北师大版七年级数学上册chapter-03§3.6《探索规律：算式规律》[

鼎吉教育（Dinj Education）中小学生课外个性化辅导中心资料 北师大七年级数学（上）同步练

习

七年级数学上册§3.6《探索：算式规律》同步讲练

【知识要点】

1、探索规律就是一种观察、归纳、猜想、验证的过程.是一个创新意识的培养过程， 体现了从特殊到一般的数学思想 2、探索规律主要是以下题型：

（1）棋牌规律 （2）图形规律（重点） （3）剪纸规律 （4）算式规律（重点）

【典例精析】

一、算式规律

例1．已知31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，

37＝2187，??。推测320的个位数字是______

例2．观察下列顺序排列的等式：

9×0＋1＝1， 9×1＋2＝11， 9×2＋3＝21， 9×3＋4＝31， 9×4＋5＝41，?? ．

猜想：第n个等式（n为正整数）应为 例3．观察下列各式，你会发现什么规律？

3×5＝42

－1 5×7＝62

－1 7×9=112

－1 ???

请将你发现的规律用只含一个字母的表达式表示出

来： 。

例4．已知：2?2?22?2，33?38?32?3，84?415?42?4，?

315若10?a?102?a（a、b为正整数），则a＋b＝ 。

bb例5．观察下列各式：

13?12

13?23?32

13?23?32?62

13?23?33?43?102??

猜想：13?23?33????n3? ． 例6．观察下列等式：

39?41?402?12， 48?52?502?22，

56?64?602?42， 65?75?702?52，

83?97?902?72?

请你把发现的规律用字母表示出来： ．

地址：佛山市南海区桂城南海大道丽雅苑中区会所2楼（南海体育馆对面） 1 【基础巩固】

1． 观察下列算式：21?2，22?4，23?8，24?16，25?32，

26?64，27?128，通过观察，用你所发现的规律确定227的

个位数字是 （ ）

A. 2 B. 4 C.6 D. 8 2．观察下面的几个算式： 1+2+1=4 1+2+3+2+1=9

1+2+3+4+3+2+1=16 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25

根据上面几道题的规律，计算下面的题 （1）1+2+3+?+9+?+3+2+1= 。 （2）1+2+3+?+100+?+3+2+1= 。 （3）1+2+3+?+n+?+3+2+1= 。

3． 23，33和43分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个

和4个连续奇数的和，63也能按此规律进行

“分裂”，则63“分 裂”出的奇数中最大的是

( )

A、41 B、39 C、31 D、29 13 233 7 3315 9 43 5 17 11

19 4． 组按规律排列的多项式：a?b，a2?b3，a3?b5，a4?b7，?，其中第10个式子是( )

A．a10?b19 B．a10?b19 C．a10?b17 D．a10?b21 5． 观察下列各式：

1×3=12+2×1， 2×4=22+2×2， 3×5=32+2×3，

请你将猜想到的规律用自然数n（n≥1）表示出来： 。 6．观察下列等式：

12?1?1?2;22?2?2?3;32?3?3?3;?? 请你将猜想

到的规律用自然数n(n?1)表示出来 7． 观察数列1,1,2,3,5,8,x,21,y,?,则2x-y=_____________． 8． 观察下列等式：12?02?1 、

22?12?3 、 32?22?5、42?32?7 ?用含自然数n的等式表示这种规律为 9．观察等式：12＋1＝1?2，22＋2＝2?3，32＋3＝3?4，??。

鼎吉教育吉红勇老师编辑

鼎吉教育 遵循：“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念 . 秉承：以人为本，质量第一，突出特色， 服务家长

请你猜想规律，并用代数式表示出来 。 10．观察下列等式：

1?12

1?3?22

C57?7?6?5?4?3?21种不同的选法．

5?4?3?2?1问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法

共有 种

20．观察下列等式: ① 3-1=4×2； ② 4-2=4×3； ③ 5-3=4×4；

④ （ ）-（ ）=（ ）×（ ）； ??

则第4个等式为______．第n个等式为_____．（n是正整数） 21． 我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：1?23?0?22?1?21?1?20?11 ． 按此方式，则将十进制数6换算成二进制数应为 22． 观察下列等式：

第一行 3=4－1 第二行 5=9－4 第三行 7=16－9 第四行 9=25－16 ? ?

按照上述规律，第n行的等式为____________

23． 小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如

下表： 输入 输出 2

2

2

22

22

2

1?3?5?32

?????

根据观察可得：1?3?5???2n?1?_________.（n为正整数）

11．数字解密：第一个数是3=2＋1，第二个数是5=3＋2，第三个

数是9=5＋4，第四个数是17=9＋8，??观察并猜想第六个数是 。 12．观察下列等式

9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 ????

这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n≥1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为 . 13．观察下面一列数：2，5，10，x，26，37，50，65，??，根

据规律，其中x表示的数 是 。 14．观察下列等式：

16－1=15； 25－4=21； 36－9=27； 49－16=33；? ?

用自然数n（其中n≥1）表示上面一系列等式所反映出来的

规律是 。

15．观察等式：11，＋2＝3＝22－1，1＋2＋22＝7＝23－1＋2＋22＋23＝15＝24－1，??按此规律，写出下列算式的结

? ? 1 2 3 4 5 5 26? ? 果：1＋2＋22＋23＋24＋??＋2n?1?2n＝ 16．观察下列等式：42?32?7 ?22?12?3 、32?22?5、12?02?1 、

用含自然数n的等式表示这种规律为 。 17．观察下列等式（算式中的“！”是一种数学运算符号），1！＝1，

2！＝2×1，3！＝3×2×1，4！＝4×3×2×1，…则：100!?

98!18．有数组：（1，1，1）（2，4，8）（3，9，27）??求第100

组的三个数之和为

19． （07四川巴中）先阅读下列材料，然后解答问题： 阅读：从A，B，C三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽

象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记作

2C3?1 22 53 104 17 则输入n,输出结果为 24． 已知：

A32?3?2?6,A53?5?4?3?60,A52?5?4?3?2?120,A63?6?5?4?3?360,

2?,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算A7? （直5 3（填接写出计算结果），并比较A9“?”或“?”A10或“=”）

25． 有规律排列的一列数：-2，4，-6，8，-10，12，…则这列数

的第n项可表示为 26． 请观察下列算式：

1?1?1，1?1?1，1?1?1，1?1?1

2?3233?4344?5451?22（1）则第10个算式为 = ， （

2

）

第

n

个

算

式

3?2?3． 2?1归纳：一般地，从m个元素中选取n个元素组合，记作：

Cnm?m(m?1)?(m?n?1)

n(n?1)??3?2?1为 = （3）请计算

+

+

+?+

例题：例：从7个元素中选5个元素，共有

27．给出下列算式：32－12＝8＝8?1，52－32＝16＝8?2，

◆ 以鲜明的教育理念启发人 ◆ 以浓厚的学习氛围影响人 第2页 以不倦的育人精神感染人 ◆ 以优良的学风学纪严律人◆

鼎吉教育（Dinj Education）中小学生课外个性化辅导中心资料 北师大七年级数学（上）同步练

习

72－52＝24＝8?3，92－72＝32＝8?4，??。 （1）用文字语言表达这个规律。 （2）用公式表示这个规律。 【能力提高】 1．有一列数a1，a2，a3，?，an，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1?2，则a2007为（ ） A．2007 B．2 C．1 D．-1 22． 如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1??的规律报数，那么第2007名学生所报的数是 ． 3． 观察下列不等式，猜想规律并填空： 12+ 22> 2×1×2； 1132+（2）2> 2×3×2 （-2）2+ 32> 2×（-2）×3； （-4）2+ （-3）2> 2×（-4）×（-3）； （-3）2+ （-2）2> 2×（-3）×（-2） 22 + 22 = 2 × 2 × 2 （-2）2 + （-2）2 = 2×（-2）×（-2） 请运用字母表达式反映你发现的规律 4．（2008巴中）大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ），观察下列等式（Ⅱ） 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． (a?b)1 ? a ? b (a?b)2 ? a2 ?2 ab ? b2 Ⅰ Ⅱ (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3 (a?b)4?a4?4a3b?6a2b2?4ab3?b4 根据前面各式规律，则(a?b)5? ． 5． 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，??，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 。 6． 按一定的规律排列的一列数依次为：1,1,1,1,1,1┅┅，2310152635按此规律排列下去，这列数中的第7个数是 . 7． 观察下面几组数： 1，3，5，7，9，11，13，15，…… 地址：佛山市南海区桂城南海大道丽雅苑中区会所2楼（南海体育馆对面） 1 2，5，8，11，14，17，20，23，…… 7，13，19，25，31，37，43，49，…… 这三组数具有共同的特点，根据此特点，现在有上述特点的一组数，第一个数是3，第三个数是11，则其第n个数为

8． 在数学活动中，小明为了求1?1?1?1???1的值（结22223242n果用n表示）．设计如图1所示的几何图形． （1）请你利用这个几何图形求12?111122?23?24???2n的值为 ． （2）请你利用图2，再设计一个能求1?1?1?1???1的22223242n值的几何图形． 9．大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 1?2?3???100??经过研究，这个问题的一般性结论是1?2?3??n?1n(n?1)，其中2n是正整数． 现在我们来研究一个类似的问题：1?2?2?3???n(n?1)?? 观察下面三个特殊的等式 1?2?1?1?2?3?0?1 3?2? 2?3?13?2?3?4?1?2?3?3?4?13?3?4?5?2?3?4? 将这三个等式的两边分别相加，可以得到 1?2?2?3?3?4?13?3?4?5?20.?? 读完这段材料，请你思考后回答： （1）1?2?2?3???100?101? （2）1?2?2?3???n(n?1)? （3）1?2?3?2?3?4???n(n?1)(n?2)? （只需写出结果，不必写中间的过程） 10．老师在黑板上写出三个算式：52?32?8?2，92?72?8?4，152?32?8?27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112?52?8?12，152?72?8?22，…… （1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； （2）用文字写出反映上述算式的规律； （3）证明这个规律的正确性． 鼎吉教育吉红勇老师编辑

鼎吉教育 遵循：“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念 . 秉承：以人为本，质量第一，突出特色， 服务家长

11．有规律排列的一列数：1，，-24，-8，16，-32，64，-128，… （1）它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？ （2）它的第2012个数是多少，第n个呢？

（3）-2048是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？

11，?，任何12．我们把分子为1的分数叫做单位分数．如1，，234 观察上表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出关系式

13． 将1，?11111，，?，，?，?按一定规律排成下表： 62345第一行 1 第二行 ?1 1 23第三行 ?1 1 ?1 456第四行 1 ?1 1 ?1

81079第五行 1 ?1 1 ?1 1

1514131211 从表中可以看到，第4行中自左向右第3个数是1，第5行中

9自左向右第4个数是?1，那么

14（1）?1是第______行中自左向右第________个数

32（2）第12行中自左向右第11个数是_____________ （3）第199行中自左向右第8个数是______________

14． 同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格

中正方形的总数的表达式为12+22+32+?+n2．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0×1+1×2+2×3+?+(n-1)×n=

一个单位分数都可以拆分成两个不同单位分数的和，如

111111111，?

??，??，??23634124520（1）根据对上述式子的观察，你会发现1?1?1．请写出□，○5□○所表示的数；

11（2）进一步思考，单位分数1（n是不小于2的正整数）??，

△☆n，☆所表示的式子，并加以验证． 请写出△

13．观察数表

1n(n+1)(n-1)时，我们可以这样做： 3111-11-21-33-111-46-41-510A5-11-615-2015-61

根据表中数的排列规律，则字母A所表示的数是 11． 观察下列多面体，并把下表补充完整．

名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 (1)观察并猜想：

12+22=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2) 12+22+32=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3 =1+0×1+2+1×2+3+2×3 =(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)

12+22+32+42=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+ =1+0×1+2+1×2+3+2×3+ =(1+2+3+4)+( ) ?? (2)归纳结论：

图形 顶点数a 棱数b 面数c 6 9 5 12+22+32+?+n2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+?+[1+(n-1)]n =1+0×1+2+1×2+3+2×3+?+n+(n-1)×n

=( ) 12 10 12 8 +[ ] 15．根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空．

◆ 以鲜明的教育理念启发人 ◆ 以浓厚的学习氛围影响人 第4页 以不倦的育人精神感染人 ◆ 以优良的学风学纪严律人◆

鼎吉教育（Dinj Education）中小学生课外个性化辅导中心资料 北师大七年级数学（上）同步练

习

16．按一定的规律排列的一列数依次为：-2，5，-10，17，-26，…

按此规律排下去，这列数中的第9个数是

地址：佛山市南海区桂城南海大道丽雅苑中区会所2楼（南海体育馆对面）1 鼎吉教育吉红勇老师编辑

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/46tg.html