正弦定理和余弦定理（含答案）（一轮复习随堂练习）

正弦定理和余弦定理基础巩固强化

1.(2011·重庆理)若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )

4

A.3 C．1 [答案] A

[解析] 在△ABC中，C＝60°， ∴a2＋b2－c2＝2abcosC＝ab，

∴(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab＝3ab＝4， 4

∴ab＝3，选A.

2．(文)在△ABC中，已知A＝60°，b＝43，为使此三角形只有一解，a满足的条件是( )

A．0

[解析] ∵b·sinA＝43·sin60°＝6，

∴要使△ABC只有一解，应满足a＝6或a≥43. 如图

B．a＝6

D．0

D.3

顶点B可以是B1、B2或B3.

(理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a＝2，b＝22，且三角形有两解，则角A的取值范围是( )

π????0，A.4? ?

?π3π?C.?4，4? ?

?

?ππ?B.?4，2? ???ππ?D.?4，3? ?

?

[答案] A

2

[解析] 由条件知bsinA

∵a3．(2011·深圳二调)在△ABC中，已知a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于( )

A．30° C．60° [答案] D

ab4433[解析] 由正弦定理得sinA＝sinB，所以sin30°＝sinB，sinB＝2.又0°

4．(文)(2011·浙江文)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝( )

B．30°或150° D．60°或120°

1A．－2 C. －1 [答案] D

1B.2 D. 1

[解析] 由acosA＝bsinB可得，sinAcosA＝sin2B ＝1－cos2B，

所以sinAcosA＋cos2B＝1.

(理)(2011·辽宁理)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b

b、c，asinAsinB＋bcosA＝2a，则a＝( )

2

A．23 C.3 [答案] D

B．22 D.2

[解析] ∵asinAsinB＋bcos2A＝2a， ∴sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA， b

∴sinB＝2sinA，∴b＝2a，∴a＝2.

5．(文)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.若∠C＝120°，c＝2a，则( )

A．a＞b C．a＝b [答案] A

[解析] ∵∠C＝120°，c＝2a，c2＝a2＋b2－2abcosC ∴a2－b2＝ab，

又∵a>0，b>0，∴a－b＝

ab

>0，所以a>b. a＋b

B．a＜b

D．a与b的大小关系不能确定

(理)在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果

a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为( )

A．1＋3 3＋3

C.3 [答案] C

11

[解析] 2acsinB＝2，∴ac＝2， 又2b＝a＋c，∴a2＋c2＝4b2－4，

3＋3

由余弦定理b＝a＋c－2accosB得，b＝3.

2

2

2

B．3＋3 D．2＋3

6．(文)(2011·福建六校联考)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝42，B＝45°，面积S＝2，则b等于( )

A．5 C.41 [答案] A

1

[解析] 由于S＝2acsinB＝2，c＝42，B＝45°， 可解得a＝1， 根据余弦定理得，

2

b＝a＋c－2accosB＝1＋32－2×1×42×2＝25，

2

2

2

113B.2 D．25

所以b＝5，故选A.

(理)在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则cosA＝( ) 8A.17 13C.15 [答案] B

15B.17 13D.17

1

[解析] S＝a－(b－c)＝a－b－c＋2bc＝2bc－2bccosA＝2

2

2

2

2

2

15

bcsinA，∴sinA＝4(1－cosA)，16(1－cosA)＋cosA＝1，∴cosA＝17.

2

2

7．(2011·福建文)若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．

[答案] 2

113[解析] 由S＝2BC·ACsinC知3＝2×2×ACsin60°＝2AC，∴AC＝2，

∴AB2＝22＋22－2×2×2cos60°＝4，∴AB＝2.

8．(文)(2011·河南质量调研)在△ABC中，角A、B、C所对应的A25→→边分别为a、b、c，且满足cos2＝5，AB·AC＝3，则△ABC的面积为________．

[答案] 2

342[解析] 依题意得cosA＝2cos2－1＝5，∴sinA＝1－cosA＝5，→→1∵AB·AC＝AB·AC·cosA＝3，∴AB·AC＝5，∴△ABC的面积S＝2AB·AC·sinA＝2.

(理)(2010·上海模拟)在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点sinA＋sinCx2y2

A(－1,0)，C(1,0)，顶点B在椭圆4＋3＝1上，则sinB的值为________．

[答案] 2

[解析] 由题意知△ABC中，AC＝2，BA＋BC＝4，

2A

sinA＋sinCBC＋BA

由正弦定理得sinB＝AC＝2.

9．(文)(2011·济南外国语学校质检)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则∠A的大小为________．

π[答案] 6 π

[解析] ∵sinB＋cosB＝2sin(B＋4)＝2， π

∴sin(B＋4)＝1， π

∵0

22×2

baasinB1∵sinB＝sinA，∴sinA＝b＝2＝2， π

∵a

[答案]

3

[解析] 边c最长时(c≥2)， a2＋b2－c21＋4－c2

cosC＝2ab＝>0，

2×1×2∴c2<5.∴2≤c<5.

a2＋c2－b21＋c2－4

边b最长时(c<2)，cosB＝2ac＝2c>0， ∴c2>3.∴3

10．(文)(2011·沈阳模拟)△ABC中，a、b、c分别是角A、B、CπB

的对边，向量m＝(2sinB,2－cos2B)，n＝(2sin(4＋2)，－1)，且m⊥

2

n.

(1)求角B的大小；

(2)若a＝3，b＝1，求c的值． [解析] (1)∵m⊥n，∴m·n＝0， πB∴4sinB·sin(4＋2)＋cos2B－2＝0，

2

π

2sinB[1－cos(2＋B)]＋cos2B－2＝0， ∴2sinB＋2sin2B＋1－2sin2B－2＝0， 1

∴sinB＝2. π5

∵0

(2)∵a＝3>b，∴此时B＝6， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB， ∴c2－3c＋2＝0，∴c＝2或c＝1.

(理)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－3)，n＝(cos2B,2cos2－1)且m∥n.

(1)求锐角B的大小；

(2)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．

[分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．

[解析] (1)∵m∥n，

2B

??2B?∴2sinB2cos2－1?＝－3cos2B， ??

∴sin2B＝－3cos2B，即tan2B＝－3， 又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)， 2ππ

∴2B＝3，∴B＝3. π

(2)∵B＝3，b＝2，

a2＋c2－b2

∴由余弦定理cosB＝2ac得， a2＋c2－ac－4＝0，

又∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)， 13

S△ABC＝2acsinB＝4ac≤3(当且仅当a＝c＝2时等号成立)． [点评] 本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新颖精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处命题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解.

能力拓展提升

11.(文)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是( )

A．等腰直角三角形 C．等腰三角形 [答案] C

[解析] 因为a＝2bcosC，所以由余弦定理得：

B．直角三角形 D．等腰或直角三角形

a2＋b2－c2

a＝2b×2ab，整理得b2＝c2，∴b＝c， ∴则此三角形一定是等腰三角形．

[点评] 也可以先由正弦定理，将a＝2bcosC化为sinA＝2sinBcosC，利用sinA＝sin(B＋C)代入展开求解．

(理)(2011·郑州六校质量检测)△ABC中，角A、B、C所对的边分c

别为a、b、c，若b

A．钝角三角形 C．锐角三角形 [答案] A

sinC

[解析] 依题意得sinB0，于是有cosB<0，B为钝角，△ABC是钝角三角形，选A.

12．(文)(2011·深圳二调)已知△ABC中，∠A＝30°，AB，BC分别是3＋2，3－2的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于( )

3A.2 3

C.2或3 [答案] D

[解析] 依题意得AB＝3，BC＝1，易判断△ABC有两解，由ABBC313

正弦定理得sinC＝sinA，sinC＝sin30°，即sinC＝2.又0°

3

B.4 33D.2或4 B．直角三角形 D．等边三角形

31

AB·BC＝2；当C＝120°时，B＝30°，△ABC的面积为2AB·BC·sinB13＝2×3×1×sin30°＝4.综上所述，选D.

(理)(2011·泉州质检)△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角B等于( )

A．30° C．90° [答案] B

[解析] 依题意得acosC＋ccosA＝2bcosB，根据正弦定理得，sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，则sin(A＋C)＝2sinBcosB，即sinB1＝2sinBcosB，又0°

13．(文)(2011·四川文)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是( )

π

A．(0，6] π

C．(0，3] [答案] C

[解析] 根据正弦定理，

由sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC得a2≤b2＋c2－bc， b2＋c2－a2bc1

根据余弦定理cosA＝2bc≥2bc＝2， π

又0

(理)(2011·豫南四校调研考试)若AB＝2，AC＝2BC，则S△ABC的最大值为( )

π

B．[6，π) π

D．[3，π) B．60° D．120°

121

由条件知，sinA＝，cosA＝，sinB＝，

5510∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB ＝

13212

×＋×＝2， 510510

bcb15由正弦定理，sinB＝sinC知，1＝，∴b＝5.

21022.

(2011·天津理)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sinC的值为( )

3A.3 6C.3 [答案] D

[解析] 如图，根据条件，设BD＝2，则AB＝3＝AD，BC＝4.34

在△ABC中，由正弦定理得，sinC＝sinA，

3B.6 6D.6

在△ABD中，由余弦定理得， 3＋3－4122

cosA＝＝3，∴sinA＝3，

2×3×3223×3

3sinA6

∴sinC＝4＝＝46，故选D.

3．(2011·广州一测)△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别π

为a、b、c，已知c＝3，C＝3，a＝2b，则b的值为________．

[答案]

3

[解析] 依题意及余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即9＝(2b)2

π

＋b－2×2b×bcos3，解得b2＝3，∴b＝3.

2

4．(2011·安阳月考)在△ABC中，C＝60°，a、b、c分别为A、B、abC的对边，则＋＝________.

b＋cc＋a

[答案] 1

[解析] ∵C＝60°，∴a2＋b2－c2＝ab， ∴(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝(b＋c)(a＋c)， ∴

ab

＋＝1. b＋ca＋c

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