《概率论与数理统计》浙江大学第四版课后习题答案

概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学)

浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念

1.[一] 写出下列随机试验的样本空间

（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）

o1n?100?S???,???，n表小班人数

n??nn（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2）

S={10，11，12，………，n，………}

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)）

S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1）A发生，B与C不发生。 表示为：

ABC或A－ (AB+AC)或A－ (B∪C)

（2）A，B都发生，而C不发生。 表示为：

ABC或AB－ABC或AB－C

1

（3）A，B，C中至少有一个发生 （4）A，B，C都发生，

表示为：A+B+C

表示为：ABC

表示为：ABC或S－ (A+B+C)或A?B?C

（5）A，B，C都不发生，

（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生 相当于AB,BC,AC中至少有一个发生。故 表示为：AB?BC?AC。 （7）A，B，C中不多于二个发生。

相当于：A,B,C中至少有一个发生。故 表示为：A?B?C或ABC （8）A，B，C中至少有二个发生。

相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故 表示为：AB+BC+AC

6.[三] 设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？

解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1矛盾）.

从而由加法定理得

P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B)

(*)

（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为 P(AB)=P(A)=0.6，

（2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为 P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。

7.[四] 设A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?1. 求A，B，C至少有一个发生的概率。 81,P(AB)?P(BC)?0，4解：P (A，B，C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－

2

P(AC)+ P(ABC)=

315??0? 4888.[五] 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？

记A表“能排成上述单词”

2

∵ 从26个任选两个来排列，排法有A26种。每种排法等可能。

字典中的二个不同字母组成的单词：55个 ∴

P(A)?5511 ?2A261309. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）

记A表“后四个数全不同”

∵ 后四个数的排法有104种，每种排法等可能。

4后四个数全不同的排法有A10

∴

4A10P(A)?4?0.504

1010.[六] 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。

（1）求最小的号码为5的概率。

记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A

10?∵ 10人中任选3人为一组：选法有??3?种，且每种选法等可能。 ??5?又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有1???2? ??∴

5?1???2????1 P(A)?12?10??3???3

（2）求最大的号码为5的概率。

10?记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有??3?种，且??4?每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有1???2???种

4?1???2????1 P(B)?20?10??3???11.[七] 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？

记所求事件为A。

9在17桶中任取9桶的取法有C17种，且每种取法等可能。

432?C4?C3取得4白3黑2红的取法有C10

故

432C10?C4?C3252P(A)?? 62431C1712.[八] 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 记“恰有90个次品”为事件A

1500?∵ 在1500个产品中任取200个，取法有??200?种，每种取法等可能。

??400??1100?种 200个产品恰有90个次品，取法有??????90??110??400??1100??90??110????P(A)?? 1500???200???4

∴

（2）至少有2个次品的概率。 记：A表“至少有2个次品”

B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法

1100??400??1100?有??200?种，200个产品含一个次品，取法有?1??199?种 ??????∵

A?B0?B1且B0，B1互不相容。

∴

??1100???200????P(A)?1?P(A)?1?[P(B0)?P(B1)]?1??1500????200??????400??1100???1??199??????

??1500???200?????13.[九] 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 记A表“4只全中至少有两支配成一对” 则A表“4只人不配对”

10?∵ 从10只中任取4只，取法有??4?种，每种取法等可能。

??要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有

?5??24 ?4????P(A)?4C5?244C10?821813?2121

P(A)?1?P(A)?1?15.[十一] 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？

记Ai表“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3, 三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能

对A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种。 (选排列：好比3个球在4个位置做排列)

5

P(A1)?4?3?26 ?31642?4?3种。 对A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有C32(从3个球中选2个球，选法有C3，再将此两个球放入一个杯中，选法有4

种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。

2C3?4?3P(A2)?43?9 16对A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此

3个球，选法有4种)

P(A3)?41 ?316416.[十二] 50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部

件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？

记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。 法一：用古典概率作：

把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序）

3333?C47?C44???C23对E：铆法有C50种，每种装法等可能

3333?C47?C44??C23对A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有〔C3〕×10

种

3333[C3?C47?C44???C23]?10333C50?C47????C23P(A)??1?0.00051 1960法二：用古典概率作

把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）

6

3

对E：铆法有A50种，每种铆法等可能

对A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，…或“28，29，

327327327327?A47?A3?A47????A3?A47?10?A3?A4730”位置上。这种铆法有A3种

P(A)?32710?A3?A4730A50?1?0.00051 196017.[十三] 已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,求P(B|A?B)。 解一：

P(A)?1?P(A)?0.7,P(B)?1?P(B)?0.6,A?AS?A(B?B)?AB?AB注意(AB)(AB)??. 故有

P (AB)=P (A)－P (AB)=0.7－0.5=0.2。 再由加法定理，

P (A∪B)= P (A)+ P (B)－P (AB)=0.7+0.6－0.5=0.8 于是P(B|A?B)?P[B(A?B)]P(AB)0.2???0.25

P(A?B)P(A?B)0.8解二:P(AB)?P(A)P(B|A)?由已知???05?07?P(B|A)?P(B|A)?0.5521??P(B|A)?　故　P(AB)?P(A)P(B|A)?0.77751P(BA?BB)P(BA)5P(B|A?B)定义???0.25P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)0.7?0.6?0.5

18.[十四] P(A)?111,P(B|A)?,P(A|B)?,求P(A?B)。 43211?定义P(AB)P(A)P(B|A)由已知条件143?P(B)?1 ???????有?解：由P(A|B)P(B)P(B)2P(B)6

7

由乘法公式，得P(AB)?P(A)P(B|A)?1 121111??? 46123由加法公式，得P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?19.[十五] 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。

解：（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P(A|B)，即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。

掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为

S={(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)} 每种结果（x, y）等可能。

A={掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故P(A)?21?} 63方法二：（用公式P(A|B)?P(AB) P(B)S={(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能

A=“掷两颗骰子，x, y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。则

P(B)?612， ?,P(AB)?2266622P(AB)21?6?? 故P(A|B)?P(B)163620.[十六] 据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P{孩子得病}=0.6，P (B|A)=P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P (C|AB)=P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。

解：所求概率为P (ABC)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P (C|AB)

8

P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3, P (C|AB)=1－P (C |AB)=1－0.4=0.6. 从而P (ABC)= P (AB) · P(C|AB)=0.3×0.6=0.18.

21.[十七] 已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。

（1）二只都是正品（记为事件A）

法一：用组合做 在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。

C8228P(A)?2??0.62

C1045法二：用排列做 在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。

2A82A10P(A)?

?28 45法三：用事件的运算和概率计算法则来作。 记A1，A2分别表第一、二次取得正品。

P(A)?P(A1A2)?P(A)P(A2|A1)?（2）二只都是次品（记为事件B）

2C22C108728 ??10945法一：

P(B)??1 45法二：

P(B)?2A22A10?1 45211?? 10945法三：

P(B)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）

9

11C8?C22C10法一：

P(C)??16 45法二： P(C)?112(C8?C2)?A22A10?16 45法三：

P(C)?P(A1A2?A1A2)且A1A2与A1A2互斥

?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?281682 ???10910945（4）第二次取出的是次品（记为事件D）

法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，

11A9?A22A10法二：

P(D)??1 5法三：

P(D)?P(A1A2?A1A2)且A1A2与A1A2互斥

?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?82211???? 109109522.[十八] 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

记H表拨号不超过三次而能接通。 Ai表第i次拨号能接通。

注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。

??H?A1?A1A2?A1A2A3　三种情况互斥P(H)?P(A1)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

?1919813??????10109109810如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H

10

又 B1，B2，B2独立。 ∴

P(H1)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)

?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36

P(H2)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)

?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3 + 0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41 P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)=0.4×0.5×0.7=0.14 又因：

A=H1A+H2A+H3A

三种情况互斥

故由全概率公式，有

P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3) =0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458

36.[三十三]设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2%（这一事件记为A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分别为P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为B），试分别求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地）

∵ B表取得三件好物品。

B=A1B+A2B+A3B 三种情况互斥

由全概率公式，有 ∴

P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3)

=0.8×(0.98)3+0.15×(0.9)3+0.05×(0.1)3=0.8624

16

P(A1B)P(A1)P(B|A1)0.8?(0.98)3P(A1|B)????0.8731P(B)P(B)0.8624

P(A2B)P(A2)P(B|A2)0.15?(0.9)3P(A2|B)????0.1268

P(B)P(B)0.8624P(A3B)P(A3)P(B|A3)0.05?(0.1)3P(A3|B)????0.0001P(B)P(B)0.862437.[三十四] 将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是(1－α)/2。今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）

解：设D表示输出信号为ABCA，B1、B2、B3分别表示输入信号为AAAA，BBBB，CCCC，则B1、B2、B3为一完备事件组，且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。

再设A发、A收分别表示发出、接收字母A，其余类推，依题意有 P (A收| A发)= P (B收| B发)= P (C收| C发)=α，

P (A收| B发)= P (A收| C发)= P (B收| A发)= P (B收| C发)= P (C收| A发)= P (C收| B发)=

1?α 2又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A发) P (B收| A发) P (C收| A发) P (A收| A发) =α2(1?α2)， 21?α3) 2同样可得P (D | B 2) = P (D | B 3) =α?(于是由全概率公式，得

P(D)??P(B)P(D|B)iii?13

?p1a2(1?α21?α3)?(P2?P3)α()22由Bayes公式，得 P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) =

P(B1)P(D|B1)

P(D) 17

=

2αP1

2αP1?(1?α)(P2?P3)[二十九] 设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率，（2）求有一只蓝球一只白球的概率，（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。

解：记A1、A2、A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B1、B2、B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。

（1）记C={至少有一只蓝球}

C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5种情况互斥 由概率有限可加性，得

P(C)?P(A1B1)?P(A1B2)?P(A1B3)?P(A2B1)?P(A3B1)独立性P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)

1112132131?32333422225??????????79797979799（2）记D={有一只蓝球，一只白球}，而且知D= A1B3+A3B1两种情况互斥

P(D)?P(A1B3?P(A3B1)?P(A1)P(B3)?P(A3)P(B1)?342216????797963P(CD)P(D)16??P(C)P(C)35

（3）P(D|C)?(注意到CD?D)

[三十] A，B，C三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给A，B，C的电话的概率分别为率分别为

1,2141，设三人的行动相互独立，求 42,52,51。他们三人常因工作外出，A，B，C三人外出的概5（1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了3个电话，求（3）这3个电话打给同一人的概率；（4）这3个电话打给不同人的概率；（5）这3个电话都打给B，而B却都不在的概率。

18

解：记C1、C2、C3分别表示打给A，B，C的电话 D1、D2、D3分别表示A，B，C外出 注意到C1、C2、C3独立，且P(C1)?P(C2)? P(D1)?21,P(C3)? 551,2P(D2)?P(D3)?1 4（1）P（无人接电话）=P (D1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3) =

1111 ???24432（2）记G=“被呼叫人在办公室”，G?C1D1?C2D2?C3D3三种情况互斥，由有限可加性与乘法公式

P(G)?P(C1D1)?P(C2D2)?P(C3D3)?由于某人外出与???? ?P(C1)P(D1|C1)?P(C2)P(D2|C2)?P(C3)P(D3|C3)?否和来电话无关??故P(D|C)?P(D)??21231313kkk?????????52545420（3）H为“这3个电话打给同一个人”

P(H)?22222211117????????? 555555555125（4）R为“这3个电话打给不同的人”

R由六种互斥情况组成，每种情况为打给A，B，C的三个电话，每种情况的概率为

2214 ???555125于是P(R)?6?424 ?125125（5）由于是知道每次打电话都给B，其概率是1，所以每一次打给B电话而B不在的概率为

1，且各次情况相互独立 4于是 P（3个电话都打给B，B都不在的概率）=()3?141 6419

第二章 随机变量及其分布

1.[一] 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律

解：X可以取值3，4，5，分布律为

21?C23C5P(X?3)?P(一球为3号,两球为1,2号)??11021?C33C5 P(X?4)?P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球)??310?610

P(X?5)?P(一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球)?也可列为下表 X： 3， 4，5 P：

21?C43C5136 ,,1010103.[三] 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。

解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。

P(X?0)?3C133C15?22 3512? 351 35O 1 2 x P P(X?1)?12C2?C133C1521C2?C133C15P(X?2)?再列为下表

?X： 0， 1， 2

20

P：

22121 ,,3535354.[四] 进行重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的概率为q =1－p(0

（2）将实验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。（此时称Y服从以r, p为参数的巴斯卡分布。）

（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。

解：（1）P (X=k)=qk1p

－k=1,2,……

（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n－1次有n次失败，且最后一次成功}

P(Y?r?n)?Crn?n?1qnpr?1p?Crn?n?1qnpr,r?1rk?r,或记r+n=k，则 P{Y=k}=Ck?1p(1?p)n?0,1,2,?,其中 q=1－p， k?r,r?1,?

（3）P (X=k) = (0.55)k－10.45 P (X取偶数)=

k=1,2…

?k?1?P(X?2k)??k?1?(0.55)2k?10.45?11 316.[六] 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻

（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？

225?22P(X?2)?C5pq?C5?(0.1)2?(0.9)3?0.0729

（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？

345P(X?3)?C5?(0.1)3?(0.9)2?C5?(0.1)4?(0.9)?C5?(0.1)5?0.00856

（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？

01P(X?3)?C5(0.9)5?C5?0.1?(0.9)4?C52?(0.1)2?(0.9)3

3?C5?(0.1)3?(0.9)2?0.99954

（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？

P(X?1)?1?P(X?0)?1?0.59049?0.40951

[五] 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。

21

（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。

（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。

（3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。 解：（1）X的可能取值为1，2，3，…，n，…

P {X=n}=P {前n－1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去}

=(2)n?113?3， n=1，2，…… （2）Y的可能取值为1，2，3 P {Y=1}=P {第1次飞了出去}=

13 P {Y=2}=P {第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去} =

2113?2?3 P {Y=3}=P {第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去} =

2!3!?13 3(3)P{X?Y}??P{Y?k}P{X?Y|Y?k}k?1 ??全概率公式并注意???3?P{Y?k}P{X?Y|Y?k}P{X?Y|Y?1}?0???? k?23??P{Y?k}P{X?k}注意到X,Y独立即

k?2 P{X?Y|Y?k}

?113?3?13???1?3?23?1?3???827?P{X?k}3同上，P{X?Y}??P{Y?k}P{X?Y|Y?k}

k?1 ??3P{Y?k}P{X?k}?1k?13?11214193?3?9?3?27?81 故P{Y?X}?1?P{X?Y}?P{X?Y)?3881 8.[八] 甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6, 0.7，令各投三次。求 （1）二人投中次数相等的概率。

22

到

记X表甲三次投篮中投中的次数 Y表乙三次投篮中投中的次数

由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。

P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3)

= P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3)

11?0.6?(0.4)2]?[C3?0.7?(0.3)2] = (0.4)3× (0.3)3+ [C322?(0.6)2?0.4]?[C3?(0.7)2?.3]?(0.6)3 ?[C3 ?(0.7)3?0.321 （2）甲比乙投中次数多的概率。

P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)

=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)

12?0.6?(0.4)2]?(0.3)3?[C3?(0.6)2?0.4]?(0.3)8? =[C322123 [C3?(0.6)?0.4]?[C3?0.7?(0.3)]?(0.6) 1?(0.3)3?(0.6)3?[C3?0.7?(0.3)2]?(0.6)3

22 ?[C3?(0.7)?0.3]?0.243

9.[十] 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。

（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？

（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。）

解：（1）P (一次成功)=

11? 470C8136973)()?。此概率太小，按实7070100003(（2）P (连续试验10次，成功3次)= C10际推断原理，就认为他确有区分能力。

[九] 有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求

23

（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率 （2）需作第二次检验的概率

（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率

（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率 （5）这批产品被接受的概率

解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数，

由于产品总数很大，故X~B（10，0.1），Y~B（5，0.1）（近似服从） （1）P {X=0}=0.910≈0.349

210.120.98?C100.10.99?0.581 （2）P {X≤2}=P {X=2}+ P {X=1}=C10（3）P {Y=0}=0.9 5≈0.590 （4）P {0

({0

= P {0

12.[十三] 电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求 （1）每分钟恰有8次呼唤的概率 法一： 法二：

48?4P(X?8)?e?0.029770（直接计算）

8!P ( X= 8 )= P (X ≥8)－P (X ≥9)（查λ= 4泊松分布表）。

= 0.051134－0.021363=0.029771 （2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。

P (X>10)=P (X ≥11)=0.002840（查表计算）

[十二 (2)]每分钟呼唤次数大于3的概率。

P{X?3}?P{X?4}?0.566530

[十六] 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是

?1?e?0.4x,x?0FX(x)??

x?0?0求下述概率：

（1）P{至多3分钟}；（2）P {至少4分钟}；（3）P{3分钟至4分钟之间}；

24

（4）P{至多3分钟或至少4分钟}；（5）P{恰好2.5分钟} 解：（1）P{至多3分钟}= P {X≤3} =FX(3)?1?e?1.2 （2）P {至少4分钟} P (X ≥4) =1?FX(4)?e?1.6

（3）P{3分钟至4分钟之间}= P {3

?0,x?1,18.[十七] 设随机变量X的分布函数为F?X(x)??lnx,1?x?e,，

??1,x?e.求（1）P (X<2), P {0

P(2?X?52?F555X(2)?FX(2)?ln2?ln2?ln4 ??（2）f(x)?F'(x)?1?,1?x?e,?x

?0,其它20.[十八（2）]设随机变量X的概率密度f(x)为

?（1）f(x)??2?1?x2?1?x?1

???0其它?0?x?1（2）f(x)??x?2?x1?x?2

??0其他求X的分布函数F (x)，并作出（2）中的f (x)与F (x)的图形。 解：当－1≤x≤1时：

F(x)???1??0dx??x2?1π1?x2dx?2?1π??2x1?x2?12arcsinx?X???1?1

πx1?x2?11πarcsinx?2当1

25

?ψ(y)???f[h(y)]?|h'(y)|?1(lny)22πe?2?1y0?y??? ??0y为其他（2）求Y=2X2+1的概率密度。

在这里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设Y的分布函数是FY（y）， 则 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X2+1≤y)

=P??y?1???X?y?1???22? ?当y<1时：FY ( y)=0

y?1当y≥1时：F?P?y?1y?1?21?x2y(y)???2?2?X?2???dx

???y?12πe2故Y的分布密度ψ( y)是：

当y≤1时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0

y?12?当y>1时，ψ( y)= [F?1?x2Y ( y)]' =??2dx?????y?12?e? 2?y?1 =1?42π(y?1)e

（3）求Y=| X |的概率密度。

∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 当y<0时，FY ( y)=0

当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=?y1x2?2πe?2ydx ∴ Y的概率密度为：

当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0

x?y2当y>0时：ψ( y)= [F?yY ( y)]' =?1??e?22dx???2e?2??y2π?

?π33.[三十] （1）设随机变量X的概率密度为f (x)，求Y = X 3的概率密度。31

∵ 又 且

Y=g (X )= X 3 是X单调增函数， X=h (Y ) =Y，反函数存在，

α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=－∞

13 β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为：

ψ( y)= f [h ( h )]·| h' ( y)| = f1(y321?)?y3,???y???,但y?0 3?(0)?0

（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 2的概率密度。

?e?x法一：∵ X的分布密度为：f(x)???0 Y=x2是非单调函数

当 x<0时 y=x? 反函数是x??y 当 x<0时 y=x2 ? x?2

x?0x?0

y=x2 y y

O ∴ Y～ fY (y) = f(?y)(?y)??f(y)(y)? －y y x ?0?1e?? =?2y??0y?12ye?y,y?0y?0

法二：Y~FY(y)?P(Y?y)?P(?y?X?y)?P(X?y)?P(X??y)

?y?xedx?0?1?e?? ?0??0?y,,y?0y?0

?1e??∴ Y～ fY (y) =?2y??0y,,y?0.y?0.

34.[三十一] 设X的概率密度为

?2x0?x?π?f(x)??π2

?x为其他?0求Y=sin X的概率密度。

32

∵ FY ( y)=P (Y≤y) = P (sinX≤y) 当y<0时：FY ( y)=0

当0≤y≤1时：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π) =当1

arcsiny?02xdx?π2?2xdx

π?arcsinyπ2π?0

?arcsiny02xdx?2π

??2x?dx?

π?arcsinyπ2?π2π1?y21≤y时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (1)? = 0

36.[三十三] 某物体的温度T (oF )是一个随机变量，且有T～N（98.6，2），试求θ(℃)的概率密度。[已知θ?5(T?32)] 9法一：∵ T的概率密度为f(t)?12?2e?(t?98.6)22?2,???t???

又 θ?g(T)? T?h(θ)?5(T?32) 是单调增函数。 99θ?32 反函数存在。 5 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(－∞, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(－∞, +∞)= +∞

∴ θ的概率密度ψ(θ)为

9(θ?32?98.6)2?54eψ(θ)?f[h(θ)]?|h'(θ)|?12π2?9 5 ?910πe?81(θ?37)2100,???θ???

法二：根据定理：若X～N（α1， σ1），则Y=aX+b～N (aα1+b, a2 σ2 )

33

由于T～N（98.6, 2）

?55160160故 θ?T?~N??98.6?999??9故θ的概率密度为：

?333?????9???222??333?5?2?5??,???2??N?,???2?

?9??????9?9???(?)?

1e52?29?5?2????2?9??910?e?81(??37)2100,???????

第三章 多维随机变量及其分布

1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：

??0,若第一次取出的是正品,X??

??1,若第一次取出的是次品???0,若第二次取出的是正品,Y??

??1,若第二次取出的是次品?试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。

解：（1）放回抽样情况

由于每次取物是独立的。由独立性定义知。

P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j) P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=

或写成

34

101025 ??1212361025 ??1212362105 ??121236221 ??121236

X Y 0 1 （2）不放回抽样的情况

0 1 25 365 365 361 36P {X=0, Y=0 }=P {X=0, Y=1 }=P {X=1, Y=0 }=P {X=1, Y=1 }=

或写成

X Y 0 1 0 10945 ??12116610210 ??12116621010 ??121166211 ??1211661 45 6610 6610 661 663.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。

X 0 1 2 3 Y 0 1 2 0 0 0 3 3512 353 352 352 350 6 356 351 35解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为

P {X=0, Y=2 }=

22C2C24C7?1 3535

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