固体物理答案 第3章

3．1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移

?nj?ajsin(?tj?naqj??j)?nj为：

?j为任意相位因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为kBT。具体计算每个原子

的平方平均位移。 解：（１）根据其中T?1T1?0sin2(?jt?naqj??j)dt? T22??j2为振动周期，

所以?nj?ajsin(?jt?naqj??j)?（２） 第j个格波的平均动能

2212aj 2?n122?njm??112222m?a2?cos(?t?naq??)?maj?jN jjjjj2n411格波平均能量＝kBT 22（３） 经典的简谐运动有： 每个格波的平均动能＝平均势能＝

112ma2?N?kBT jj42振幅

a2j?2kBTkBT122， 所以 。 ??a?njj22Nm?j2Nm?j22?n?(??nj)2???nj??a2j??jjjj而每个原子的平方平均位移为：

12kBT 。 2Nm?j

３．２讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其２N个格波的解。当m?M时与一维单原子链一一对应。 解：（１）一维双原子链： ??2a?q??2a

1??2??m?M4mM??22声学波：????sinaq?1??1?? ?2mM??(m?M)????当m?M时，有

2???2?4?aq(1?cosaq)?sin2 。 mm21??2??m?M4mM??22光学波：????sinaq?1??1?? ?2mM??(m?M)????当m?M时，有

2???2?4?aq(1?cosaq)?cos2 。 mm2?24?2aq??sin???m2（２）一维双原子链在m?M时的解 ???2?4?cos2aq??m2?

与一维单原子链的解 ??2??2a?q??2a

4?aqsin2m2??a?q??a

是一一对应的。

3．5已知NaCl晶体平均每对离子的相互作用能为：

u(r)???q2r??rn

其中马德隆常数a?1.75,n?9,平衡离子间距r0?2.82?。 （１） 试求离子在平衡位置附近的振动频率。

（２） 计算与该频率相当的电磁波的波长，并与NaCl红外吸收频率的测量只值61?进行比较。

解：（1）处理小振动问题，一般可采用简谐近似，在平衡位置附近，可将互作用能展开至偏差??r?r0的二次方项。

?U(r0??)1?2U(r0??)24U(r0??)?U(r0)???????O(?) （1） 2??2????0??0其中

?U(r0??)?0 为平衡条件。 由r0已知可确定?：

????0???q2nr0n?1。 （2）

根据（1）式，离子偏离平衡位置?所受的恢复力为：

?U(r0??)?2U(r0??)F?????????'? （3） 2??????0?2U(r)n?12??q。 （4） 故恢复力常数为???r2rr03'0对于离子晶体的长光学波，

??(0)?2?'mMm?M?2(m?M)(n?1)?q2 （5）

mMr03将Na 的原子质量m?23?1.66?10?24g, Cl的原子质量M?35.5?1.66?10?24g， 基本电荷电量q?4.803?10?10esu 代入上式，得

??(0)?1.11?1014Hz

（２） 相对应的电磁波波长为

2?3.14?2.998?108?6??c??17?10m?17?m （6） 14?1.11?102?对应与远红外波，与NaCl红外吸收频率测量值在同一数量级。 [注：如采用国际单位制进行计算，因在（2）式前乘一因子

k?

14??0?8.99?109牛顿米2/库仑 ]

3．6 求出一维单原子链的频率分布函数?(?)。 解：一维单原子链的色散关系为： ??24?aqaq4?2sin2??m2sin， 其中?m? m22m???msinaq, 2aaqd???mcosdq

22振动模式的数目：dn?2?NaNad?2Ndq?2???d?

22aaq2?2???m???mcos222N??22所以g(?)????m???0?

???m???m

3．7设三维晶格的光学振动在q?0附近的长波极限有：

?(q)??0?Aq2

1?V1?23/2(?0??)2???0求证：频率分布函数为 g(?)??4?A

?0???0?证明：由?(q)??0?Aq2， 得?q?(q)?2Aq。

Vg(?)?(2?)3??等平面1dsV4?q2VqV?32???2?2A(?0??)2 32Aq4?A4??q?(q)(2?)1?V12(???)???0?23/20故频率分布函数为 g(?)??4?A

?0???0?

3．8有N个相同原子组成面积为S的二维晶格，在德拜近似下，计算比热，并讨论在低温极限比热正比于T。

2

?解：（1）q空间的状态密度为

S

。 2

(2?)

? 每个q对应一个纵波，??c?q， ?每个q对应一个横波，??c?q。

所以d?范围的状态数应包括纵波和横波的状态数：

Sg(?)?(2?)2其中

???jlS?2?q2?q?S???? ?22???(2?)cc?q?j(q)?c????dl111?(2?2) 22c?c?cS2?c21由于晶格振动模数有限，则晶格振动最高频率由

2N???m0g(?)d????m0?d?

决定。由此得?D?c(4?N12)。 S??比热cV?kB???2kBT()e?DkTB(e??kBT0?1)2g(?)d??kB???2kBT()e?DkTB(e??kBT??S2?c20?d?

?1)2令x???k， ??D?kB?D, ?D—德拜温度。 BT c?4NkT2?DTx3exvB(?)D?0(ex?1)2dx。 （2）在低温极限 T?0，

?DT??，

c(T2?x3exT?)D?0(ex?1)2dx?24NkB(?)2?T2v?4NkB， D与三维情况下的德拜T3

律相对应。

3．10设晶体中每个振子的零点震动能

12??，试用德拜模型求晶体的零点振动能。 解： 根据德拜理论，??cq，可得晶格频率分布函数为

g(?)?3V2?2c3?2。 存在?m，在???m范围的振动都可用弹性波近似，?m则根据自由度确定如下：

?m?g(?)d??3V?m2?2c3?0?2d??3N。 01或???2N?3m?c?6?(V)??。

因此固体总的零点振动能为

E0???m102??g(?)d??98N??m。

3．11一维复式格子m?5?1.67?10?24g，

Mm?4，??1.5?10N/m1.?541d0ync/，求：m)

（１） 光学波?O?OAmax，min， 声学波?max。

（２） 相应声子能量是多少电子伏特。 （３） 在300K时的平均声子数。

（４） 与?Omax相对应的电磁波在什么波段。

解：（1）

即（O?max?2?5???6.70?1013HzmM2mm?M2??5.99?1013Hzm2??3.00?1013HzM)?10?15ev?s1.602

O?min?A?max?（2）????

??1.055?10?34J?s?(1.055O?max?4.41?10?2ev?Omin?3.94?10ev?2O?max?1.97?10?2ev（3）在T?300K相应的能量：

23 KBT?1.38?1?10??19300/?(1.61?02 810)??2.e5v因此在室温只能激发声学声子，平均声子数为

n?e1A??max??11e1.972.58??1kBT1?1

2.14?1（4）??2?cO?max2?3.14?2.988?108?5??2.8?10m?28?m。此波长处在红外波段。 136.70?10

O?max?2?5???6.70?1013HzmM2mm?M2??5.99?1013Hzm2??3.00?1013HzM)?10?15ev?s1.602

O?min?A?max?（2）????

??1.055?10?34J?s?(1.055O?max?4.41?10?2ev?Omin?3.94?10ev?2O?max?1.97?10?2ev（3）在T?300K相应的能量：

23 KBT?1.38?1?10??19300/?(1.61?02 810)??2.e5v因此在室温只能激发声学声子，平均声子数为

n?e1A??max??11e1.972.58??1kBT1?1

2.14?1（4）??2?cO?max2?3.14?2.988?108?5??2.8?10m?28?m。此波长处在红外波段。 136.70?10

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