx?1m212

1x,对任意x?[1,??），f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m的取

mx?0?2mx?(m?21m)?1x?0?1?1m2?2x因为y?2x在x?[1,??)上

22的最小值为2，所以1+?2即m>1,解得m<-1.

【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。

（2010天津理数）（16）设函数f(x)?x?1，对任意x??,???，f??3?第 16 页 共 16 页

2?2??x?2??4mf(x)?f(x?1)?4f(m)?m?

恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】D

【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。 依据题意得

1m2232222在x?[,??)上恒定成立，即?1?4m(x?1)?(x?1)?1?4(m?1)22m?2x?1在x?[3x2x2?4m??323x232,??)上恒成立。

53当x?时函数y??332?2x?1取得最小值?，所以

1m2?4m??253，即(3m2?1)(4m2?3)?0，解得

m??2或m?

【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解

（2010广东理数）9. 函数f(x)=lg(x-2)的定义域是 . 9． (1,+∞) ．∵x?1?0，∴x?1．

（2010广东文数）

（2010全国卷1理数）(15)直线y?1与曲线y?x?x?a有四个交点，则a的取值范围是 .

2第 17 页 共 17 页

（2010湖南理数）14．过抛物线x2?2py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点，A,B在x轴上的正射影分别为D,C．若梯形ABCD的面积为122，则p? ．

（0，??）（0，??），3. （2010福建理数）15．已知定义域为的函数f(x)满足：①对任意x?恒有f(2x)=2f(x)成立；当x?（1，2]时，f(x)=2-x。给出如下结论：

①对任意m?Z，有f(2)=0；②函数f(x)的值域为[0，；③存在n?Z，使得f(2+1)=9；④“函??）数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是 “存在k?Z，使得

(a,b)?(2,2kk?1mn)”。

第 18 页 共 18 页

其中所有正确结论的序号是 。 【答案】①②④

【解析】对①，因为2m>0，所以f(2m)=0，故①正确；经分析，容易得出②④也正确。 【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。

4 . （2010江苏卷）5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x?R)是偶函数，则实数a=_______▲_________ [解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。 5. （2010江苏卷）11、已知函数

?x2?1,x?0,则满足不等式f(1?x2)?f(2x)的f(x)??x?0?1,22x的范围是__▲___。

?1?x[解析] 考查分段函数的单调性。???2x?1?x?0??x?(?1,2?1)

6. （2010江苏卷）14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S?(梯形的周长）梯形的面积2,则S的最小值是____▲____。

[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。 设剪成的小正三角形的边长为x，则：S?(3?x)12?(x?1)?322??(1?x)43?(3?x)1?x22(0?x?1)

（方法一）利用导数求函数最小值。 S(x)?43?(3?x)1?x22，S?(x)?432?(2x?6)?(1?x)?(3?x)?(?2x)(1?x)432222

?43?(2x?6)?(1?x)?(3?x)?(?2x)(1?x)13222???2(3x?1)(x?3)(1?x)22

S?(x)?0,0?x?1,x?1，

1当x?(0,]时，S?(x)?0,递减；当x?[,1)时，S?(x)?0,递增；

3313故当x?时，S的最小值是3233。

（方法二）利用函数的方法求最小值。

4t4111?2??令3?x?t,t?(2,3),?(,)，则：S?

86t323?t?6t?83???12tt1第 19 页 共 19 页

2

故当?t138,x?13时，S的最小值是

3233。

2010年高考数学试题分类汇编——函数

（2010上海文数）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

若实数x、y、m满足x?m?y?m，则称x比y接近m. （1）若x2?1比3接近0，求x的取值范围；

（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b?ab2比a3?b3接近2abab；

（3）已知函数f(x)的定义域D?xx?k?,k?Z,x?R?.任取x?D，f(x)等于1?sinx和1?sinx中接近0的那个值.写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.

解析：(1) x?(?2,2)；

(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有a2b?ab2?2abab，a3?b3?2abab， 因为|a2b?ab2?2abab|?|a3?b3?2abab|??(a?b)(a?b)2?0，

所以|a2b?ab2?2abab|?|a3?b3?2abab|，即a2b?ab2比a3?b3接近2abab； (3) f(x)???1?sinx,?1?sinx,x?(2k???,2k?)x?(2k?,2k???)?1?|sinx|,x?k?,k?Z，

f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T??，函数f(x)的最小值为0， 函数f(x)在区间[k??

（2010湖南文数）21．（本小题满分13分） 已知函数f(x)?ax?x?(a?1)lnx?15a,其中a<0,且a≠-1.

?2,k?)单调递增，在区间(k?,k???2]单调递减，k?Z．

（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

332x(?2x?3ax?6ax?4a?6a)e,x?1（Ⅱ）设函数

g(x)?{e?f(x),x?1（e是自然数的底数）。是否存在a，

使g(x)在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

第 20 页 共 20 页

第 21 页 共 21 页

（2010浙江理数） (22)(本题满分14分)已知a是给定的实常数，设函数f(x)?(x?a)2(x?b)e2，b?R， x?a是f(x)的一个极大值点．

(Ⅰ)求b的取值范围；

(Ⅱ)设x1,x2,x3是f(x)的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x4?R，使得x1,x2,x3,x4的某种排列xi,xi,xi,xi(其中?i1,i2,i3,i4?=?1,2,3,4?)依次成等差数列?若存在，求所有的b及相应的x4；若不存

1234在，说明理由．

解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。

2? （Ⅰ）解：f’(x)=ex(x-a) ?x??(3?a?b)x?2b?ab?a?,令

g(x)?x?(3?a?b)x?2b?ab?a,则?=(3-a+b)?4(2b?ab?a)?(a?b?1)?8?0,222

于是，假设x1,x2是g(x)?0的两个实根，且x1?x2.

（1） 当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。 （2） 当x1?a且x2?a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1

即a?(3?a?b)a?2b?ab?a?0 所以b＜-a

所以b的取值范围是（-∞，-a）

2

此时x4?2x2?a?a?b?3?(a?b?1)?8?a?a?26 22或x4?2x2?a?a?b?3?(a?b?1)?8?a?a?26 （2）当x2?a?a?x1时，则x2?a?2(a?x1)或(a?x1)?2(x2?a)

第 22 页 共 22 页

于是a?b?1??9?213

此时x4?a?x2?2a?(a?b?3)?3(a?b?3)4??b?3?a?1?132

综上所述，存在b满足题意， 当b=-a-3时，x4?a?26

b??a?7?27?13213时，x4?a?1?213

b??a?时，x4?a?1?132

（2010全国卷2理数）（22）（本小题满分12分） 设函数f?x??1?e?x．

xx?1（Ⅰ）证明：当x＞-1时，f?x??；

第 23 页 共 23 页

（Ⅱ）设当x?0时，f?x??xax?1，求a的取值范围．

【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】

第 24 页 共 24 页

【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.

（2010陕西文数）21、(本小题满分14分) 已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a?R。

（1） 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程； （2） 设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值?（a）的解析式； （3） 对（2）中的?（a），证明：当a?（0，+?）时， ?（a）?1. 解 （1）f’(x)=

12x,g’(x)=

ax(x>0),

由已知得 x=alnx，

12x=ax， 解德a=

e2,x=e,

12

?两条曲线交点的坐标为（e,e） 切线的斜率为k=f’(e

122)=

2e,

?切线的方程为y-e=2e(x- e2).

（2）由条件知

Ⅰ 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=4a,

第 25 页 共 25 页

'2

所以当0 < x< 4a2时 h '(x)<0，h(x)在（0，4a2）上递减； 当x>4a2时，h '(x)>0，h(x)在（0，4a2）上递增。

所以x>4a2是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。 所以Φ （a）=h(4a2)= 2a-aln4a2=2

Ⅱ当a ≤ 0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。 故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o) （3）由（2）知Φ （a）=2a(1-ln2a)

则 Φ （a ）=-2ln2a，令Φ （a ）=0 解得 a =1/2

当 00，所以Φ （a ） 在(0,1/2) 上递增

当 a>1/2 时， Φ （a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。 所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1

因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值 所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ（a） ≤ 1

（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax2?1. （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）设a??2，证明：对任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.

a?1x2ax?a?1x2111解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+?)，f?(x)??2ax?.

当a≥0时，f?(x)＞0，故f(x)在(0,+?)单调增加； 当a≤－1时，f?(x)＜0, 故f(x)在(0,+?)单调减少；

a?12aa?12a当－1＜a＜0时，令f?(x)＝0,解得x=?.当x∈(0, ?)时, f?(x)＞0；

x∈(?a?12a，+?)时，f?(x)＜0, 故f(x)在（0, ?a?12a）单调增加，在（?a?12a，+?）单调减少.

(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+?）单调减少. 所以f(x1)?f(x2)?4x1?x2等价于

f(x1)?f(x2)≥4x1－4x2,

第 26 页 共 26 页

即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令g(x)=f(x)+4x,则

g?(x)?2a?1x?2ax+4

＝

2ax?4x?a?1x2.

2于是g?(x)≤

?4x?4x?1x＝

?(2x?1)x≤0.

从而g(x)在（0，+?）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，

即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+?) ，f(x1)?f(x2)?4x1?x2.

（2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax2?1 （I）讨论函数f(x)的单调性；

（II）设a??1.如果对任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)?4|x1?x2|，求a的取值范围。 解：

（Ⅰ）f(x)的定义域为（0，+∞）. f'(x)?a?1x?2ax?2ax?a?1x2.

当a?0时，f'(x)＞0，故f(x)在（0，+∞）单调增加； 当a??1时，f'(x)＜0，故f(x)在（0，+∞）单调减少；

a?12a当-1＜a＜0时，令f'(x)=0，解得x??.

则当x?(0,?a?12a)时，f'(x)＞0；x?(?a?12a,??)时，f'(x)＜0.

故f(x)在(0,?a?12a)单调增加，在(?a?12a,??)单调减少.

（Ⅱ）不妨假设x1?x2，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而 ?x1,x2?(0,??)，f(x1)?f(x2)?4x1?x2 等价于

?x1,x2?(0,??)，f(x2)?4x2?f(x1)?4x1 ①

第 27 页 共 27 页

令g(x)?f(x)?4x，则g'(x)?a?1x?2ax?4

①等价于g(x)在（0，+∞）单调减少，即

a?1x. ?2ax?4?0?4x?12x?12 从而a??(2x?1)?4x?22x?1222?(2x?1)222x?1?2

故a的取值范围为（-∞，-2]. ??12分

（2010全国卷2文数）（21）（本小题满分12分） 已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1。 （Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；

（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。

【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。

（1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间。

??（2）求出函数的导数f(x)，在（2，3）内有极值，即为f(x)在（2，3）内有一个零点，即可根据f?(2)f?(3)?0，即可求出A的取值范围。

（2010江西理数）19. （本小题满分12分） 设函数f?x??lnx?ln?2?x??ax(a?0)。 （1）当a=1时，求f?x?的单调区间。 1?上的最大值为（2）若f?x?在?0，12，求a的值。

【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。 解：对函数求导得：f?(x)?1x?12?x?a，定义域为（0，2）

（1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。

当a=1时，令f?(x)?0得1x?12?x+1=0??0（x2?x）?x?22

2),f?(x)?0,为减函数。 当x?(0,2),f?(x)?0,为增区间；当x?(2，1?上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定 （2） 区间?0，待定量a的值。

第 28 页 共 28 页

当x??0，1?有最大值，则必不为减函数，且f?(x)?最大值在右端点取到。fmax?f(1)?a?121x?12?x?a>0，为单调递增区间。

。

（2010安徽文数）20.（本小题满分12分） 设函数f?x??sinx?cosx?x?1，0?x??2，求函数f?x?的单调区间与极值。

【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.

【解题指导】（1）对函数f?x??sinx?cosx?x?1求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.

解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0

当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：

因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，?）与（3?2，2?），3?3?3?单调递增区间是（?，），极小值为f()=，极大值为f(?)=??2222

【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.

（2010重庆文数）(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)

已知函数f(x)?ax?x?bx(其中常数a,b∈R),g(x)?f(x)?f?(x)是奇函数. (Ⅰ)求f(x)的表达式;

(Ⅱ)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值.

32

第 29 页 共 29 页

（2010浙江文数）（21）（本题满分15分）已知函数f(x)?(x?a)2（a-b）(a,b?R,a

第 30 页 共 30 页

（2010重庆理数）（18）（本小题满分13分，（I）小问5分，（II）小问8分） 已知函数f?x??（I） （II）

x?1x?a?ln?x?1?,其中实数a?1。

若a=-2，求曲线y?f?x?在点?0,f?0??处的切线方程； 若f?x?在x=1处取得极值，试讨论f?x?的单调性。

第 31 页 共 31 页

（2010山东文数）（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)?lnx?ax?1?ax?1(a?R)

（I）当a??1时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； （II）当a?12时，讨论f(x)的单调性.

第 32 页 共 32 页

（2010北京文数）（20）（本小题共13分）

已知集合Sn?{X|X?(x1,x2,…，xn),x1?{0,1},i?1,2,…,n}(n?2)对于A?(a1,a2,…an,)，

B?(b1,b2,…bn,)?Sn，定义A与B的差为 A?B?(|a1?b1|,|a2?b2|,…|an?bn|);

A与B之间的距离为d(A,B)??i?1|a1?b1|

（Ⅰ）当n=5时，设A?(0,1,0,0,1),B?(1,1,1,0,0)，求A?B，d(A,B)； （Ⅱ）证明：?A,B,C?Sn,有A?B?Sn，且d(A?C,B?C)?d(A,B); (Ⅲ) 证明：?A,B,C?Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数 （Ⅰ）解：A?B?(0?1,1?1,0?1,0?0,1?0)=（1,0,1,0,1）

第 33 页 共 33 页

d(A,B)?0?1?1?1?0?1?0?0?1?0=3

(Ⅱ)证明：设A?(a1,a2,???,an),B?(b1,b2,???,bn),C?(c1,c2,???,cn)?Sn 因为a1,b1?{0,1}，所以a1?b1?{0,1}(i?1,2,???,n) 从而A?B?(a1?b1,a2?b2,???an?bn)?Sn 由题意知ai,bi,ci?{0,1}(i?1,2,???,n) 当ci?0时，ai?ci?bi?ci?ai?bi

当ci?1时，ai?ci?bi?ci?(1?ai)?(1?bi)?ai?bi

n所以d(A?C,B?C)??i?1ai?bi?d(A,B)

(Ⅲ)证明：设A?(a1,a2,???,an),B?(b1,b2,???,bn),C?(c1,c2,???,cn)?Sn

d(A,B)?k,d(A,C)?l,d(B,C)?h

记0?(0,0,???0)?Sn由（Ⅱ）可知

d(A,B)?d(A?A,B?A)?d(0,B?A)?kd(A,C)?d(A?A,C?A)?d(0,C?A)?l d(B,C)?d(B?A,C?A)?h所以bi?ai(i?1,2,???,n)中1的个数为k,ci?ai(i?1,2,???,n)中1的个数为l 设t是使bi?ai?ci?ai?1成立的i的个数。则h?l?k?2t 由此可知，k,l,h三个数不可能都是奇数

即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数。

（2010北京理数）(18)(本小题共13分)

已知函数f(x)=In(1+x)-x+

x2x(k≥0)。

2(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求f(x)的单调区间。

第 34 页 共 34 页

解：（I）当k?2时，f(x)?ln(1?x)?x?x2，f'(x)? 由于f(1)?ln2，f'(1)?3211?x?1?2x

，

所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y?ln2?32x(? 1) 即 3x?2y?2ln?2?3 （II）f'(x)?x(kx?k?1)1?x，x?(?1,??).

x1?x 当k?0时，f'(x)??.

所以，在区间(?1,0)上，f'(x)?0；在区间(0,??)上，f'(x)?0. 故f(x)得单调递增区间是(?1,0)，单调递减区间是(0,??). 当0?k?1时，由f'(x)? 所以，在区间(?1,0)和(x(kx?k?1)1?xk?0，得x1?0，x2?1?kk1?kk?0

)上，f'(x)?0 1?kk).

1?k,??)上，f'(x)?0；在区间(0,1?kk 故f(x)得单调递增区间是(?1,0)和(x2,??)，单调递减区间是(0, 当k?1时，f'(x)?1?x

故f(x)得单调递增区间是(?1,??). 当k?1时，f'(x)?所以没在区间(?1,f'(x)?0

x(kx?k?1)1?x?0，得x1?1?kk?(?1,0)，x2?0.

1?kk,0)上，

1?kk)和(0,??)上，f'(x)?0；在区间(故f(x)得单调递增区间是(?1,

1?kk)和(0,??)，单调递减区间是(1?kk,0)

（2010四川理数）（22）（本小题满分14分） 设f(x)?1?a1?axx（a?0且a?1），g(x)是f(x)的反函数.

（Ⅰ）设关于x的方程求logat(x?1)(7?x)2?g(x)在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；

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n（Ⅱ）当a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：?g(k)?k?22?n?n2；

2n(n?1)n1

（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较??f(k)?n?与4的大小，并说明理由.

2k?1本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合等数学思想方

法，以及推理论证、分析与解决问题的能力. 解：(1)由题意，得ax＝

y?1y?1＞0

故g(x)＝loga由logatx?1x?1，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)

x?1x?1(x?1)(7?x)2

2?loga得

t＝(x-1)2(7-x)，x∈[2,6] 则t'=-3x+18x-15=-3(x-1)(x-5) 列表如下： x t'

2

(2,5) + ↗

5 0 极大值32

(5,6) - ↘

6

t 5 25 所以t最小值＝5，t最大值＝32

所以t的取值范围为[5,32]????????????????????5分

n(2) ?g(k)?lnk?2131?ln2424??ln3535????lnn?1n?1n?1n?1

＝ln(?3????)

＝－ln

n(n?1)22

1z令u(z)＝－lnz－

2z2

1?zz1z＝－2lnz＋z－

1z2

，z＞0

则u'(z)＝－?1?2＝(1－)≥0

所以u(z)在(0,＋∞)上是增函数 又因为

n(n?1)2＞1＞0，所以u(n(n?1)2)＞u(1)＝0

即ln

2n(n?1)1??n(n?1)2＞0 n(n?1)2第 36 页 共 36 页

n即?g(k)?k?22?n?n2????????????????????????9分

2n(n?1)(3)设a＝

11?p，则p≥1，1＜f(1)＝

1?a1?a?1?2p≤3

当n＝1时，|f(1)－1|＝当n≥2时

2p≤2＜4

设k≥2,k∈N 时，则f(k)＝

*

(1?p)?1(1?p)?1kk?1?2(1?p)?1k

＝1＋

2Cp?Cp???Cp44k4n?11k2k2kkk

所以1＜f(k)≤1＋

2Ck?Ck12?1?k(k?1)4n?1?1??4k?1

n从而n－1＜?f(k)≤n-1+

k?2n42?＝n+1-＜n＋1

所以n＜?f(k)＜f(1)＋n＋1≤n＋4

k?1n综上所述，总有|?f(k)－n|＜4

k?1

（2010天津文数）（20）（本小题满分12分） 已知函数f（x）=ax?332x?1(x?R)，其中a>0.

2（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间????11?,?上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围. 22?【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.

（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=x?332x?1，f（2）=3；f’(x)=3x?3x, f’(2)=6.所以曲线y=f

22（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.

（Ⅱ）解：f’(x)=3ax?3x?3x(ax?1).令f’(x)=0，解得x=0或x=

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21a.

以下分两种情况讨论： （1） 若0?a?2，则1a?12，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：

?1?0，?2?? ?X

?1?0? ??，?2?0

f’(x) f(x)

+

?

0 极大值

-

?

1?5?a??0,f(?)?0,??11??8??2 当x??，时，f（x）>0等价于? 即??22????f(1)?0,?5?a?0.???2?8 解不等式组得-5

（2） 若a>2，则0?1a?12.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：

?1?0，?a?? ?1aX f’(x) f(x)

?1?0? ??，?2?0 0 极大值

?11??，? ?a2?+

?

-

?

0 极小值

+

?

1?5?a?>0,f(-)>0,??11????82当x???，?时，f（x）>0等价于?即?

11?22??f()>0,?1->0.2???a?2a2222解不等式组得?a?5或a??.因此2

综合（1）和（2），可知a的取值范围为0

（2010天津理数）（21）（本小题满分14分） 已知函数f(x)?xc?x(x?R)

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间和极值；

（Ⅱ）已知函数y?g(x)的图象与函数y?f(x)的图象关于直线x?1对称，证明当x?1时，

f(x)?g(x)

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（Ⅲ）如果x1?x2，且f(x1)?f(x2)，证明x1?x2?2

【解析】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分 （Ⅰ）解：f’(x)?(1?x)e?x 令f’(x)=0,解得x=1

当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X f’(x) f(x)

(??,1) +

?

1 0 极大值

(1,??) -

?

所以f(x)在(??,1)内是增函数，在(1,??)内是减函数。 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=

1e

（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)ex?2

令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)?xe?x?(x?2)ex?2 于是F'(x)?(x?1)(e2x?2?1)e?x 当x>1时，2x-2>0,从而e-1-12x-2?1?0,又e?x ?0,所以F’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。

又F(1)=e?e?0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). Ⅲ)证明：（1）

若(x1?1)(x2?1)?0,由（?）及f(x1)?f(x2),则x1?x2?1.与x1?x2矛盾。 （2）若(x1?1)(x2?1)?0,由（?）及f(x1)?f(x2),得x1?x2.与x1?x2矛盾。

根据（1）（2）得(x1?1)(x2?1)?0,不妨设x1?1,x2?1.

由（Ⅱ）可知，f(x2)>g(x2),则g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)>f(2-x2),从而f(x1)>f(2-x2).因为x2?1，所以2?x2?1，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以x1>2?x2,即x1?x2>2.

（2010福建文数）22．（本小题满分14分）

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已知函数f（x）=

13x?x?ax?b的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2

32(Ⅰ)求实数a,b的值； (Ⅱ)设g（x）=f(x)+

mx?1是[2,??]上的增函数。

（i）求实数m的最大值；

(ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

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