P波入射反射、透射系数推导

P波入射Zoeppritz方程的推导

根据弹性力学的假设，介质是均匀各向同性的无限大介质，平面波是一种最简单的波动形式，其以波面为平面的形式在介质中传播，即平面波在垂直于波传播的任一平面上，各点的振动是同相的，实际上并不存在激发平面波的震源，所以它是一个数学抽象了的波动过程。点震源激发的球面波向四面八方传播，当其距震源足够远时，在这个地方研究一个局部的等相位面，可以将其看成一个平面波。在理论上，任何类型的波都可以用平面波的合成形式来表示，所以平面波是波动现象中最基本的形式，也是理论研究和实际应用的基础。

在地震勘探中，讨论在两种不同的介质分界面上的波的传播现象是十分重要的。一般分为两种情况进行讨论，第一种，我们所研究的地球介质按其物性变化是分层的，具有层装结构。因此，讨论两种弹性性质不同的介质分界面上波的传播情况。第二种，地球表面是一个特殊的分界面，它将无限介质划分为两个半空间。地面以上的空气介质，其密度与地面以下的岩石或海平面以下的海水层及岩石层的密度相比可以忽略。因此，地球表面可以看成是一个弹性半空间表面，称为自由面，其上的应力作用为零。根据本文所讨论的地质模型所涉及到的地质灾害，我们只讨论波在第一种介质分界面情况下波的传播，即平面波在弹性分界面上的反射与透射。 1.1波函数

设有一平面谐纵波入射到两种半无限弹性介质的分界面上。在这种情况下，波不仅会折回到入射介质中传播，而且会透射到另一种介质中传播；即同时存在反射波和透射射波。反射波和透射波中都包含纵波和横波两种成份。P波在介质分界面上的反射和透射情况如图所示：

?关于位函数我们首先看：沿任意方向传播的平面波。设N是一个任意取定的单位方向????矢量。N?li?mj?nk （1）

?下面来看沿N方向的平面波，或称三维平面波的波函数形式。三维平面波的波函数f满足

三维波动方程，即：

?2f?2f?2f1?2f??? （2） ?x2?y2?z2V2?t2这里我们通过和一维平面波函数类比，可以得出三维平面波函数的形式。我们知道，在一维平面波的情况下，空间任意一点?x,y,z?上的波函数值只取决于x。于是沿x正方向传播的

平面波的波函数为f(x,t)?f1(x?Vt)。其中的x实际上是从原点至?x,y,z?点所在波面的

??垂直距离，即d?x?0y?0z（一维平面波的传播方向的单位矢量为N?i。在三维平面

波情况下，这一距离应为d?lx?my?nz。因此，将一维平面波函数中的x以lx?my?nz代替应该可以得到三维平面波的波函数）即：

f(x,y,z,t)?f1(lx?my?nz?Vt) （3）

?同一维平面波一样，式中的t为波沿N方向的传播时间。

?f1(lx?my?nz?Vt)代表一个沿N的正方向传播的平面波。同理，f(x,y,z,?t)1?f?(lx?my?代表一个沿nz)VtN的负方向传播的平面波，在一般情况下，

?沿任意方向N传播的平面波的波函数可写成：

f(x,y,z,t)?f1(lx?my?nz?Vt)?f1(lx?my?nz?Vt) （4）

1.2平面简谐波：

平面简谐波是是波函数为简谐形式的平面波，也是数学上最容易处理的一种波。因此，在研究波的传播问题时经常使用简谐波假定。

沿x正方向传播的平面简谐波的波函数可写成：

? f(x,t)或

0fcosk?(xV t ) （5）

f(x,t)?f0sink(x?Vt) （6）

上面两式分别代表的是余弦形式和正弦形式的平面简谐波。我们最常使用的是指数形式的平面简谐波 f(x,t)?f0ejk(x?Vt) （7）

通过取上式的实部或虚部即可得到余弦形式或正弦形式的平面简谐波的波函数。上面各波函数中的f0称为波的振幅，因为波函数值总是在?f0和?f0之间变化。

下面讨论波函数中其他各量的意义及它们之间的关系。为此，首先“固定”时间变量t以考查波剖面的情况。不难验证，

f(x?2?,t)?f(x,t) （8） k2?距离重复一次。因此我们将这个量称为波长，记为?， k2?2? ?? 同时，把 k?

k?这表明，波剖面的值每隔

称为波数。可见波数就是2?距离内所含的波长个数。 再“固定”空间变量x以考查振动图的情况。容易看出， f(x,t?2?)?kVf(x, t ) （9） 2?时间重复一次。因此将这个量称作周期，记为T， kV这说明，振动图的值每隔 T?2??? kVV由此可见，周期即为波传播一个波长距离所用的时间。另外， k?其中??2?2????? VTVV1和??2??分别为频率和圆频率。 T2?利用上面得到的各量之间的关系，可将平面简谐波的波函数写成如下等价形式：

f(x,t)?f0e?f0ej(kx??t)jk(x?Vt)?f0ej?(x?Vt)

?f0exj?(?t)V?f0ej(kx?2??t)?f0exj2?(??t)? （10）

???? 沿任意方向N?li?mj?nk传播的平面简谐波的波函数可写为

f(x,y,z,t)?f0ejk(lx?my?nz?Vt)?f0ej(kxx?kyy?kzz?Vt) （11）

因此二维平面波的波函数可以写成：

f(x,y,z,t)=Aej(kxx?kyy??t) （12）

我们可以写出入射P波、反射波P波、反射SV波、透射P波和透射SV波的位函数：

P(A1)SV(A3)P(A2)αβ介质1（λ1μ1ρ1 Pv1 Ps1）介质2（λ2μ2ρ2 Pv2 Ps2）αXββ'α’P(A4)SV(A5)Z?(1)?A1ej(k(1)(1)xx?kzz?wt) （13） （14） (15) (16) (17)

(3)?(2)?A2e(2)(2)j(kxx?kzz?wt)?(3)?A3ej(k?(4)?A4ej(k(3)(3)xx?kzz?wt)(4)(4)xx?kzz?wt)?(5)?A5ej(k(5)(5)xx?kzz?wt)/vsi?n，kx?w/vs1sin?， 上式中 kx?kx?w1p(4)(5)kxx?w/vp2sin?'，kx?w/vs2sin?' （18）

(1)(2)且有 kx?kx(1)(2)(3)(4)(5)?kx?kx?kx （19）

由此可得反射和透射定律（斯奈尔定律）如下：

vp1/sin??vs1/sin??vp2/sin?'?vs2/sin?' （20）

另外，由图可见：kz?w/vp1cos?，kz(1)(2)??w/vp1cos?，kz(3)??w/vs1cos?，

kz(4)?w/vp2cos?'，kz(5)?w/vs2cos?'

j(k(1)(2)在介质I中，总的位函数为?1?????A1e(1)(1)xx?kzz?wt)?A2ej(kx(2)(2)x?kzz?wt) （21）

?1??(3)?A3ej(k在介质?中，总的位函数为?2??(4)(3)(3)xx?kzz?wt) （22） （23） （24）

?A4ej(kx?A5e(4)(4)x?kzz?wt)?2??1.3边界条件

(5)(5)(5)j(kxx?kzz?wt)我们知道，介质分界面处的边界条件为位移连续和应力连续。因此，可写出本问题的边界条

?u1?u2?w?w?12件如下：在Z=0处 ? （25）

?(?zz)1?(?zz)2??(?zx)1?(?zx)2（1）位移连续：

地震波在传播过程中质点振动的位移u可以分解为其标量位的梯度与与其矢量位的旋度之和的形式，有：

??? u?grad??rot? （26）

????同时 u?ui?vj??k （27） ???设 ???xi??yj??zk （28）

?将式（26）按梯度和旋度公式展开，得到u的3个分量为：

??????z??y???u??x?y?z??????x??z? （29） v?????y?z?x??????y??x???w??z?x?y??研究空间传播的平面波时，一般情况下选择直角坐标系，可使得波前面与一个坐标轴（如

y轴）平行，此时方向余弦cos??0。这样，波前面在y轴方向上无限延伸，波函数与坐

标y无关，于是有

??0 ?y此时，式（29）中对y的导数项变为0，则式（29）变为：

?????yu????x?z???x??z?? （30） ?v??z?x??????yw????z?x?这说明位移分量可以分为两部分其中一部分时位于x?z平面内的位移分量u和w，它们只与?和?y有关，含有P波和SV波成份；另一部分是垂直于x?z平面的位移分量v，它只与?x和?z有关。且只含有SH波成份。这一结果表明，可将P波和SV波作为一组与

SH波分开来处理。我们在讨论P波和SV波时使用位函数?和?z然后由（30）式过渡到

位移。为简单起见，记?y??。

?????u?????x?z （31） ??w????????z?x?

?和?满足下面的波动方程：

?21????Vp2? ???2??1?Vs2??2??t2???t22 （32）

（2）应力连续 首先由虎克定律有：

?zz????2?ezz （33） ?zx??ezx （34）

虎克定律阐述了应力和应变的关系。再看应变的定义式：

?w （35） ?z?w?u （36） ezx?exz???x?zezz?应变的定义式阐述了应变和位移的关系。再由位移和位移位的关系式：

?????u????x?z???x??z?? ?v? （37） ?z?x??????w????z?x?体应变的关系式：

???u?v?w ???exx?eyy?ezz （38）

?x?y?z2????v2 p?2vs? （39）

???vs2 （40）

由以上各式可得到：

?z? ?zz????2ez??u?v?w????v?2v??????x?y?z22p?s???2?v2?s??w?? z?将（37）式代入上式得到：

2??2??2??2?x?2?z?2??2???2??2????zz???v?2v??2????2???2?vs?2??

?x?z?y?z?x?y?z?x?z??z?x???z??x2p2s?2?x?2?z?2???3??2???3?式中：， ?()??()??y?z?y?z?x?x?y?z?x?y?x?y?z?x?y?z2??2??2???2??2???故?zz???v?2v??2?2??2?vs?2?? ?x?z?z?z?x????2p2s?2??2??2?????2?2?2 而 ?0

?x?y?z?y2?2??2?故??? ??x2?z22所以

??2??2???zz???v?2v????2?vs?2??

?z?x???z2p2s221?2?而???2（波函数满足波动方程）

Vp?t22222v2?2??p?2vs??2????2?vs?2?故?zz?? ? （41）22vp?t?z?x???z2?2??2??2??w?u2?????) ?zx?uezx?u(?)??vs(?x?z?x2?x?z?z2?x?z?2??2??2??2?2) （42）=?v(2 ?x?z?x?z2s1.4反射系数和透射系数

以下的工作是使波函数满足上面的边界条件，为此将（21）~（24）式代入（25）式，并整理。首先代（25）式的第一式有：

A1ej(kx(1)(1)x?kzz??t)(1)kx?A2ej(kx(2)(2)x?kzz??t)(2)kx?A3ej(kx(3)(3)x?kzz??t)kz(3)

?A4ej(kx(1)(4)(4)x?kzz??t)(4)kx?A5ej(kx(5)(5)x?kzz??t)kz(5)

由于kx?kx(1)(2)(3)(4)(5)?kx?kx?kx故上式变为：

(2)(3)(4)(5)(1)(2)(4)A1ejkzzkx?A2ejkzzkx?A3ejkzzkz(3)?A4ejkzzkx?A5ejkzzkz(5)

将

(1)(2)kx?kx??/vp1sin?，

(4)kx??/vp2sin?'，

kz(3)???/vs1cos?，

kz(5)??/vs2cos?'，并且 z=0 代入上式：

j?Ae1jwcos?.zvp1?vp1sin??A2ejwcos?.zvp1?vp1sin??A3e?jwcos?.zvs1?vs1cos?

?vp2cos?'.z?A4e??vp2sin?'?A5ej?vs2cos?'.z?vs2cos?'

sin?111(A1?A2)?cos?A3?sin?'A4?cos?'A5 （43） vp1vs1vp2vs2代入（25）式的二式有：

A1e(1)(1)j(kxx?kzz??t)k(1)z?A2e(2)(2)j(kxx?kzz??t)k(2)z?A3e(3)(3)j(kxx?kzz??t)(3)kx

?A4e(1)(4)(4)j(kxx?kzz??t)k(4)z?A5e(5)(5)j(kxx?kzz??t)(5)kx

由于kx?kx(2)(3)(4)(5)?kx?kx?kx故上式变为：

(2)jkzzA1e(1)jkzzk(1)z?A2ek(2)z?A3e(3)jkzzk(3)x?A4e(4)jkzzk(4)z?A5e(5)jkzz(5)kx

(3)(5)kx??/vs1sin?，kx??/vs2sin?'，kz(1)??/vp1cos?，kz(2)???/vp1cos?，

kz(3)???/vs1cos?，kz(4)??/vp2cos?'，kz(5)??/vs2cos?'，且 z=0 故：

A1?vp1cos??A2(??vp1cos?)?A3?vs1sin??A4?vp2cos?'?A5?vs2sin?'

?A111111cos??A2cos??A3sin??A4cos?'?A5sin?' vp1vp2vs1vp2vs2?cos?sin?11(A1?A2)?A3?cos?'A4?sin?'A5 (44) vp1vs1vp2vs2应力连续故代入(25)式第三式有：

22?vp12?2vs12?2?1?vp22?2vs22?2?2?2?1??2?2?2??12??2?1??2vs1(2?)???2??2vs2(2?)? 222222?t?z?x?z??t?z?x?z??vp1?z?0?vp2?z?0???1[vp12?2vs12vp12(1)(A1ej(kx(1)(1)x?kzz??t)?2?A2ej(k(2)(2)(2)xx?kzz??t)?2)?

(3)(3)x?kzz??t)2vs12(A1ej(kx=?2[(1)x?kzz??t)j(kxk2(1)?Aez2(4)(4)x?kzz??t)(2)x?kzz??t)j(kxk2(2)?Aez3(3)(3)kxkz)]

vp22?2vs22vp22(A4ej(kx?2)?2vs22(A4ej(k(4)(4)xx?kzz??t)k2(z4)+

A5ej(kx(5)(5)x?kzz??t)(5)(5)kxkz)]

因为kx?kx(1)(2)(3)(4)(5)?kx?kx?kx

(3)(5)kx??/vs1sin?，kx??/vs2sin?'，kz(1)??/vp1cos?，kz(2)???/vp1cos?，

kz(3)???/vs1cos?，kz(4)??/vp2cos?'，kz(5)???/vs2cos?'，且 z=0 ，故上式变为：

?1[vp12?2vs12v2p1(A1??A2?)?2v(A1222s1?2v2p1cos??A22?2v2p1cos??A32?2vs22sin?cos?)]=?2[vp22?2vs22vp22(A4?)?2vs2(A422?2vp22cos??A52'?2vs22sin?'cos?')]

2v2p1?2vs1v2p1?(A1?A2)?22(A1?A2)cos??sin?A3??2vp?1221vs212?v2? vs22p2?2vs2''A4?22A4cos??sin2?A5??2vvp2??p2???22v2p1?2vs1sin?v2p1222'?2vp?2vssin??2(A1?A2)?sin2?A3??A?sin2?'A5 (45) 42?1vp?1222代入(25)式的四式：

?2?1?2?1?2?1?2?2?2?2?2?22?v(2??2)??2vs1(2??2)

?x?z?x2?z?x?z?x2?z21s1?1vs21(2A1ej(k(1)(1)xx?kzz??t)(1)(1)kxkz?2A2ej(kx(2)(2)x?kzz??t)(2)(2)kxkz?

A3e(3)(3)j(kxx?kzz??t)k2(3)x?A3ekk(3)(3)j(kxx?kzz??t)k2(3)z)=

k2(5)x?v(2A4e(1)22s1(4)(4)j(kxx?kzz??t)(4)(4)xz?A5e(5)(5)j(kxx?kzz??t)?A5e(5)(5)j(kxx?kzz??t)k2(5)z)由于kx?kx(2)(1)(2)(3)(3)4kx?kx??/vp1sin?，kx??/vs1sin?，?kx?kx?(k，x(4)(5)kxx??/vp2sin?'，kx??/vs2sin?'，kz(1)??/vp1cos?，kz(2)???/vp1cos?，

kz(3)???/vs1cos?，kz(4)??/vp2cos?'，kz(5)???/vs2cos?'，且 z=0 ，故上式变为：

?v(2A122s121s1?2v2p1sin?cos??2A2?2v2p1sin?cos??A3?2v2s1sin??A32?2v2s1cos2?)

??v(2A4?vp2sin?cos??A52''?2vs2sin??A522'?2vs22'cos?) 2??1vs21[(A1?A2)1vp21vp1sin2??A321vs2112sin??Acos2?)] 322vs1vs11vs22'cos?) 2??2vs21(2A4'sin2??A522'sin??A52??22?2?2?22?22?2?22'?22''v(A12sin2??A22sin2??A32sin??A32cos?)?vs2(A42sin2??A52sin??A52cos?)vp1vp1vs1vs1?1vp2vs2vs22s1

2?2vs?2'?2sin2?(A1?A2)?cos2?A3??sin2?A?cos2?'A5 （46） 42vp?1vp?1212vs21

联立（43）（44）（45）（46）有

111?1''sin?(A?A)?cos?A?sin?A?cos?A51234?vvs1vp2vs2?p1?1111'cos?(A?A)?sin?A?cos?A?sin?'A5?1234vvs1vp2vs2??p1（47） 222'?v2?2v2sin2?v?2vsin??2p2?2s1s2'??p1(A?A)?sin2?A??A?sin2?A512342?v2?v?p11p21?22?vs1?2vs2?2'?sin2?(A?A)?cos2?A??sin2?A?cos2?'A5?212342?1vp2?1??vp1由斯奈尔定律可得：vp1?2vs1sin??vp1?2vp1sin??vp1cos2?

22'222'2'v2p2?2vs2sin??vp2?2vp2sin??vp2cos2? 2222222代入（47）式中的第三式，并将其方程组的各项同除A1，得

vp1?A3vp1AA2vp1'A4sin??cos??sin??cos?'5??sin??A1vs1A1vp2A1vs2A1??AvAAvAv?cos?2?p1sin?3?p1cos?'4?p1sin?'5?cos?A1vs1A1vp2A1vs2A1? （48）

??cos2?A2?sin2?A3??2cos2?'A4??2sin2?'A5??cos2??A1A1?1A1?1A1?22vs21?vs1A3?2vs2A2?2'A4'A5?cos2??sin2??cos2??2sin2??2sin2?2vAA?vA?Avp1111p2111?p1此方程组称为（Knott）方程，它反映了各波的位函数振幅之间的关系。其中的

AA2、3、A1A1AA4和5分别为P波的反射系数，SV波的反射系数，P波的透射系数，SV波的透射系数。 A1A1上述的反射系数和透射系数是对位函数而言的，位移的反射系数和透射系数满足

?A2??A1?A?3??A1??A4?A?1?A5???A1????so2so1?RPP???vs1vp1vp2vp1vs2vp1RPS （49）

so3vs1so1vp1so4vp2so1vp1so5vs2so1vp1TPPTPS其中so1、so2、so3、so4和so5分别为入射P波、反射P波、反射SV波、透射P波和透射SV波的位移振幅，RPP、RPS、TPP和TPS分别为宜位移振幅表示的P波反射系数、SV波反射系数、P波透射系数和SV波透射系数。将（20）代入（19）式，可得

?sin?Rpp?cos?Rps?sin?'Tpp?cos?'Tps??sin??''?cos?Rpp?sin?Rps?cos?Tpp?sin?Tps?cos??vs1?2vp2?2vs2?' cos2?Tpp?sin2?'Tps??cos2? （50）?cos2?Rpp?sin2?Rps?v?v?vp11p11p1??2v?2vp1vs2vv?sp1p1'2?sin2?R?cos2?R?2sin2?Tpp?cos2?'Tps?sin2?ppps22?vs1?1vp2vs1?1vs1?这一方程组称为佐普里兹（Zoeppritz）方程。 将佐普里兹方程写成矩阵形式：

?sin???cos???cos2?????sin2??

cos??sin??vs1vp1sin2?cos2?vp1vs1?Rpp???sin????sin?cos??????''???cos?sin?????Rps?cos??????vp?vs??22cos2?'?22sin2?'???=??（51） ?1vp1?1vp1??????Tpp???cos2??2???2vp1vs2?2vp1vs2''???sin2??cos2????22???1vp2vs1?1vs1??Tps??sin2??????''

此方程组称为（Knott）方程，它反映了各波的位函数振幅之间的关系。其中的

AA2、3、A1A1AA4和5分别为P波的反射系数，SV波的反射系数，P波的透射系数，SV波的透射系数。 A1A1上述的反射系数和透射系数是对位函数而言的，位移的反射系数和透射系数满足

?A2??A1?A?3??A1??A4?A?1?A5???A1????so2so1?RPP???vs1vp1vp2vp1vs2vp1RPS （49）

so3vs1so1vp1so4vp2so1vp1so5vs2so1vp1TPPTPS其中so1、so2、so3、so4和so5分别为入射P波、反射P波、反射SV波、透射P波和透射SV波的位移振幅，RPP、RPS、TPP和TPS分别为宜位移振幅表示的P波反射系数、SV波反射系数、P波透射系数和SV波透射系数。将（20）代入（19）式，可得

?sin?Rpp?cos?Rps?sin?'Tpp?cos?'Tps??sin??''?cos?Rpp?sin?Rps?cos?Tpp?sin?Tps?cos??vs1?2vp2?2vs2?' cos2?Tpp?sin2?'Tps??cos2? （50）?cos2?Rpp?sin2?Rps?v?v?vp11p11p1??2v?2vp1vs2vv?sp1p1'2?sin2?R?cos2?R?2sin2?Tpp?cos2?'Tps?sin2?ppps22?vs1?1vp2vs1?1vs1?这一方程组称为佐普里兹（Zoeppritz）方程。 将佐普里兹方程写成矩阵形式：

?sin???cos???cos2?????sin2??

cos??sin??vs1vp1sin2?cos2?vp1vs1?Rpp???sin????sin?cos??????''???cos?sin?????Rps?cos??????vp?vs??22cos2?'?22sin2?'???=??（51） ?1vp1?1vp1??????Tpp???cos2??2???2vp1vs2?2vp1vs2''???sin2??cos2????22???1vp2vs1?1vs1??Tps??sin2??????''

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