指数、对数及幂函数习题

中科教育2010年高中数学秋季讲义

指数函数、对数函数及幂函数

Ⅰ.指数与指数函数

1.指数运算法则：（1）aras?ar?s； （2）?ar??ars； （3）?ab??arbr；

srmn（4）a?a；

nm（5）a?mn?1nama,n奇 （6）nan????|a|,n偶

2. 指数函数：

指数函数 01 图 象 y?ax 表达式 定义域 值 域 过定点 单调性 【基础过关】

类型一：指数运算的计算题

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R (0,??) (0,1) 单调递减 单调递增 - 1 -

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此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便 1、5?26的平方根是______________________

mn2、 已知a?2，a?16，则m的值为??????????????????( )

nA．3 B．4 C．a D．a

36b?(a?b)3、化简

1?a2?2ab?b2b?a的结果是????????????( )

D、2b?b?a?a

A、a?a?b B、a?b?a C、b?a?a

4313a?8ab4、已知a?0.001，求：a?2ab?4b32323?(1?23b)a=_________________

32?325、已知x?x?1?3，求（1）x?x=________________（2）x?x=_________________

12?12y?yy?yx?1,y?0x?x?______________ x?x?226、若，其中，则

类型二：指数函数的定义域、表达式

指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数

的图像及性质 函数y?af(x)的定义域与f(x)的定义域相同

1、若集合A={

xy?11?3x},B={

xs?2x?1},则A?B?____________________

1?x[1,2]y?f(x)y?f(2)的定义域是________ 2、如果函数的定义域是,那么函数

13、下列函数式中，满足f(x+1)=2f(x)的是?????????????????( )

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1?x?1?A、2

62 B、

x?14

C、2

x

D、2

?x

31?1?2a，则实数a的取值范围是????????????( ) 4、若4a?4a? A、a?2

B、a?1 2

C、a?1 2

D、任意实数

类型三：复合函数 1形如a○

2x?b?ax?c?0的方程，换元法求解

f(x)2函数y?a的定义域与f(x)的定义域相同 ○

f(x)f(x)y?a3先确定的值域，再根据指数函数的值域，单调性，可确定的值域 ○

涉及复合函数的单调性问题，应弄清函数是由那些基本函数符合得到的，求出复合函数的定

义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间，注意“同增异减”

（1）外函数是二次函数，内函数是指数函数

xxy?2?3?9?1的值域 1、求函数

2、当?1?x?0时，函数y?2x?2?3?4x的最大值是______________，最小值是__________

11?x?1x3、已知x?[-3,2]，求f(x)=42的最大值是______________，最小值是______________

（2）外函数是指数函数，内函数是二次函数

1?2x2?8x?11、函数y=(3) (-3?x?1)的值域是______________，单调递增区间是__________ 1x2?2x?52、已知函数y=(3)，求其单调区间_____________________及值域_______________

类型四：奇偶性的判定

利用奇偶性的定义，注意计算过程中将根式化为分式指数幂后通分

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x2?xf(x)?(1?a)?a1、函数是?????????????????( )

A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数

ax?1(a?1)xa?12、已知函数f(x)=

(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明f(x)是R上的增函数。

a?2x?a?2(x?R)x2?1?3、设aR,f(x)= ，试确定a的值，使f(x)为奇函数

类型五：分类讨论思想在指数函数中的应用

xa?0a?1a1、已知，且，解不等式

2?6?a5x

2、已知f(x)=ag(x).

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2x2?3x?1,g(x)=ax2?2x?5 (a＞0且a≠1),确定x的取值范围,x?1使得f(x)＞

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Ⅱ.对数与对数函数

1、对数的运算：

1、互化：ab?N?b?logaN 2、恒等：alogaN?N 3、换底：

logab?logcb logca 推论1 logab?1 logba 推论2 logab?logbc?logac

nnlog?logab(m?0) mb 推论3 amM4、logaMN?logaM?logaN log?log?aaMN laNog5、logaMn?n?logaM

2对数函数：

对数函 01 图 象 表达式 定义域 值 域 过定点 单调性 y?logax (0,??) R (1，0) 单调递减 单调递增 【基础过关】

类型一：对数的基本运算

此类习题应牢记对数函数的基本运算法则，注意

1常用对数：将以10为底的对数叫常用对数，记为lgN ○

2自然对数：以e=2.71828?为底的对数叫自然对数，记为lnN ○

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○

3零和负数没有对数，且loga1?0,logaa?1 2?1lg0.81?1lg0.0081、(1)、 23lg2?lg9 (2)、?lg2?2?lg5?lg20

(3)、?log43?log83??(log35?log95)?(log52?log252)

2、已知logax?2,logbx?3,logcx?6求 logabcx的值．

类型二：指数，对数的混合运算

指数函数y?ax(a?0,a?1)与对数函数y?logax(a?0,a?1)的图象与性质我们关注每一位学生！

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函数a图y=ax01y01yx=1axO1x1y=1a1x1Ox象定义域值 域过定点y值区域OO1(- ?,+?) (0,+?)(0,1)，即x =0时，y=1.x<0时，y>1;x<0时,00时，00时，y>1.在(- ?,+?)内是在(- ?,+?)内是 减函数 增函数(0,+?)(- ?,+?)(1,0)，即x=1时，y=0.00;x>1时，y<0.在(0,+?)内是 减函数01时，y>0.在(0,+?)内是 增函数

单调性1、若loga2?m,loga3?n,则a3m?2n?_________ 2、若a?1且0?b?1，则不等式alogb(x?3)?1的解集为________

113、已知3a?5b?A,且??2，则A的值是________

ab4、已知3a?2，那么log38?2log36用a表示是…………………………( ) A、a?2 B、5a?2 C、3a?(1?a)2 D、 3a?a2 【能力提升】

类型三：对数函数的定义域与解析式

注意复合函数的定义域的求法，形如y?f?g(x)?的复合函数可分解为基本初等函数

y?f(u),u?g(x)，分别确定这两个函数的定义域。

y?1log1(2?x)21、函数的定义域是____________

5f(log3(x?))?2x?222、已知，则f(0)=___________

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63、已知f(x)?log2x，那么f(8)=____________

类型四：对数函数的值域

注意复合函数的值域的求法，形如y?f?g(x)?的复合函数可分解为基本初等函数

y?f(u),u?g(x)，分别确定这两个函数的定义域和值域。

y?log1(x2?6x?17)1. 函数

2的值域是________

1f(x)?logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为2，则

2. 设a?1，函数

a=___________

xf(x)?a?loga(x?1)在[0,1]上最大值和最小值之和为a，则a的值为

3. 函数

_______________

类型五：对数函数的单调性、奇偶性

21、函数的单调递增区间是_______ ; 函数的递增

区间是_______________

2、下列各函数中在（0，1）上为增函数的是……………………………………………( )

y?lgxy?log1(x2?3x?2)y?log1(x?1)A.

2 B.

y?log2x2?1

C.

y?log31y?log1(x2?4x?3)x D.3

?2?y?lg??1??1?x?的图像关于………………………………………………………( ) 3、函数

A、x轴对称 B、y轴对称 C、原点对称 D、直线y?x对称 4、函数

f(x)?lg?x2?1?x?是 （奇、偶）函数。

10x?10?xf(x)?x10?10?x，判断f(x)的奇偶性和单调性。 5、已知函数

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类型六：对数中的不等关系

比较同底数的两个对数值的大小；比较两个同真数的对数值的大小

1、设a?log0.70.8b?log20.9c?log45，则a,b,c的大小关系是_______

2a?lge,b?(lge),c?lge,则a,b,c的大小关系是_______ 2、设

3、如果4、如果

log3?1m5，那么m的取值范围是______

loga3?logb3?0，那么a,b的关系是…………………………………………( )

A. 0?a?b?1 B. 1?a?b C. 0?b?a?1 D. 1?b?a

2log(x?1)?loga(2x?4)?0，则不等式解集为_______ a5、已知

6、若

f(x)?logax在[2,??)上恒有f(x)?1，则实数a的取值范围是________

类型七：其它题型（奇偶性，对数方程，抽象函数）

2f(x)?lg(?a)1?x1、设是奇函数，则使f(x)?0的x的取值范围是________

22、已知集合

其中c= ______.

A??xlogx?2?,B?(??,a)x，若A?B则实数a的取值范围是(c,??)，

3、若

x1满足2x+2=5,

x2满足2x+2log2(x?1)=5,

x1x2+

＝………………………( )

57 A.2 B.3 C. 2 D.4

幂函数

一、幂函数图象的作法：

根据幂函数y?x的定义域、奇偶性，先作出其在第一象限的图象，再根据其奇偶性作出其他象限的图形.如果幂函数的解析式为y?x或y?xnm?nmk（m、n?N，m?2，m、

?n互质）的形式，先化为y?mxn，或y?1mxn的形式，再确定函数的定义域、奇偶性、

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单调性等性质，从而能比较准确地作出幂函数的图象. 二、幂函数图象的类型：（共有11种情况）

k k??n?0 m0?k?n?1 mk?n?1 myyy奇函数 -1-1-1m、n都是奇数 o1y=x-13xo13xy=x5o15xy=x3 yyy偶函数 -1-1-1m是奇数，n是偶数 o12-xy=x3o12xy=x3o14xy=x3 非奇非偶函数 -1yyy-1-1m是偶数，n是奇数 o11-xy=x2o11xy=x2o13xy=x2 三、幂函数图象特征：

（1）当k?0时，在第一象限内，函数单调递减，图象为凹的曲线；

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（2）当k?0时，图象是一条不包括点（0，1）的直线；

（3）当0?k?1时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凸的曲线； （4）当k?1时，图象是一、三象限的角平分线；

y（5）当k?1时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凹的曲线. y=xo(x?0)（6）幂函数图象不经过第四象限；

k（7）当k?0时，幂函数y?x的图象一定经过点（0，0）和点（1，1） y=x-1oo1xk（8）如果幂函数y?x的图象与坐标轴没有交点，则k?0；

（9）如果幂函数

y?x(?1)pnm（m、n、p都是正整数，且m、n互质）的图象不经过第

三象限，则p可取任意正整数，m、n中一个为奇数，另一个为偶数. 四、幂函数典型问题： 1．概念问题：

【例1】1．已知幂函数，当

时为减函数，则幂

函数__________．

【变式】当m为何值时，幂函数y=(m2-5m+6)和(1，1).

2．定义域问题：

1235的图象同时通过点(0，0)

【例2】函数y?x?x??(x?2)0的定义域为

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【变式】.求函数y=

3．单调性问题：

35的定义域.

【例3】已知(a?3)

??(1?2a)，求实数a的取值范围.

?35【变式1】讨论函数

的单调性.

【变式2】讨论函数

4．图象问题： 【例4】若函数y?xm2的定义域、奇偶性和单调性．

?2m?3(m?Z)的图象与坐标轴没有交点，且关于y轴对称，求函数

f(x)的解析式.

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【例5】利用函数的图象确定不等式的解集：

（1） 不等式x?2(x?1)的解集为 313（2） 不等式x?x的解集为 说明：先在同一坐标系中作出不等式两边函数的图象，并确定交点的坐标，从而能较容易地写出不等式的解集

5．函数图象的平移、对称、翻折变换问题：

说明：很多较复杂函数的图象，都是通过将下列函数的图象经过平移、对称、翻折变换而得到

4y?11kk；y??；y?(k?0,k?1)；y??(k?0,k?1) xxxx【例6】作出下列函数的大致图象，并结合图象写出函数的值域、奇偶性和单调区间.

（1）y?x?2x?1 （2）y? x?12?x42x?1，x?(??,1)?[2,5) （4）y?，x?[0,??) x?1x?11（3）y??1（5）y? （6）y?(x?2)3

1?x【例7】已知幂函数y?f(x)是偶函数，且在区间(0,??)上单调递增，若

f(a2?1)?f(2a2?a?1)，则实数a的取值范围是 . 6.比较幂函数值大小

【例8】．比较

，，的大小.

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【例9】．已知幂函数， ， ， 在第一

象限内的图象分别是C1，C2，C3，C4，(如图)，则n1，n2，n3，n4，0，1的大小关系?

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4613.html