数学建模作业

Page170 第5题

问题：某分子由25个原子组成，并且已经通过实验测量得到了其中某些原子对之间的距离（假设在平面结构上讨论），如表7.8所示。请你确定每个原子的位置关系。

表7.8 原子对 （4，1） （12,1） (13,1) (17,1) (21,1) (5,2) (16,2) (17,2) (25,2) (5,3) (20,3) (21,3) (24,3)

距离 0.9607 0.4399 0.8143 1.3765 1.2722 0.5294 0.6144 0.3766 0.6893 0.9488 0.8000 1.1090 1.1432 原子对 (5,4) (12,4) (24,4) (8,6) (13,6) (19,6) (25,6) (8,7) (14,7) (16,7) (20,7) (21,7) (14,8) 距离 0.4758 1.3402 0.7006 0.4945 1.0559 0.6810 0.3587 0.3351 0.2878 1.1346 0.3870 0.7511 0.4439 原子对 (18,8) (13,9) (15,9) (22,9) (11,10) (13,10) (19,10) (20,10) (22,10) (18,11) (25,11) (15,12) (17,12) 距离 0.8363 0.3208 0.1574 1.2736 0.5781 0.9254 0.6401 0.2467 0.4727 1.3840 0.4366 1.0307 1.3904 原子对 (15,13) (19,13) (15,14) (16,14) (20,16) (23,16) (18,17) (19,17) (20,19) (23,19) (24,19) (23,21) (23,22) 距离 0.5725 0.7660 0.4394 1.0952 1.0422 1.8255 1.4325 1.0851 0.4995 1.2277 1.1271 0.7060 0.8025 模型：假设原子1的坐标记为(0,0)，记原子i的坐标记为(xi,yi)，i?1,2,3...,25，通过实验已经测量得到了其中某些原子对之间的距离，如上表7.8所示。则问题就是在以上已测得的数据下计算(xi,yi)，i?1,2,3...,25。

若原子i和j的坐标为(xi,yi)和(xj,yj)，则i，j的距离为：

di,j?(xi?xj)2?(yi?yj)2；于是由上面表格可以得到52个等式：

?d?(x?x)2?(y?y)24141?4,1?d?(x?x)2?(y?y)2121131?12,1?? （1） ?22?di,j?(xi?xj)?(yi?yj)???22??d23,22?(x23?x22)?(y23?y22)上面的方程组(1)是超定方程组，在最小二乘法准则下，应该使上面52个等式的差值的平方和最小，记求?k?1(di,j?(xi?xj)2?(yi?yj)2)2的最小值。 由以上分析可知，这是一个非线性的最小二乘法拟合问题，该问题可以用mathematica编程加以解决。

52清除之前变量

Clear[Evaluate[Context[]<>\一.初始数据及处理 采集表中的数据及处理

data={4,1,0.9607,12,1,0.4399,13,1,0.8143,17,1,1.3765,21,1,1.2722,5,2,0.5294,16,2,0.6144,17,2,0.3766,25,2,0.6893,5,3,0.9488,20,3,0.8000,21,3,1.109,24,3,1.1432,5,4,0.4758,12,4,1.3402,24,4,0.7006,8,6,0.4945,13,6,1.0559,19,6,0.681,25,6,0.3587,8,7,0.3351,14,7,0.2878,16,7,1.1346,20,7,0.387,21,7,0.7511,14,8,0.4439,18,8,0.8363,13,9,0.3208,15,9,0.1574,22,9,1.2736,11,10,0.5781,13,10,0.9254,19,10,0.6401,20,10,0.2467,22,10,0.4727,18,11,1.384,25,11,0.4366,15,12,1.0307,17,12,1.3904,15,13,0.5725,19,13,0.766,15,14,0.4394,16,14,1.0952,20,16,1.0422,23,16,1.8255,18,17,1.4325,19,17,1.0851,20,19,0.4995,23,19,1.2277,24,19,1.1271,23,21,0.706,23,22,0.8052};

p=Partition[data,3]; p1=p[[All,1]]; p2=p[[All,2]]; d=p[[All,3]]; {x1,y1}={0,0};

生成各个原子的坐标表示

X1=Table[xp1[[i]],{i,Length[p1]}]; Y1=Table[yp1[[i]],{i,Length[p1]}]; X2=Table[xp2[[i]],{i,Length[p2]}]; Y2=Table[yp2[[i]],{i,Length[p2]}];

二.产生目标函数

s?((X1?X2)2?(Y1?Y2)2?d)2

goal=s/.List?Plus

三、编写求解模型及将结果用图形表出

z=NMinimize[goal,Flatten[Table[{xi,yi},{i,2,25}]]]; yz=Table[{xi,yi},{i,1,25}]/.z[[2]]

Epilog->{Table[Text[i,{yz[[i,1]],yz[[i,2]]-0.09}],{i,1,Length[yz]}]},PlotRange->{{-0.5,1.3},{-0.6,1.5}}]

运行结果为：

?0 0 ???1.047870.564968???-0.3210780.687955???0.8634590.536788???0.6105160.911265???0.8722460.306728???0.1304970.544704???0.5059??0.439238?-0.316274?0.56503???0.7498110.586793???1.223290.241545???0.0834739-0.481291???-0.1000710.842719???0.05060250.273906???-0.3964930.403149???1.107 -0.083771????1.301690.262983???-0.0893759-0.142184???0.2298580.200224??? 0.4780350.67797???0.7172961.04157???0.8481181.05699???0.1276171.43438???1.22057??0.694697??-0.074446??0.9032371.5o23o24oo22o215o7o14o19oo118o120.0o20o8o10o4o6o25o2oo1711o161.0o3o9o130.5o150.00.50.50.51.0 四．结论

各个原子的坐标如上面的矩阵所示(其中假定第一个原子的位置为原点)，各个原子的相对位置图如上图所示，数字表示第几个原子。

Page171 第8题

问题：给药方案设计需要依据药物吸收与排除过程的原理。药物进入机体后随

血液输送到全身，不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外。药物在血液中的浓度，即单位体积血液中的药物含量，称血药浓度。在最简单的一室模型中，将整个机体看作一个房室，称中心室，室内的血药浓度时均匀的。这是我们用一室模型，讨论在口服给药方式下药浓度的变化规律，及根据实验数据拟合参数的方法。

口服给药方式相当于先有一个将药物从肠胃吸收入血液的过程，这个过程可简化为在 药物进入中心室之前有一个吸收室，记中心室和吸收室的容积V、V1，而t时刻的血药浓度分别为c（t）、c1（t）；中心室的排除速率为k，吸收速率为k1（这里k和k1分别为中心室和吸收室血药浓度变化率与浓度本身的比例系数）。设t=0时刻口服剂量为d，容易写出吸收室的血药浓度c1（t）的微分方程为：

?dc1=-k1c1??dt ?d?c1(0)=V1??中心室血药浓度c（t）的变化率由两部分组成：与c成正比的排除（比例系

数k），与c1成正比的吸收（比例系数k1）。

再考虑到中心室和吸收室的容积分别为V、V1，得到c（t）的微分方程为：

V?dc?=-kc+1k1c1, V?dt??c(0)=0.由以上两个微分方程不难解出中心室血药浓度：c(t)=dk1-kt-k1t(e-e) Vk1-k在制定给药方案是必须要知道这种药物的3个参数k1，k，b（=d/V），实际中通常通过实验数据确定。设t=0时刻口服一定剂量的的药物，实验数据如下： t 0.083 0.167 0.25 0.50 0.75 1.0 1.5 c(t) 10.9 21.1 273 36.4 35.5 38.4 34.8 t 2.25 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 c(t) 24.2 23.6 15.7 8.2 8.3 2.2 1.8 问题分析：由以上题目可以得到，该问题即是已知一组数据点，和函数的大致表达形式，要求函数表达式中的参数。在mathematica中有特定的函数，如FindFit命令解决这类问题，但该函数命令尤其自身的不足，我们可以用最小二乘法加以解决。

模型：由于c(t)~t的函数表达式的形式为：c(t)=dk1-kt-k1t(e-e)，我们可以将上Vk1-k面表格中的数据点带入公式中，这样可以的到12个方程，而我们仅仅需要求3

个参数，故该方程组是一个超定方程组，在最小二乘法准则下，应该使上面12个等式的差值的平方和最小，记求?i?1(c(ti)-b12k1-kti-k1ti2下面我(e-e))的最小值。

k1-k们编写程序将其解决。

清除之前变量

Clear[Evaluate[Context[]<>\一.初始数据及处理 采集表中的数据及处理

date={0.083,10.9,0.167,21.1,0.25,27.3,0.50,36.4,0.75,35.5,1.0,38.4,1.5,34.8,2.25,24.2,3.0,23.6,4.0,15.7,6.0,8.2,8.0,8.3,10.0,2.2,12.0,1.8}; p=Partition[date,2];

二.产生目标函数 f[t_]:=bk1-kt-k1t(e-e); k1-kgoal=Sum[(p[[i,2]]-f[p[[i,1]]])2,{i,1,Length[p]}];

三．编写求解模型及结果处理 s=NMinimize[s,{b,k1,k}] y=f[t]/.s[[2]];

t1=Plot[y,{t,0,12}]; t2=ListPlot[p]; Show[t1,t2] 运行结果为：

{34.2317,{b?46.8275,k1?3.62123,k?0.280252}}

353025201510524681012 结论分析：

通过运用最小二乘法，编写程序将上面的问题解决了，得到结论为，参数b,k1,k分别为：46.8275,3.62123,0.280252.其实在用mathematica解决上面问题的过程中，我们可以发现，FindFit命令不能解决该问题，这主要是由于其自身的局限性，但mathematica基本上可以解决所有的关于解超定方程组的问题，而且误差也很小。

Page198 第10题

问题：如下图，有若干工厂的污水经排污口流入某江，各口有污水处理站，处理站对面是居民点。工厂1上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染程度，以及各个工厂的污水流量和污水浓度均已知道。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差和污水流量成正比，使每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用（称处理系数）为已知。处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，自然状态下的江水也会使污水浓度下降一个比例系数（称自净系数），该系数可以估计。试确定各污水处理站出口的污水浓度，使在符合国家标准规定的条件下总的处理费用最少。

工厂1 2 工厂 工厂3 处理站1 处理站 2 处理站3

江水 居民点1 居民点2 居民点3 先建立一般情况下的数学模型，再求解以下的具体问题：

设上游江水流量为1000(1012L/min)，污水浓度为0.8(mg/L)，3个工厂的污水流

量均为5(1012L/min)，污水浓度（从上游到下游排列）分别为100，60，50(mg/L)，处理系数均为1(万元/((1012L/min)/(mg/L))，3个工厂之间的两段江面的自净系数（从上游到下游）分别为0.9，0.6。国家标准规定水的污染浓度不能超过

1(mg/L)。

（1）为了使江水上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费 用？

（2）如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花费多

少费用？

Page246 第11题

问题：(钢管下料)某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm，现在一顾客需要15根290 mm，28根315 mm，21根350 mm和30根455 mm的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm，为了使总费用最小，应该如何下料？

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